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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知命題p:直線a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線l⊥平面α,任意直線m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)2.拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.3.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣854.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.175.已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則等于()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若對(duì)于任意的,函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件8.已知純虛數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)等于()A. B.1 C. D.29.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).甲:我的成績(jī)比乙高.乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙:我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙11.若雙曲線的焦距為,則的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為()A. B. C. D.12.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對(duì)稱,若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則__________.14.已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為____________.15.已知實(shí)數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y16.已知集合,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,焦距為2,直線與橢圓交于兩點(diǎn)(均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)).當(dāng)直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí),四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線的斜率分別為.①若,求證:直線過(guò)定點(diǎn);②若直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),試判斷是否為定值,并說(shuō)明理由.18.(12分)在等比數(shù)列中,已知,.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,(,).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)是否存在等差數(shù)列,使得對(duì)任意,都有?若存在,求出所有符合題意的等差數(shù)列;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù)使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲,每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與,測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對(duì)其排序,然后由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為xAxBxCxD,家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來(lái)衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.(1)若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.(?。┣笏麄?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(簡(jiǎn)要說(shuō)明方法,不用寫出詳細(xì)計(jì)算過(guò)程);(2)若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來(lái)三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解,說(shuō)明理由.21.(12分)如圖,在中,已知,,,為線段的中點(diǎn),是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成,記二面角的大小為.(1)當(dāng)平面平面時(shí),求的值;(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)解不等式:;(2)求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
首先判斷出為假命題、為真命題,然后結(jié)合含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定,我們易得命題若直線,直線平面,則直線平面或直線在平面內(nèi),命題為假命題;根據(jù)線面垂直的定義,我們易得命題若直線平面,則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷,考查含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
通過(guò)拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過(guò)作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時(shí),有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過(guò)解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗(yàn)證即可;【詳解】解:∵,∴當(dāng)時(shí),滿足,∴實(shí)數(shù)可以為8.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點(diǎn),,故選:B【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎(chǔ)題.6.D【解析】
將原題等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根,先求導(dǎo),可判斷時(shí),,是增函數(shù);當(dāng)時(shí),,是減函數(shù).因此,再令,求導(dǎo)得,結(jié)合韋達(dá)定理可知,要滿足題意,只能是存在零點(diǎn),使得在有解,通過(guò)導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);則應(yīng)滿足,再結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)即可求解;【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn),等價(jià)于方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根.,所以當(dāng)時(shí),,是增函數(shù);當(dāng)時(shí),,是減函數(shù).因此.設(shè),,若在無(wú)解,則在上是單調(diào)函數(shù),不合題意;所以在有解,且易知只能有一個(gè)解.設(shè)其解為,當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù).因?yàn)?,方程在?nèi)有兩個(gè)不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因?yàn)?,所以,代入,?設(shè),,所以在上是增函數(shù),而,由可得,得.由在上是增函數(shù),得.綜上所述,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題,構(gòu)造函數(shù)法,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系,轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于難題7.B【解析】
解出兩個(gè)不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因?yàn)榧希浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法.8.B【解析】
先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出,然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)椋?,又因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值,難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則有.9.B【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為:,位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測(cè)正確,則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,則甲比乙成績(jī)高,丙比乙成績(jī)低,故3人成績(jī)由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預(yù)測(cè)正確,則丙預(yù)測(cè)也正確,不符合題意;若丙預(yù)測(cè)正確,則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,丙比乙的成績(jī)高,乙比甲成績(jī)高,即丙比甲,乙成績(jī)都高,即乙預(yù)測(cè)正確,不符合題意,故選A.【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.11.B【解析】
根據(jù)焦距即可求得參數(shù),再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為,故可得,解得,不妨取;又焦點(diǎn),其中一條漸近線為,由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程,以及雙曲線的幾何性質(zhì),屬綜合基礎(chǔ)題.12.C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
因?yàn)?,由二倍角公式得到,故得到.故答案為?4.(或?qū)懗桑窘馕觥?/p>
設(shè)與的夾角為,通過(guò),可得,化簡(jiǎn)整理可求出,從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得,故,將代入可得得到,于是與的夾角為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,分析能力及計(jì)算能力.15.2【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式:2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.16.【解析】
利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)①證明見解析;②【解析】
(1)由題意焦距為2,設(shè)點(diǎn),代入橢圓,解得,從而四邊形的面積,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,推導(dǎo)出,,,,由此猜想:直線過(guò)定點(diǎn),從而能證明,,三點(diǎn)共線,直線過(guò)定點(diǎn).②由題意設(shè),,,,直線,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:,得,推導(dǎo)出,,由此推導(dǎo)出(定值).【詳解】(1)由題意焦距為2,可設(shè)點(diǎn),代入橢圓,得,解得,四邊形的面積,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,,解得,從而,,,同理可得,,猜想:直線過(guò)定點(diǎn),下證之:,,,,三點(diǎn)共線,直線過(guò)定點(diǎn).②為定值,理由如下:由題意設(shè),,,,直線,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:,得,,,,(定值).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明,考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法,考查橢圓、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18.(1)(2)見解析(3)存在唯一的等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式為,滿足題設(shè)【解析】
(1)由,可得公比,即得;(2)由(1)和可得數(shù)列的遞推公式,即可知結(jié)果為常數(shù),即得證;(3)由(2)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式,,設(shè)出等差數(shù)列,再根據(jù)不等關(guān)系來(lái)算出的首項(xiàng)和公差即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)?,,所以,解?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.(2)由(1)得,當(dāng),時(shí),可得①,②②①得,,則有,即,,.因?yàn)?,由①得,,所以,所以?所以數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.(3)由(2)得,所以,.假設(shè)存在等差數(shù)列,其通項(xiàng),使得對(duì)任意,都有,即對(duì)任意,都有.③首先證明滿足③的.若不然,,則,或.(i)若,則當(dāng),時(shí),,這與矛盾.(ii)若,則當(dāng),時(shí),.而,,所以.故,這與矛盾.所以.其次證明:當(dāng)時(shí),.因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),.所以當(dāng),時(shí),.再次證明.(iii)若時(shí),則當(dāng),,,,這與③矛盾.(iv)若時(shí),同(i)可得矛盾.所以.當(dāng)時(shí),因?yàn)椋?,所以?duì)任意,都有.所以,.綜上,存在唯一的等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式為,滿足題設(shè).【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式,證明等差數(shù)列,以及數(shù)列中的探索性問(wèn)題,是一道數(shù)列綜合題,考查學(xué)生的分析,推理能力.19.【解析】試題分析:先將問(wèn)題“存在實(shí)數(shù)使成立”轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析:存在實(shí)數(shù)使成立,等價(jià)于的最大值大于,因?yàn)?,由柯西不等式:,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,故常數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn):柯西不等式即運(yùn)用和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.20.(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表見解析;(2)理由見解析【解析】
(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,家長(zhǎng)的排序有種等可能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.
(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.
(2)假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.【詳解】(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,先考慮小孩的排序?yàn)閤A,xB,xC,xD為1234的情況,家長(zhǎng)的排序有=24種等可能結(jié)果,其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,分別為:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=.基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況,只需將角標(biāo)A,B,C,D按照小孩的順序調(diào)整即可,假設(shè)小孩的排序xA,xB,xC,xD為1423的情況,四種食物按1234的排列為ACDB,再研究yAyByCyD的情況即可,其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的,∴他們?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為.(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24
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