2022年度河北省秦皇島市禹銘藝術(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022年度河北省秦皇島市禹銘藝術(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，（其中），則的值為（

）A．

B．

C．-1

D．1參考答案：D2.若向量=（1，2），=（1，﹣1），則2+與的夾角等于(

)A．﹣ B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我們可以計算出2+與的坐標(biāo)，代入向量夾角公式即可得到答案．【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）則（2+）?（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故選C【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)量積表示兩個向量的夾角，其中利用公式，是利用向量求夾角的最常用的方法，一定要熟練掌握．3.設(shè)曲線C是雙曲線，則“C的方程為”是“C的漸近線方程為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A、a＞c＞bB、a＞b＞cC、c＞a＞bD、b＞c＞a參考答案：A5.下列命題：①恒成立；

②若；③命題“若a>b>0,且c<0，則”的逆否命題④若命題命題則命題是真命題。其中真命題有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④參考答案：A略6.若等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則（

）A．2 B．

C．

D．參考答案：D略7.閱讀右側(cè)程序框圖，輸出的結(jié)果的值為（

）A．5

B．6

C．7

D．9參考答案：C8.設(shè)集合M＝{x|log2（x﹣1）＜0}，集合N＝{x|x≥﹣2）}，則M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|x≥﹣2} C．{x|x＜2} D．{x|1＜x＜2}參考答案：D由題意得，∴．選D．

9.“φ＝”是“函數(shù)為偶函數(shù)的”（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：10.設(shè)集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點(diǎn)，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，使得重合，得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的體積為

．參考答案：12.若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為__________.

參考答案：13.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為________，的值為________．參考答案：

14.一盒子中有編號為1至7的7個紅球和編號為1至6的6個白球，現(xiàn)從中摸出5個球，并從左到右排成一列，使得這5個球的顏色與編號奇偶數(shù)均相間排列，則不同的排法有______種.（用數(shù)字作答）參考答案：288【分析】由題意先確定取球的4種方法，再按要求排列即可．【詳解】要滿足這5個球的顏色與編號奇偶數(shù)均相間排列，則從中摸出5個球可能是2個紅色奇數(shù)號球和3個白色偶數(shù)號球；也可能是2個白色奇數(shù)號球和3個紅色偶數(shù)號球；或2個紅色偶數(shù)號球和3個白色奇數(shù)號球；也可能是2個白色偶數(shù)號球和3個紅色奇數(shù)號球；當(dāng)2個紅色奇數(shù)號球和3個白色偶數(shù)號球按要求排列時，有種方法；當(dāng)2個白色奇數(shù)號球和3個紅色偶數(shù)號球按要求排列時，有種方法；當(dāng)2個紅色偶數(shù)號球和3個白色奇數(shù)號球按要求排列時，有種方法；當(dāng)2個白色偶數(shù)號球和3個紅色奇數(shù)號球按要求排列時，有種方法；綜上共有72+36+36+144=288種排法.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用問題，考查了分析問題的邏輯思維能力，注意合理地進(jìn)行分類．15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①偶函數(shù)；②對任意的x1，x2，都有．請寫出這樣的一個函數(shù)f(x)________________．參考答案：答案不唯一，如y=ax2＋b(a＞0)16.若

.參考答案：17.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC；⑤平面PBC⊥平面PAC．其中正確命題的序號是

．參考答案：①②③⑤【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)?BC⊥平面PAC，繼而可證BC⊥AF，AF⊥PC，從而易證AF⊥平面PBC，從而可對①②③④⑤作出判斷．【解答】解：∵PA⊥圓O所在的平面α，BC?α，∴PA⊥BC，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC=C，∴AF⊥平面PBC，PB?平面PBC，∴AF⊥PB，即①正確；又AE⊥PB，同理可證PB⊥平面AFE，EF?平面AFE，∴EF⊥PB，即②正確；由BC⊥平面PAC，AF?平面PAC知，BC⊥AF，即③正確；∵AF⊥平面PBC（前邊已證），AE∩AF=A，∴AE不與平面PBC垂直，故④錯誤，∵AF⊥平面PBC，且AF?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC，即⑤正確．綜上所述，正確結(jié)論的序號是①②③⑤．故答案為：①②③⑤三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢C：=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線=1的焦點(diǎn)重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢C的方程；（Ⅱ）求的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（I）由雙曲線=1得焦點(diǎn)，得b=．又，a2=b2+c2，聯(lián)立解得即可；（II）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4），與橢圓方程聯(lián)立得到，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△＞0得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系可得=x1x2+y1y2，進(jìn)而得到取值范圍．解答： 解：（I）由雙曲線=1得焦點(diǎn)，得b=．又，a2=b2+c2，聯(lián)立解得a2=4，c=1．故橢圓C的方程為；（II）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4），聯(lián)立，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∴=，∴=x1x2+y1y2==，∵，∴，∴．故的取值范圍為．點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到判別式△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于難題．19.(本小題滿分14分)某音樂噴泉噴射的水珠呈拋物線形，它在每分鐘內(nèi)隨時間（秒）的變化規(guī)律大致可用（為時間參數(shù)，的單位：）來描述，其中地面可作為軸所在平面，泉眼為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于地面的直線為軸。（1）試求此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；（2）若在一建筑物前計劃修建一個矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個這樣的噴泉，則如何設(shè)計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？參考答案：（1）當(dāng)時，，

………………3分因時，，故，從而當(dāng)，即當(dāng)時，有最小值5，所以此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值是；……7分（2）設(shè)花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點(diǎn)應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界，依題意得：，（）問題轉(zhuǎn)化為在，的條件下，求的最大值。…………10分法一：，由和及得：

………………13分法二：∵，，=∴當(dāng)，即，，由可解得：。

………………13分答：花壇的長為，寬為，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，符合要求。

………………14分20.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an=1﹣2Sn．（1）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（2）設(shè)函數(shù)，求Tn=．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；88：等比數(shù)列的通項公式．【分析】（1）數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an=1﹣2Sn．可得a1=1﹣2a1，解得a1．n≥2時，an﹣1=1﹣2Sn﹣1，可得an﹣an﹣1=﹣2an．即可證明．（2）an=．f（an）==n．可得bn，=2．即可得出．【解答】（1）證明：∵數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an=1﹣2Sn．∴a1=1﹣2a1，解得a1=．n≥2時，an﹣1=1﹣2Sn﹣1，可得an﹣an﹣1=﹣2an．∴．∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為．（2）解：an=．f（an）==n．∴bn=1+2+…+n=．∴=2．∴Tn==2+…+=2=．【點(diǎn)評】本題考査了等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和法”、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21.已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。參考答案：解：（I）在中，令n=1，可得，即當(dāng)時，，.

.

又?jǐn)?shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.于是.(II)由（I）得，所以由①-②得

于是確定的大小關(guān)系等價于比較的大小由

可猜想當(dāng)證明如下：證法1：（1）當(dāng)n=3時，由上驗算顯示成立。（2）假設(shè)時所以當(dāng)時猜想也成立綜合（1）（2）可知，對一切的正整數(shù)，都有證法2：當(dāng)時綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時略22