2022年度河北省秦皇島市青龍第一中學高一數(shù)學理期末試題含解析

2022年度河北省秦皇島市青龍第一中學高一數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設角A、B、C為銳角的三個內角,且A>C,則點P在()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：A2.一學校高中部有學生2000人，其中高一學生800人，高二學生600人，高三學生600人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取容量為50的樣本，那么高一、高二、高三各年級被抽取的學生人數(shù)分別為(

)A.15，10，25

B.20，15，15C.10，10，30

D.10，20，20參考答案：B略3.已知函數(shù)(1),

(2),(3)，(4).其中是偶函數(shù)的個數(shù)為

（

）A．1

B．2

C．3D．4

參考答案：B4.設α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cosα＝x，則tanα＝（

）.A. B. C. D.參考答案：A【分析】由，可求得的值，利用正切函數(shù)的定義即可得到結果.【詳解】,因為是第二象限角,,,解得,又是第二象限角,,，故選A.【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力,屬于基礎題.5.設點M是Z軸上一點，且點M到A（1，0，2）與點B（1，－3，1）的距離相等，則點M的坐標是：

A．（－3，－3，0）

B．（0，0，－3）

C．（0，－3，－3）

D．（0，0，3）參考答案：B6.若函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)參考答案：D略7.函數(shù)y=的值域是

（

）A.［－1，1］

B.（－1，1］

C.［－1，1）

D.（－1，1）參考答案：B略8.正方形ABCD的邊長為2，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE＝1，BF＝，將此正方形沿DE、DF折起，使點A、C重合于點P，則三棱錐P－DEF的體積為()A．

B．C．

D．參考答案：B9.已知，則的大小關系是（

）A．

B．

C． D．參考答案：D略10.A、B、C為平面內不共線的三點，若向量，且，則等于

（

）A．－2

B．2

C．－2或2

D．0參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，成等差數(shù)列，且的面積為，則

；

.參考答案：812.函數(shù)的最小正周期是__________．參考答案：2【分析】直接利用余弦函數(shù)的周期公式求解即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期是：2．故答案為：2．【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期的求法，是基本知識的考查．13.直線的傾斜角為

▲

．參考答案：；14.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為__________,參考答案：15.已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：且略16.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則

．參考答案：

17.如果a∩b=M，a∥平面β，則b與β的位置關系是

．參考答案：平行或相交【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】對a，b確定的平面α與β的關系進行討論得出結論．【解答】解：設a，b確定的平面為α，若α∥β，則b∥β，若α與β相交，則b與β相交，故答案為：平行或相交．14．數(shù)列{an}的前n項的和Sn=3n2+n+1，則此數(shù)列的通項公式．【答案】【解析】【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】首先根據(jù)Sn=3n2+n+1求出a1的值，然后根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1求出當n≥時數(shù)列的遞推關系式，最后計算a1是否滿足該關系式．【解答】解：當n=1時，a1=5，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=3n2+n+1﹣3（n﹣1）2﹣n+1﹣1=6n﹣2，故數(shù)列的通項公式為，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把這個長方體截成兩個幾何體：幾何體（1）；幾何體（2）（I）設幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是V1、V2，求V1與V2的比值（II）在幾何體（2）中，求二面角P﹣QR﹣C的正切值．參考答案：考點： 二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題： 空間角．分析： （I）根據(jù)空間幾何體的形狀結合棱錐和棱柱的體積公式即可求幾何體（1）、幾何體（2）的體積以及求V1與V2的比值．（II）求出二面角的平面角，結合三角形的邊角關系即可求出二面角的大?。獯穑?解（I）設BC=a，則AB=2a，BB1=a，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）由點C作CH⊥QR于點H，連結PH，因為PC⊥面CQR，QR?面CQR，所以PC⊥QR因為PC∩CH=C，所以QR⊥面PCH，又因為PH?面PCH，所以QR⊥PH，所以∠PHC是二面角P﹣QR﹣C的平面角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）而所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）點評： 本題主要考查空間幾何體的體積的計算以及空間二面角的求解，要求熟練掌握空間幾何體的體積的計算公式以及二面角平面角的求解，考查學生的推理能力．19.(14分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點在直線y＝x+上.數(shù)列{bn}滿足bn+2－2bn+1+bn=0(nN＊),且b3=11,前9項和為153.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)設cn=,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求Tn及使不等式Tn<對一切n都成立的最小正整數(shù)k的值;(3)設問是否存在mN＊,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.參考答案：解:(1)由題意,得=n+,

即Sn=n2+n.

故當n≥2時,an=Sn－Sn－1＝(n2+n)－[(n－1)2+(n－1)]=n+5.n=1時,a1=S1=6,而當n=1時,n+5=6,所以an=n+5(nN＊),又bn+2－2bn+1+bn=0,即bn+2－bn+1=bn+1－bn(nN＊),所以{bn}為等差數(shù)列,于是＝153.而b3＝11,故b7＝23,d==3,因此,bn=b3+3(n－3)=3n+2,即bn=3n+2(nN＊).………4分(2)cn=

= ==.所以,Tn=c1+c2+……＋cn＝（1－）＋（－）＋（－）＋……＋＝＝.

易知Tn單調遞增,由Tn＜得k＞2012Tn,而Tn→,故k≥1006,∴kmin=1006.……4分

(3)①當m為奇數(shù)時,m+15為偶數(shù).

此時f(m+15)=3(m+15)+2=3m+47,5f(m)=5(m+5)=5m+25,

所以3m+47=5m+25,m=11.

②當m為偶數(shù)時,m+15為奇數(shù).

此時f(m+15)=m+15+5=m+20,5f(m)=5(3m+2)=15m+10.所以m+20=15m+10

m=N*(舍去)綜上,存在唯一正整數(shù)

m=11,使得f(m+15)

=5f(m)成立………………………6分略20.為了了解學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如右)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數(shù)為12.(1)學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內？(2)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(3)若次數(shù)在110以上(含110次)為良好，試估計該學校全體高一學生的良好率是多少？

參考答案：略21.如圖，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上．（1）求證：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P為AC的中點，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關系．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）由已知得A1A⊥平面ABC，A1A⊥BC，AD⊥BC．由此能證明BC⊥A1B．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，從而BC⊥AB，以B為原點建立空間直角坐標系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，且BC?平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1?平面A1AB，AD?平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B?平面A1BC，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB?平面A1AB，從而BC⊥AB，如圖，以B為原點建立空間直角坐標系B﹣xyz∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt△ABD中，AD=，AB=2，sin∠ABD==，∠ABD=60°，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．在Rt△ABA1中，AA1=AB?tan60°=2，則B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），P（1，1，0），A1（0，2，2），，=（0，2，2），，設平面PA1B的一個法向量，則，即，得，設平面CA1B的一個法向量，則，即，得，，∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是．…【點評】本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.已知圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及點Q（﹣2，3）．（1）若M為圓C上任一點，求|MQ|的最大值和最小值；（2）若實數(shù)m，n滿足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（1）求出|QC|，即可求|MQ|的最大值和最小值；（2）由題意，（m，n）是圓C上一點，k表示圓上任意一點與（﹣2，3）連線的斜率，設直線方程為y﹣3=k（