2022年湖南省湘西市古丈縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022年湖南省湘西市古丈縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.經(jīng)過點（1，），漸近線與圓（x﹣3）2+y2=1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=1參考答案：C【考點】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】設(shè)雙曲線的漸近線方程為mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用漸近線與圓（x﹣3）2+y2=1相切，可得漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，代入點（1，），即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)雙曲線的漸近線方程為mx±ny=0（m＞0，n＞0）∵漸近線與圓（x﹣3）2+y2=1相切，∴=1，∴n=2m，∴漸近線方程為x±2y=0∴雙曲線方程設(shè)為x2﹣8y2=λ，代入點（1，），可得λ=1﹣2=﹣1，∴雙曲線方程為8y2﹣x2=1．故選：C．2.已知菱形ABCD的邊長為4，，若在菱形內(nèi)任取一點，則該點到菱形的四個頂點的距離大于1的概率（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略3.設(shè)滿足約條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為12，則的最小值為（

）A. B. C. D.4

參考答案：A略4.某程序框圖如圖所示，該程序運行后，輸出的值為31，則等于（

）A0

B1

C2

D3參考答案：C略5.已知函數(shù)當(dāng)時，取得最小值，則在直角坐標(biāo)系中函數(shù)的圖像為（

）參考答案：答案：B解析：因為x∈（0，4），∴x+1＞1，故當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，此時函數(shù)有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)的解析式進而作圖可知結(jié)論選B.6.為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個單位長度

B．向右平移個單位長度

C．向左平移個單位長度

D．向右平移個單位長度

參考答案：【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．C4

【答案解析】C

解析：∵y=sin（2x+）的y=sin[2（x+）+]=sin（2x+），故選C．【思路點撥】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，關(guān)鍵在于掌握平移方向與平移單位.7.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，點O是底面ABCD的中心，

點E是A1D1的中點，點P是底面ABCD上的動點，且到直線OE的距離等于1，

對于點P的軌跡，下列說法正確的是（）

A.離心率為的橢圓

B.離心率為的橢圓C.一段拋物線 D.半徑等于1的圓參考答案：A略8.要得到的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位參考答案：B試題分析：，故要得到的圖象，只需將的圖象向左平移個單位考點：函數(shù)的圖像和性質(zhì)9.下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（）A．y=cos（2x+） B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx參考答案：A【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可．【解答】解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確y=sin（2x+）=cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；y=sinx+cosx=sin（x+），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；故選：A．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的奇偶性以及紅絲帶周期的求法，考查計算能力．10.為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)=

A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將等比數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣，，則數(shù)陣的第5行所有項之和為參考答案：992【考點】89：等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意可的第5行a11，a12，a13，a14，a15，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式計算即可．【解答】解：由題意可的第5行a11，a12，a13，a14，a15，∵，∴a11=×210=32，∴a11+a12+a13+a14+a15==992故答案為：99212.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

參考答案：；提示：解不等式可得。13.在極坐標(biāo)系中，點M（2，）到直線l：ρsin（θ+）=的距離為．參考答案：考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；點到直線的距離公式．.專題：計算題．分析：先求出點M和直線l的直角坐標(biāo)方程，利用點到直線的距離公式求點M到直線l的距離．解答：解：點M（2，）的直角坐標(biāo)為（1，），直線l：ρsin（θ+）=的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣1=0，∴點M到直線l的距離d==，故答案為．點評：本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，點到直線的距離公式的應(yīng)用，應(yīng)用點到直線的距離公式求點M到直線l的距離是解題的關(guān)鍵．14.在矩形ABCD中，AB=，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值為

．參考答案：215.已知函數(shù)則的值是

.參考答案：略16.已知為等差數(shù)列，++=9，=15，則

．參考答案：817.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若bsinB﹣asinA=asinC，且△ABC的面積為a2sinB，則cosB=．參考答案：

【考點】正弦定理；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由正弦定理化簡已知的式子，結(jié)合條件和三角形的面積公式列出方程化簡后，得到三邊a、b、c的關(guān)系，由余弦定理求出cosB的值．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理得，b2﹣a2=ac，①∵△ABC的面積為a2sinB，∴，則c=2a，代入①得，b2=2a2，由余弦定理得，cosB===，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B（B位于第一象限）兩點.（1）若直線AB的斜率為，過點A，B分別作直線的垂線，垂足分別為P，Q，求四邊形ABQP的面積；（2）若，求直線l的方程.參考答案：（1）由題意可得，又直線的斜率為，所以直線的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，解之得，.所以點，的坐標(biāo)分別為，.所以，，，所以四邊形的面積為.（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線：.設(shè)，，由化簡可得，所以，.因為，所以，所以，所以，即，解得.因為點位于第一象限，所以，則.所以的方程為.

19.在銳角中，角所對的邊分別為，已知．（1）若，求；（2）設(shè)函數(shù)，求的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）用正弦定理化簡得，再由余弦定理求得；（2）化簡，由于三角形為銳角三角形，所以，由此求得.考點：解三角形，三角恒等變換.20.(本題滿分12分)下表是某市11月10日至23日的空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計表,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇11月10日至11月21日中的某一天到達該市，并停留3天（包括到達的當(dāng)天）.(Ⅰ)求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率;(Ⅱ)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;日期10111213141516空氣質(zhì)量指數(shù)853056153221220150日期17181920212223空氣質(zhì)量指數(shù)859515012498210179

參考答案：設(shè)表示事件“此人于11月日到達該市”(=10,11,…,21).

根據(jù)題意,,且

…2分(I)設(shè)B為事件“此人到達當(dāng)日空氣重度污染”,則,所以

…5分(II)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3且

…9分所以X的分布列為:

3

故X的期望

…12分21.設(shè)數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，Sn是和an的等差中項．（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）證明．參考答案：考點：數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定．專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）由Sn是和an的等差中項，知2Sn=，且an＞0，由此能夠證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{an}的通項公式．（Ⅱ）由an=n，則，故=2（），由此能夠證明．解答：解：（Ⅰ）∵Sn是和an的等差中項，∴2Sn=，且an＞0，當(dāng)n=1時，2a1=+a1，解得a1=1，當(dāng)n≥2時，有2Sn﹣1=+an﹣1，∴2Sn﹣2Sn﹣1=，即，∴=an+an﹣1，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=an+an﹣1，∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1=1，n≥2，∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，且an=n．（Ⅱ）∵an=n，則，∴=2（），∴=2[（1﹣）+（）+…+（）]=2（1﹣）＜2．∴．點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．22.（本小題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，q=（，1），p=（，）且．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函數(shù)式的