耦合電感與理想變壓器課件

第7章耦合電感與理想變壓器

7-1耦合電感的基本概念

7-2耦合電感的去耦等效電路7-3空芯變壓器7-4理想變壓器7-5全耦合變壓器7-1耦合電感的基本概念

7-1-1耦合電感及其電路符號

在電路中，當(dāng)兩個線圈相距較近時，各自線圈上的電流變化會通過磁場相互影響，即兩個線圈具有磁耦合，這樣的兩個線圈稱為耦合電感。L1L2cabdML1和L2稱為線圈1和線圈2的自感M為兩線圈之間的互感“·”號代表兩線圈的同名端。

耦合電感的磁耦合程度與線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，用互感M或耦合系數(shù)K表示M與K之間的關(guān)系為7-1-2耦合電感的伏安關(guān)系i1i2＋－u1＋－u2當(dāng)線圈中的電流發(fā)生變化時，通過每個線圈的總磁鏈可表示為兩分量之和，即如果各線圈電壓，電流均采用關(guān)聯(lián)參考方向，由電磁感應(yīng)定律可得電感元件上的感應(yīng)電壓分別為耦合電感的伏安關(guān)系在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，耦合電感伏安關(guān)系的相量式可寫為7-1-3耦合電感的同名端一、同名端的含義當(dāng)電流從兩線圈的一對端子同時流入（或流出）時，若兩線圈的自磁通和互磁通參考方向一致，則稱這一對端子為同名端，否則為異名端。同名端在電路圖中用符號“·”表示。二、列寫耦合電感的伏安關(guān)系的具體規(guī)則1．如果電感上電壓和電流參考方向關(guān)聯(lián)，則自感電壓為正，否則為負(fù)。2．如果電感上的電壓和電流參考方向關(guān)聯(lián)，并且電流同時流入（或流出）同名端，或者電壓和電流非關(guān)聯(lián)且電流同時流入（或流出）異名端，則互感電壓為正，否則為負(fù)。[例7-1]

試標(biāo)出如圖(a)耦合電感的同名端。abcdi1i2abcd圖(a)圖(b)解：設(shè)電流同時從a端和c端流入，根據(jù)右手法則，i1和i2產(chǎn)生的磁通方向如圖(b)所示。每個線圈的自磁通和互磁通方向相反，所以根據(jù)同名端的含義可知，a和c端是異名端，a和d或b和c是同名端。對圖（a）所示耦合電感其伏安關(guān)系為－＋L1L2cabd＋－u1u2i1i2M圖(b)7-2耦合電感的去耦等效電路耦合電感的去耦等效就是將耦合電感用無耦合的等效電路來代替，這樣對含有耦合電感電路的分析就可等同于一般電路的分析。7-2-1耦合電感串聯(lián)時的去耦等效耦合電感串聯(lián)時，兩線圈有兩種連接方式，即順串和反串L1L2＋－uiML1L2＋－uiM（a）順串（b）反串設(shè)圖中電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則根據(jù)耦合電感伏安關(guān)系可得

其中L為等效電感順串時，M前為正號；反串時，M前為負(fù)號。耦合電感的儲能因其儲能不可能為負(fù)值，因此L必須為正，由此有L1L2＋－uii1i2ML1L2＋－uii1i2M(b)反并

(a)順并順并時:M前為正號；反并時:M前為負(fù)號由上式可解得:L即為耦合電感并聯(lián)時的等效電感當(dāng)順并時:當(dāng)反并時:耦合電感并聯(lián)時儲能所以因為所以M的最大值為把實際M值與其最大值之比定義為耦合系數(shù)KK介于0與1之間,與M一樣是衡量耦合電感耦合程度的參數(shù)耦合電感的互感不能大于兩自感的幾何平均值上式可變換為＋－L1－ML2－Mi1i2u2u1M＋－（a）同名端相接去耦等效

同理可得到異名端相接的等效電路如圖(b)所示。由上式可得同名端相接時的去耦等效電路，如圖(a)所示＋－L1+ML2+Mi1i2u2u1－M＋－（b）異名端相接去耦等效

[例7-3]

求圖（a）、（b）所示電路的輸入阻抗。L1L2ZiMRL1L2RZiCM（a）（b）解：圖(a)的去耦等效電路如圖(c)所示L1－ML2－MMRZi（c）圖(b)的去耦等效電路如圖(d)所示L1L2RZiCM（b）RL1+L2－M（d）7-3空芯變壓器變壓器也是電路中常用的一種器件，其電路模型由耦合電感構(gòu)成?？招咀儔浩鳎厚詈想姼兄械膬蓚€線圈繞在非鐵磁性材料的芯子上，則構(gòu)成空芯變壓器鐵芯變壓器：耦合電感中的兩個線圈繞在鐵芯上，則構(gòu)成鐵芯變壓器空芯變壓器和鐵芯變壓器的主要區(qū)別：前者屬松耦合，耦合系數(shù)K較小，后者屬緊耦合，耦合系數(shù)K接近于1。變壓器中的兩個線圈，一個與電源相連，稱為初級線圈，一個與負(fù)載相連，稱為次級線圈，其電路模型如圖(a)所示RLi1i2＋－R1uSR2ML2L1（a）＋－RLR1R2jωL2jωL1jωM（b）當(dāng)輸入為正弦信號時，該電路的相量模型如圖(b)所示兩回路的KVL方程為：＋－RLR1R2jωL2jωL1jωM（b）

令求解以上方程可得：空芯變壓器從電源端看進去的輸入阻抗為初級回路的自阻抗次級回路在初級回路的反映阻抗則上式可變換為初級回路的自阻抗次級回路的自阻抗如果同名端改變，如圖所示＋－RLR1R2jωL2jωL1jωM＋－RLR1R2jωL2jωL1jωM兩回路的KVL方程為：與同名端的標(biāo)法無關(guān)，與同名端的標(biāo)法有關(guān)。含空芯變壓器的正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法：（1）利用反映阻抗的概念，通過初次級等效電路求解。（2）利用去耦等效求解。（3）利用戴維南等效電路求解。[例7-5]

求如圖所示空芯變壓器電路中的電流。j3Ωj2Ω＋－1Ω1Ωj2Ωab解法一：用反映阻抗的概念求解解法二：用去耦等效求解如果將原圖中的a、b端相連，如圖（a），因該連線上無電流流過,所以對原電路無影響。j3Ω＋－1Ω1Ωj2Ωbaj2Ω圖（a）＋－1Ω1Ωj1Ωj0Ωj2Ω圖（b）將a、b端相連后，其中的耦合電感就成為具有公共連接點的互感，其等效電路如圖（b）。[例7-6]

求如圖所示空芯變壓器電路ab端的戴維南等效電路

。a＋－RLR1R2jωL2jωL1jωMb＋－R1R2＋－jωL1jωL2jωM（1）求開路電壓(2)求戴維南等效阻抗R1R2＋－ZOjωMjωL1jωL2對初級和次級回路分別列KVL方程上式中為負(fù)載斷開時，次級的自阻抗由方程組中的(1)式得將上式代入(2)式，有初級回路在次級回路的反映阻抗由上式可得等效阻抗為＋－Z0RL戴維南等效電路，如圖所示

[例7-6]

電路如圖所示，最大的功率？最大功率為多少?求負(fù)載RL為何值時，可獲得R1L1＋－RLuSL2C1C2

Mi1i2解:R1L1＋－RLuSL2C1C2

Mi1i2根據(jù)最大功率傳輸條件知，當(dāng)時，RL獲得的功率最大,其最大功率為7-4理想變壓器如果耦合電感元件滿足①無損耗；②耦合系數(shù)K=1；③L1、L2均為無限大，且為常數(shù)，則元件的模型即為理想變壓器理想變壓器的符號

＋－u1u2i1i2＋－n:1理想變壓器的參數(shù)7-4-1理想變壓器的伏安關(guān)系在如圖所示的電壓、電流參考方向和同名端標(biāo)示下，理想變壓器的伏安關(guān)系為＋－u1u2i1i2＋－n:1理想變壓器伏安關(guān)系的推導(dǎo)因為理想變壓器K=1，所以一個線圈電流產(chǎn)生的磁通全部與另一個線圈相交鏈，即，則兩線圈的總磁鏈和分別為在電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向下，在初、次級線圈上產(chǎn)生的感應(yīng)電壓分別為＋－u1u2i1i2＋－n:1根據(jù)耦合電感的伏安關(guān)系有因為所以有當(dāng)時,有由理想變壓器的伏安關(guān)系可得到如下結(jié)論：（1）理想變壓器是電壓、電流的線性變換器，除具有變壓、變流的作用，同時也具有變阻的作用。它雖然采用了耦合電感的符號，但不代表任何電感和互感的作用。（2）在任意時刻，理想變壓器吸收的瞬時功率所以它既不消耗能量，也不儲存能量，只起能量傳遞的作用。是一種無損耗、無記憶的非動態(tài)元件。注意：理想變壓器伏安關(guān)系中的正、負(fù)號與電壓、電流參考方向和同名端的相對關(guān)系有關(guān)為了使用方便，使理想變壓器伏安關(guān)系能用統(tǒng)一的表達(dá)式表示，可按如下方法選定電壓、電流的參考方向：的參考方向均選定從同名端指向另一端；流入同名端，流出同名端，則理想變壓器的伏安關(guān)系可統(tǒng)一為7-4-2理想變壓器的阻抗變換＋－ab＋－NZ2n:1一、從次級到初級的阻抗變換

由上述關(guān)系，可得如圖(b)所示等效電路＋－ab＋－Nn2Z2n:1結(jié)論：并接在理想變壓器次級的阻抗可等效搬移到初級且阻抗增大了n2倍＋－ZL＋－＋－n:1如果Z2是負(fù)載，用ZL表示n2ZL＋－可得等效電路如圖所示二、從初級到次級的阻抗變換

＋－＋－NZ1n:1＋－串接在初級回路中的Z1也可以搬移到次級,且阻抗減小了1/n2倍＋－＋－NZ1n:1＋－＋－＋－＋－Nn:1＋－利用變壓器這一性質(zhì)可很方便的求解次級回路的電流、電壓和其最大功率輸出。7-4-2含理想變壓器的電路分析對含理想變壓器電路的分析可以采用前述一般的電路分析方法，只是列寫方程時要考慮到理想變壓器的伏安關(guān)系；也可以采用阻抗變換法，通過阻抗在初、次級回路的搬移，使電路得到簡化，以利于求解。[例7-7]電路如圖(a)所示，求電壓。10:1＋－25Ω1Ω＋－＋－解：此題可用阻抗變換法求解＋－n2×25Ω1Ω＋－＋－n2×25Ω1Ω＋－[例7-8]求如圖(a)所示電路的輸入電阻Ri

＋－i2u1N2R2＋－i3u2N3R3＋－N1n1:1i1n2:1u3解：在如圖所示電壓、電流參考方向下，有又因為所以有

根據(jù)輸入電阻的定義＋－i2u1N2R2＋－i3u2N3R3＋－N1n1:1i1n2:1u3根據(jù)上式可得原電路的等效電路如圖所示u1－＋i1＋－i2u1N2R2＋－i3u2N3R3＋－N1n1:1i1n2:1u3可見兩個次級阻抗可一個一個地搬到初級去。

[例7-9]如圖所示電路，已知ZL=16Ω，為使ZL獲得最大功率，求理想變壓器的匝數(shù)比。＋－Z1ZLn:1解：將ZL搬移到初級，其等效阻抗為n2

ZL。當(dāng)n2ZL和Z1達(dá)到模匹配時，負(fù)載獲得的功率最大。[例7-10]電路如圖所示，已知求電流

R22:11＋－＋－＋－23R1解：用節(jié)點分析法，取節(jié)點3為參考節(jié)點，列節(jié)點方程輔助方程R22:11＋－＋－＋－23R17-5全耦合變壓器全耦合變壓器定義：如果耦合電感元件滿足：①無損耗；②K=1，但L1、L2、M均不是無窮大，則為全耦合變壓器。

其電路模型：可以采用耦合電感元件的模型來表征可以用含理想變壓器的模型來表征。根據(jù)全耦合變壓器的條件，借鑒前述理想變壓器的分析過程，有由上式可以畫出全耦合變壓器的電路模型