上海市浦東模范中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

上海市浦東模范中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．這種放射性元素的半衰期（剩留量為最初質(zhì)量的一半所需的時(shí)間叫做半衰期）是．（精確到0.1．已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）（） A． 52 B． 6.6 C． 71 D． 83參考答案：B考點(diǎn)： 根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．專題： 應(yīng)用題．分析： 設(shè)所需的年數(shù)為x，得方程，兩邊取對數(shù)，再用換底公式變形，代入已知數(shù)據(jù)可得x的近似值，四舍五入即可得出正確答案．解答： 設(shè)該元素的質(zhì)量衰減到一半時(shí)所需要的年數(shù)為x，可得化簡，得即≈6.6故選B點(diǎn)評： 本題以實(shí)際問題為載體，考查指數(shù)函數(shù)模型的構(gòu)建，考查解指數(shù)方程，屬于基礎(chǔ)題．2.若|

，

且（）⊥

，則與的夾角是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.如圖，已知l1⊥l2，圓心在l1上，半徑為1m的圓O在t=0時(shí)與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1m/s的速度勻速向上移動(dòng)，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y=，則y與時(shí)間t（0≤t≤1，單位：s）的函數(shù)y=f（t）的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】通過t=0時(shí)y=0，排除選項(xiàng)C、D，利用x的增加的變化率，說明y=sin2x的變化率，得到選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，x=0，對應(yīng)y=0，所以選項(xiàng)C，D不合題意，當(dāng)t由0增加時(shí)，x的變化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函數(shù)，所以函數(shù)y=f（t）的圖象變化先快后慢，所以選項(xiàng)B滿足題意，C正好相反，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象的變換快慢，考查學(xué)生理解題意以及視圖能力，屬于中檔題．4.已知集合，則下列式子表示正確的有（

）①

②

③

④A．1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)參考答案：C略5.已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為點(diǎn)O，且，則的值為（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】先將一個(gè)向量用其余兩個(gè)向量表示出來，然后借助于平方使其出現(xiàn)向量模的平方，則才好用上外接圓半徑，然后進(jìn)一步分析結(jié)論，運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，容易化簡出要求的結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?+4+5=，所以3+4=﹣5，所以92+24?+162=252，因?yàn)锳，B，C在圓上，所以||=||=||=1．代入原式得?=0，所以?=﹣（3+4）?（﹣）=﹣（﹣32+42﹣?）=﹣×（﹣3+4﹣0）=﹣．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量在幾何問題中的應(yīng)用．要利用向量的運(yùn)算結(jié)合基底意識，將結(jié)論進(jìn)行化歸，從而將問題轉(zhuǎn)化為基底間的數(shù)量積及其它運(yùn)算問題．6.在ABC中，a，b，c分別為A、B、C所對的邊，若a=2bcosC，則此三角形一定是（

）A．等腰直角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰或直角三角形參考答案：C7.等比數(shù)列{an}中，，則{an}的前4項(xiàng)和為（

）A.48

B.60

C.81

D.124參考答案：B設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，∴，∴，∴數(shù)列的前4項(xiàng)和．故選B．

8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，那么線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為A．

B．

C．

D．參考答案：A9.設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為A．

B．C．

D．

參考答案：D10.已知{an}是等差數(shù)列，且a2+a3+a10+a11=48，則a6+a7=（）A．12B．16C．20D．24參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a2+a11=a3+a10=a6+a7．代入已知即可得出．解答：解：∵{an}是等差數(shù)列，∴a2+a11=a3+a10=a6+a7．又a2+a3+a10+a11=48，∴2（a6+a7）=48，解得a6+a7=24．故選D．點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)數(shù)列滿足，則為等差數(shù)列是為等比數(shù)列的---____________條件

參考答案：充要12.設(shè)f(x)＝2sinωx，(0<ω<1)在閉區(qū)間[0，]上的最大值為，則ω的值為__________．參考答案：略13.一個(gè)高中研究性學(xué)習(xí)小組對本地區(qū)年至年快餐公司發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查，制成了該地區(qū)快餐公司個(gè)數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖（如圖），根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯

萬盒。參考答案：

解析：2000年：（萬）；2001年：（萬）；

2002年：（萬）；(萬)14.有下列四個(gè)命題：①若α、β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ；②若函數(shù)y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，則a=；③函數(shù)y=是奇函數(shù)；④函數(shù)y=sin（x﹣）在[0，π]上是增函數(shù)；其中正確命題的序號為

．參考答案：④【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①舉例說明，令α=30°，β=﹣300°滿足均為第一象限角，且α＞β，但sin30°＜sin（﹣300°），可判斷①錯(cuò)誤；②若函數(shù)y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，則a=±，可判斷②錯(cuò)誤；③利用奇函數(shù)的定義可判斷函數(shù)y=f（x）=不是奇函數(shù)，可判斷③錯(cuò)誤；④利用余弦函數(shù)y=cosx在[0，π]上是減函數(shù)，知y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函數(shù)，可判斷④正確；【解答】解：對于①，α=30°，β=﹣300°均為第一象限角，且α＞β，但sin30°=＜sin（﹣300°）=，故①錯(cuò)誤；對于②，若函數(shù)y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，即T==4π，則a=±，故②錯(cuò)誤；對于③，因?yàn)楹瘮?shù)f（﹣x）==≠﹣=﹣f（x），所以函數(shù)y=不是奇函數(shù)，故③錯(cuò)誤；對于④，因?yàn)閥=cosx在[0，π]上是減函數(shù)，所以函數(shù)y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函數(shù)，故④正確；綜上所述，正確命題的序號為④．故答案為：④．15.已知函數(shù)，則

參考答案：略16.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：(－1，0)∪(1，+∞)17.設(shè)，若用含x的形式表示，則________.參考答案：【分析】兩邊取以5為底的對數(shù)，可得，化簡可得，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗詢蛇吶∫?為底的對數(shù)，可得，即，所以，，故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算法則，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所求扇形OPQ的半徑為1，圓心角為，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）記矩形ABCD的面積為，求最大值，并求此時(shí)的值.參考答案：（1）OA=BC，所以，所以.（2）

19.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可確定出AB的長；（2）設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了m，乙距離A處130tm，由余弦定理可得；（3）設(shè)乙步行的速度為vm/min，從而求出v的取值范圍．【解答】解：（1）在△ABC中，因?yàn)閏osA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，從而sinB=sin=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的長為1040m．（2）假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2=2+2﹣2×130t××=200（37t2﹣70t+50）=200，因0≤t≤，即0≤t≤8，故當(dāng)t=min時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙從B出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了50×（2+8+1）=550m，還需走710m才能到達(dá)C．設(shè)乙步行的速度為vm/min，由題意得﹣3≤≤3，解得，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在[]范圍內(nèi)．20.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大??；（2）若a+c=1，求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理；GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】（1）已知等式第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后根據(jù)sinA不為0求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）由余弦定理列出關(guān)系式，變形后將a+c及cosB的值代入表示出b2，根據(jù)a的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出b2的范圍，即可求出b的范圍．【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B為三角形的內(nèi)角，則B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac?cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，則≤b＜1．21.已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、下底面的邊長分別為4、10，側(cè)棱長為6.（1）求正四棱臺的表面積；（2）求三棱錐的體積.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）求得側(cè)面的高，由此求得正四棱臺的表面積.（2）求得正四棱臺的高，由此求得三棱錐的體積.【詳解】如圖，（1）為正四棱臺，，，.在等腰梯形中，過作，可得，求得，正四棱臺的表面積；（2）連接，，可得，，過作，根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)可知平面，平面,,所以，所以，