上海建承中學2021-2022學年高二數(shù)學理期末試卷含解析

上海建承中學2021-2022學年高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線（）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.曲線y=x3﹣2在點（1，﹣）處切線的斜率為（）A． B．1 C．﹣1 D．參考答案：B【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求曲線在某點處的切線的斜率，就是求曲線在該點處的導數(shù)值，先求導函數(shù)，然后將點的坐標代入即可求得結果．【解答】解：y=x3﹣2的導數(shù)為：y′=x2，將點（1，﹣）的橫坐標代入，即可得斜率為：k=1．故選：B．3.函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是(

)ks5uA、(-2,-1)

B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)參考答案：B略4.若圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三個不同的點，到直線l：y=x+b的距離為2，則b取值范圍為（）A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[﹣2，2）參考答案：B【考點】直線與圓的位置關系．【分析】先求出圓心和半徑，比較半徑和2，要求圓上至少有三個不同的點到直線l：y=x+b的距離為2，則圓心到直線的距離應小于等于，用圓心到直線的距離公式，可求得結果．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理為（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圓心坐標為（2，2），半徑為3，要求圓上至少有三個不同的點到直線l：y=x+b的距離為2則圓心到直線的距離d=≤，∴﹣2≤c≤2故選：B．【點評】本題考查直線和圓的位置關系，圓心到直線的距離等知識，是中檔題．5.已知等差數(shù)列{an}，且是方程的兩根，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則的值為（

）A.110 B.66 C.44 D.33參考答案：B【分析】由韋達定理可得：，再由等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列的性質即可計算得解。【詳解】因為是方程的兩根，所以.所以故選：B【點睛】本題主要考查了韋達定理的應用，還考查了等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列的性質，考查轉化能力及計算能力，屬于中檔題。6.已知a，b為兩個單位向量,那么(

)

A.a＝b

B.若a∥b,則a＝b

C.a·b＝1

D.a2＝b2

參考答案：D7.已知方程和，其中,，它們所表示的曲線可能是下列圖象中的（▲）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B略8.設變量x、y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=3x+y的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．12參考答案：B【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式對應的平面區(qū)域如圖，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直線y=﹣3x+z，由圖象可知當直線y=﹣3x+z，經過點A時，直線y=﹣3x+z的截距最小，此時z最?。?，解得，即A（1，1），此時z的最小值為z=1×3+1=4，故選：B9.下列各函數(shù)中，最小值為2的是(

)A. B.，C. D.參考答案：D【分析】對于選項A中的x來說，因為x不等于0，所以x大于0小于0不確定，所以最小值不一定為2；對于選項B和C中的函數(shù)來說，sinx大于0，而也大于0，但是基本不等式不滿足取等號的條件；從而可得結果．【詳解】對于A：不能保證x＞0，

對于B：不能保證sinx=，

對于C：不能保證，

對于D：，當時，最小值為2．

故選D【點睛】利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）．10.下列四個命題：1

，”是全稱命題；2

命題“，”的否定是“，使”；3

若，則；

4

若為假命題，則、均為假命題．其中真命題的序號是（

）A．①② B．①④ C．②④ D．①②③④參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.5]=1，[﹣1.5]=﹣2．若函數(shù)（a＞0，a≠1），則g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域為．參考答案：{0，﹣1}【考點】函數(shù)的值域．【分析】先求出函數(shù)f（x）的值域，然后求出[f（x）﹣]的值，再求出f（﹣x）的值域，然后求出[f（﹣x）﹣]的值，最后求出g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域即可．【解答】解：=∈（0，1）∴f（x）﹣∈（﹣，）[f（x）﹣]=0或﹣1∵f（﹣x）=∈（0，1）∴f（﹣x）﹣∈（，）則[f（﹣x）﹣]=﹣1或0∴g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域為{0，﹣1}故答案為：{0，﹣1}12.（5分）設n為奇數(shù)，則除以9的余數(shù)為．參考答案：由于n為奇數(shù)，=（1+7）n﹣1=（9﹣1）n﹣1=+++…++﹣1，顯然，除了最后2項外，其余的各項都能被9整除，故此式除以9的余數(shù)即最后2項除以9的余數(shù)．而最后2項的和為﹣2，它除以9的余數(shù)為7，故答案為7．所給的式子即（9﹣1）n﹣1的展開式，除了最后2項外，其余的各項都能被9整除，故此式除以9的余數(shù)即最后2項除以9的余數(shù)．13.對于橢圓和雙曲線有下列命題：①橢圓的焦點恰好是雙曲線的頂點;

②雙曲線的焦點恰好是橢圓的頂點;③雙曲線與橢圓共焦點;④橢圓與雙曲線有兩個頂點相同.其中正確命題的序號是

。參考答案：略14.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓(x-3)2+y2=16相切，則p的值為

.參考答案：2

略15.設變量滿足約束條件：.則目標函數(shù)的最小值為__________.參考答案：716.在區(qū)間[0，2]上任取兩個實數(shù)x，y，則x2+y2≤1的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】該題涉及兩個變量，故是與面積有關的幾何概型，分別表示出滿足條件的面積和整個區(qū)域的面積，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由題意可得，區(qū)間[0，2]上任取兩個實數(shù)x，y的區(qū)域為邊長為2的正方形，面積為4．∵x2+y2≤1的區(qū)域是圓的面積的，其面積S=，∴在區(qū)間[0，2]上任取兩個實數(shù)x，y，則x2+y2≤1的概率為．故答案為．17.命題“”的否定是

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知開口向上的二次函數(shù)f(x)，對任意，恒有成立，設向量a=，b=(1,2)。求不等式f(a·b)<f(5)的解集。參考答案：由題意知f(x)在上是增函數(shù)，

a·b=

f(a·b)<f(5)

a·b<5(*)①當時，不等式(*)可化為，此時x無解；②當時，不等式(*)可化為此時；③當時，不等式(*)可化為，此時。綜上可知：不等式f(a·b)<f(5)的解集為。19.一般地，若f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ka，kb]，（a＜b），則稱[a，b]為函數(shù)f（x）的“k倍保值區(qū)間”．特別地，若f（x）的定義域為[a，b]，值域也為[a，b]，（a＜b），則稱[a，b]為函數(shù)f（x）的“保值區(qū)間”．（1）若[1，b]為g（x）=的保值區(qū)間，求常數(shù)b的值；（2）問是否存在常數(shù)a，b（a＞﹣2）使函數(shù)h（x）=的保值區(qū)間為[a，b]？若存在，求出a，b的值，否則，請說明理由．（3）求函數(shù)p（x）=x2+的2倍保值區(qū)間[a，b]．參考答案：【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】新定義；分類討論；分析法；函數(shù)的性質及應用．【分析】（1）求得g（x）的對稱軸為x=1，可得g（x）在[1，b]上單調遞增，即有b的方程，解方程可得b；（2）假設存在這樣的a，b，由于a＞﹣2，則h（x）在[a，b]上單調遞減，可得a，b的關系式，解方程即可判斷是否存在；（3）討論①當a＜b＜0時，②當0＜a＜b時，③當a＜0＜b時，運用單調性，結合二次方程解方程可得a，b，進而得到所求區(qū)間．【解答】解：（1）g（x）=的對稱軸為x=1，則g（x）在[1，b]上單調遞增，可得?b=3或b=1，由于b＞1，則b=3；（2）假設存在這樣的a，b，由于a＞﹣2，則h（x）在[a，b]上單調遞減，則即有?（a+2）b=（b+2）a?a=b與a＜b矛盾．故不存在這樣的a，b；（3）①當a＜b＜0時，p（x）在[a，b]上單調遞增，

則即為則a，b0為方程的兩個根．由于ab=﹣13＜0（舍）；②當0＜a＜b時，p（x）在[a，b]上單調遞減，則即為，兩式相減（舍）；③當a＜0＜b時，，若（舍），若p（x）min=p（a）=﹣a2+=2a，解得a=﹣﹣2或﹣2（舍去），又，則，綜上所述，或．即有2倍保值區(qū)間[a，b]為[1，3]或[﹣﹣2，]．【點評】本題考查新定義的理解和運用，考查函數(shù)的性質和運用，主要考查單調性的運用，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．20.

實數(shù)m什么值時，復數(shù)是(I)實數(shù)；(II)純虛數(shù)．參考答案：（Ⅰ）復數(shù)z為實數(shù)滿足，即，解得，或--------------------------------------------4分（Ⅱ）復數(shù)z為純虛數(shù)滿足，

解得，或---------------------------8分

略21.在等差數(shù)列{an}中，a1+a3+a5=﹣12，且a1a3a5=80，求數(shù)列{an}的通項公式．參考答案：【考點】等差數(shù)列的性質．【專題】方程思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1+a3+a5=﹣12，且a1a3a5=80，∴，解得a3=﹣4，d=±3．∴an=a3+（n﹣3）d=3n﹣13或﹣3n+5．因此an=3n﹣13或﹣3n+5．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.如圖，橢圓過點，