山東省青島市第六十一中學2022年度高三數學理模擬試卷含解析

山東省青島市第六十一中學2022年度高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，，，若平面內點P滿足，則的最大值為（

）A.7 B.6 C.5 D.4參考答案：C【分析】設，，根據可得，再根據可得點的軌跡，它一個圓，從而可求的最大值.【詳解】設，，故，.由可得，故，因為，故，整理得到，故點的軌跡為圓，其圓心為，半徑為2，故的最大值為，故選：C.【點睛】本題考查坐標平面中動點的軌跡以及圓中與距離有關的最值問題，一般地，求軌跡方程，可以動點轉移法，也可以用幾何法，而圓外定點與圓上動點的連線段長的最值問題，常轉化為定點到圓心的距離與半徑的和或差，本題屬于中檔題.2.若點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：A3.（5分）已知雙曲線﹣=1（b∈N*）的兩個焦點F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線上一點，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，則雙曲線的離心率為（）A．2B．3C．D．參考答案：D【考點】：雙曲線的簡單性質．【專題】：等差數列與等比數列；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：通過等比數列的性質和雙曲線的定義，余弦定理推出：|OP|2=20+3b2．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值，求出c，再由離心率公式計算即可得到．解：由題意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比數列，可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，即4c2=|PF1||PF2|，由雙曲線的定義可知|PF1|﹣|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=16，可得|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16…①設∠POF1=θ，則∠POF2=π﹣θ，由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2﹣2|OF2||OP|cos（π﹣θ），|PF1|2=c2+|OP|2﹣2|OF1||OP|cosθ，|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，由①②化簡得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．因為|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．所以b=1．c==，即有e==．故選：D．【點評】：本題考查雙曲線的定義、方程和性質，余弦定理以及等比數列的應用，是一道綜合問題，考查分析問題解決問題的能力．4.在△ABC中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A略5.若a，4，3a為等差數列的連續(xù)三項，則（

）A.1023 B.1024 C.2047 D.2048參考答案：C【分析】由，4，為等差數列的連續(xù)三項，可以求出的值，然后利用等比數列的前和公式求出的值.【詳解】因為，4，為等差數列的連續(xù)三項，所以，，故本題選C.【點睛】本題考查了等差中項、以及等比數列的前和公式，考查了數學運算能力.6.函數有兩個極值點，則實數m的取值范圍是（

）A．

B．(－∞,0)

C.(0,1)

D．(0,+∞)參考答案：A在上有兩個的零點，即有兩個不同的交點，設為圖像上任意一點，由于，以為切點的切線方程為，切線過點時，得，即，

此時切線的斜率，故滿足條件時有，即，故選A.

7.實數x，y滿足條件,則的最小值為A．16 B．4 C．1

D．參考答案：D8.復數滿足,則復數z在復平面內對應的點位于(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第三象限參考答案：D9.如圖，設D是圖中邊長分別為1和2的矩形區(qū)域，E是D內位于函數y＝（x＞0）圖象下方的區(qū)域（陰影部分），從D內隨機取一個點M，則點M取自E內的概率為(

)（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C因為.所以點M取自E內的概率為10.下列命題正確的是A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，則不等式的解集為

．參考答案：略12.在區(qū)間[1，3]上隨機選取一個數(e為自然對數的底數）的值介于e到e2之間的概率為________.參考答案：數的可取值長度為，滿足在e和之間的的取值長度為1，故所求事件的概率為.13.正方形ABCD的中心為（3，0），AB所在直線的方程為x﹣2y+2=0，則正方形ABCD的外接圓的方程為．參考答案：（x﹣3）2+y2=10【考點】圓的標準方程；點到直線的距離公式．【專題】直線與圓．【分析】確定正方形ABCD的外接圓的圓心為（3，0），利用點到直線的距離公式，可求半徑，從而可得圓的方程．【解答】解：由題意，正方形ABCD的外接圓的圓心為（3，0），∵（3，0）到直線AB的距離為=∴圓的半徑為=∴正方形ABCD的外接圓的方程為（x﹣3）2+y2=10故答案為：（x﹣3）2+y2=10．【點評】本題考查圓的標準方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．14.=．參考答案：【考點】極限及其運算．【分析】利用裂項求和，再求極限，可得結論．【解答】解：=（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）==，故答案為．15.已知向量，的夾角為，且|=1，，|=

．參考答案：3【考點】平面向量數量積的運算．【分析】利用向量的數量積化簡求解即可．【解答】解：向量，的夾角為，且|=1，，可得：=7，可得，解得|=3．故答案為：3．16.平面向量與的夾角為60°，，，則等于.

．參考答案：17.如上右圖：是的直徑，點在的延長線上，且，切于點，于點，則

；

．

參考答案：,略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設Sn是數列{an}（n∈N*）的前n項和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，設bn=Sn﹣3n．（Ⅰ）證明：數列{bn}是等比數列，并求數列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn=2log2bn﹣+2，求數列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】：數列的求和；等比數列的通項公式．計算題；證明題；等差數列與等比數列．【分析】：（Ⅰ）由an+1=Sn+3n可得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n），從而得到bn+1=2bn，于是有：數列{bn}是等比數列，可求得b1=1，從而可求得數列{bn}的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣，設M=1++++…++…①則M=++++…++…②，利用錯位相減法即可求得數列{cn}的前n項和Tn．證明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+3n，∴Sn+1﹣Sn=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）∴bn+1=2bn…（4分）又b1=S1﹣3=a1﹣3=1，∴{bn}是首項為1，公比為2的等比數列，故數列{bn}的通項公式為bn=2n﹣1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣…（8分）設M=1++++…++…①則M=++++…++…②①﹣②得：M=1+++++…+﹣=2﹣﹣，∴M=4﹣﹣=4﹣，∴Tn=n（n+1）+﹣4…（12分）【點評】：本題考查數列的求和，考查等比數列的通項公式，突出考查了錯位相減法，考查分析與轉化的能力，屬于中檔題．19.(本題滿分12分)如圖，是以為直徑的半圓上異于點的點，矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面，且．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)設平面與半圓弧的另一個交點為

①.求證：//;②.若，求多面體的體積V.參考答案：(Ⅰ)∵E是半圓上異于A、B的點，∴AE⊥EB,又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，由面面垂直性質定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，且二面交線為EB，由面面垂直性質定理得：AE⊥平面ABE，又EC在平面ABE內，故得：EA⊥EC…………4分(Ⅱ)①由CD//AB，得CD//平面ABE，又∵平面CDE∩平面ABE于直線EF，∴根據線面平行的性質定理得：CD//EF，CD//AB，故EF//AB

…………7分②分別取AB、EF的中點為O、M，連接OM，則在直角三角形OME中，，因為矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面，即OM為M到面ABCD之距，又//，E到到面ABCD之距也為，

…………9分則

…………12分20.已知函數，函數，其中為自然對數的底數．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）若，使得不等式成立，試求實數的取值范圍；（Ⅲ）當時，對于，求證：．參考答案：解：(Ⅰ)函數的定義域為，．①當時，，在上為增函數.②當時，若，,在上為增函數；若，,在上為減函數.綜上所述，當時，在上為增函數.當時，在上為增函數，在上為減函數.

(Ⅱ)，使得不等式成立，，使得成立，令，則，當時，，，，，從而在上為減函數，

(Ⅲ)當時，，令，則，，且在上為增函數.設的根為，則，即.當時，，在上為減函數；當時，，在上為增函數，，，由于在上為增函數，.

略21.(本小題滿分12分)已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點．（I）求橢圓的方程；（II）直線與橢圓相交于、兩點，為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．參考答案：（I）依題意，可設橢圓的方程為．

由

∵橢圓經過點，則，解得∴橢圓的方程為······························································································（II）聯(lián)立方程組，消去整理得·························∵直線與橢圓有兩個交點，∴，解得

①·············································∵原點在以為直徑的圓外，∴為銳角，即．而、分別在、上且異于點，即···············································設兩點坐標分別為，則

解得

，

②·····················································綜合①②可知：

22.某圖書公司有一款圖書的歷史收益率（收益率=利潤÷每本收入）的頻率分布直方圖如圖所示：（1）試估計平均收益率；（用區(qū)間中點值代替每一組的數值）（2）根據經驗，若每本圖書的收入在20元的基礎上每增加元，對應的銷量（萬