大學物理(第四版)課后習題及答案-電介質

電解質題8.1：一真空二極管，其主要構件是一個半徑R1=5.010-4m的圓柱形陰極和一個套在陰極外，半徑的同軸圓筒形陽極。陽極電勢比陰極電勢高300V，陰極與陽極的長度均為L=2.510-2m。假設電子從陰極射出時的速度為零。求：（1）該電子到達陽極時所具有的動能和速率；（2）電子剛從陽極射出時所受的力。題8.1分析：（1）由于半徑，因此可將電極視作無限長圓柱面，陰極和陽極之間的電場具有軸對稱性。從陰極射出的電子在電場力作用下從靜止開始加速，電于所獲得的動能等于電場力所作的功，也即等于電子勢能的減少。由此，可求得電子到達陽極時的動能和速率。（2）計算陽極表面附近的電場強度，由求出電子在陰極表面所受的電場力。解：（1）電子到達陽極時，勢能的減少量為由于電子的初始速度為零，故因此電子到達陽極的速率為（2）兩極間的電場強度為兩極間的電勢差負號表示陽極電勢高于陰極電勢。陰極表面電場強度電子在陰極表面受力這個力盡管很小，但作用在質量為9.1110－31kg的電子上，電子獲得的加速度可達重力加速度的51015倍。題8.2：一導體球半徑為R1，外罩一半徑為R2的同心薄導體球殼，外球殼所帶總電荷為Q，而內球的電勢為V0。求此系統(tǒng)的電勢和電場的分布。題8.2分析：不失一般情況，假設內導體球帶電，導體達到靜電平衡時電荷的分布如圖所示，依照電荷的這一分布，利用高斯定理可求得電場分布。并由或電勢疊加求出電勢的分布。最后將電場強度和電勢用已知量表示。題8.2解：根據(jù)靜電平衡時電荷的分布，可知電場分布呈球對稱。取同心球面為高斯面，由高斯定理，根據(jù)不同半徑的高斯面內的電荷分布，解得各區(qū)域內的電場分布為，，，由電場強度與電勢的積分關系，可得各相應區(qū)域內的電勢分布。r<R1時，，，也可以從球面電勢的疊加求電勢的分布。在導體球內（r<R1）在導體球和球殼之間（R1<r<R2）在球殼外（r>R2）由題意得代人電場、電勢的分布得，，，題8.3：在一半徑為R1=6.0cm的金屬球A外面套有一個同心的金屬球殼B。已知球殼B的內、外半徑分別為R2=8.0cm，R3=10.0cm。設球A帶有總電荷，球殼B帶有總電荷。（l）求球殼B內、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼B的電勢；（2）將球殼B接地然后斷開，再把金屬球A接地，求球A和球殼B內、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼B的電勢。題8.3分析：（1）根據(jù)靜電感應和靜電平衡時導體表面電荷分布的規(guī)律，電荷QA均勻分布在球A表面，球殼B內表面帶電荷，外表面帶電荷，電荷在導體表面均勻分布，由帶電球面電勢的疊加可求得球A和球殼B的電勢。（2）導體接地，表明導體與大地等電勢（大地電勢通常取為零）。球殼B接地后，外表面的電荷從大地流入的負電荷中和，球殼內表面帶電。斷開球殼B的接地后，再將球A接地，此時球A的電勢為零。電勢的變化必將引起電荷的重新分布，以保持導體的靜電平衡、不失一般性可設此時球A帶電qA，根據(jù)靜電平衡時導體上電荷的分布規(guī)律，可知球殼B內表面感應qA，外表面帶電qAQA。此時球A的電勢可表示為由可解出球A所帶的電荷，再由帶電球面電勢的疊加，可求出球A和球殼B的電勢。解：（1）由分析可知，球A的外表面帶電，球殼B內表面帶電，外表面帶電。由電勢的疊加，球A和球殼B的電勢分別為（2）將球殼B接地后斷開，再把球A接地，設球A帶電qA，球A和球殼B的電勢為解得即球A外表面帶電，由分析可推得球殼B內表面帶電，外表面帶電。另外球A和球殼B的電勢分別為導體的接地使各導體的電勢分布發(fā)生變化，打破了原有的靜電平衡，導體表面的電荷將重新分布，以建立新的靜電平衡。題8.4：地球和電離層可當作球形電容器，它們之間相距約為100km，試估算地球－電離層系統(tǒng)的電容。設地球與電離層之間為真空。題8.4解：由于地球半徑容公式，可得；電離層半徑，根據(jù)球形電容器的電題8.5：兩線輸電線，其導線半徑為3.26mm，兩線中心相距0.5m，線位于地面上空很高處，因而大地影響可以忽略。求輸電線單位長度的電容題8.5解：兩輸電線的電勢差因此，輸電線單位長度的電容代人數(shù)據(jù)題8.6：由兩塊相距0.50mm的薄金屬板A、B構成的空氣平板電容器被屏蔽在一金屬盒K內，金屬盒上、下兩壁與A、B分別相距0.25mm，金屬板面積為求：（1）被屏蔽后電容器的電容變?yōu)樵瓉淼膸妆叮唬?）若電容器的一個引腳不慎與金屬屏蔽金相碰，問此時的電容又為原來的幾倍。題8.6分析：薄金屬板A、B與金屬盒一起構成三個電容器其等效電路圖如圖所示，由于兩導體間距離較小。電容器可視為平板電容器，通過分析等效電路圖可求得A、B間的電容。。解：（1）如圖，由等效電路可知由于電容器可視作平板電容器，且，故，因此A、B間的總電容（2）若電容器的一個引腳與屏蔽盒相碰，相當于（或者）極板短接，其電容為零，則總電容題8.7：在A點和B點之間有5個電容器，其連接如圖所示。（1）求A、B兩點之間的等效電容；（2）若A、B之間的電勢差為12V，求UAC、UCD和UDB題8.7解：（1）由電容器的串、并聯(lián)，有。求得等效電容（2）由于，得題8.8：蓋革—米勒管可用來測量電離輻射。該管的基本結構如圖所示，一半徑為R1的長直導線作為一個電極，半徑為R2的同軸圓柱筒為另一個電極。它們之間充以相對電容率的氣體。當電離粒子通過氣體時，能使其電離。若兩極間有電勢差時，極板間有電流，從而可測出電離粒子的數(shù)量。如以E1表示半徑為R1的長直導線附近的電場強度。（1）求極板間電勢的關系式；（2）若，兩極板間的電勢差為多少？題8.8解：（1）由上述分析，利用高斯定理可得，則兩極板間的電場強度導線表面（r=R1）的電場強度兩極板間的電勢差（2）當時，題8.9：一片二氧化鈦晶片，其面積為1.0cm2，厚度為0.10mm。把平行平板電容器的兩級板緊貼在晶片兩側。（1）求電容器的電容；（2）當在電容器的兩板上加上12V電壓時，極板上的電荷為多少時，極板上的電荷為多少？此時自由電荷和極化電荷的面密度各為多少？（3）求電容器內的電場強度.題8.9解：（1）查表可知二氧化鈦的相對電容率，故充滿此介質的平板電容器的電容（2）電容器加上的電壓時，極板上的電荷極板上自由電荷面密度為晶片表面極化電荷密度（3）晶片內的電場強度為題8.10：如圖所示，半徑=0.10m的導體球帶有電荷R，導體外有兩層均勻介質，一層介質的，厚度，另一層介質為空氣，充滿其余空間。求：（1）離球心為r=5cm、15cm、25cm處的D和E；（2）離球心為r=5cm、15cm、25cm處的V；（3）極化電荷面密度。題8.10分析：帶電球上的自由電荷均勻分布在導體球表面，電介質的極化電荷也均勻分布在介質的球形界面上，因而介質中的電場是球對稱分布的任取同心球面為高斯面，電位移矢量D的通量只與自由電荷分布有關，因此在高斯面D上呈均勻對稱分布，由高斯定理可得再由可得。介質內電勢的分布，可由電勢和電場強度的積分關系求得，或者由電勢疊加原理求得。極化電荷分布在均勻介質的表面，其極化電荷體面密度。解：（1）取半徑為r的同心球面為高斯面，由高斯定理得將不同的r值代人上述兩式，可得r=5cm、15cm和25cm時的電位移和電場強度的大小，其方向均沿徑向朝外。r1=5cm，該點在導體球內，則r2=15cm，該點在介質層內，，則r3=25cm，該點在空氣層內，空氣中，則（2）取無窮遠處電勢為零，由電勢與電場強度的積分關系得（3）均勻介質的極化電荷分布在介質界面上，因空氣的電容率，極化電荷可忽略。故在介質外表面；在介質內表面：介質球殼內、外表面的極化電荷面密度雖然不同，但是兩表面極化電荷的總量還是等量異號。題8.11：一平板電容充電后極板上電荷面密度為?，F(xiàn)將兩極板與電源斷開，然后再把相對電容率為的電介質插人兩極板之間。此時電介質中的D、E和P各為多少？題8.11解：介質中的電位移矢量的大小介質中的電場強度和極化強度的大小分別為D、P、E方向相同，均由正極板指向負極板（圖中垂直向下）。題8.12：在一半徑為R1的長直導線外，套有氯丁橡膠絕緣護套，護套外半徑為，相對電容率為。設沿軸線單位長度上，導線的電荷密度為。試求介質層內的D、E和P。題8.12解：由介質中的高斯定理，有得在均勻各向同性介質中題8.13：設有兩個薄導體同心球殼A與B，它們的半徑分別為R1=10cm與R3=20cm，并分別帶有電荷與。球殼間有兩層介質內層介質的，外層介質的，其分界面的半徑為R2=15cm。球殼B外為空氣。求（1）兩球間的電勢差UAB；（2）離球心30cm處的電場強度；（3）球A的電勢。題8.13分析：自由電荷和極化電荷均勻分布在球面上。電場呈球對稱分布。取同心球面為高斯面，根據(jù)介質中的高斯定理可求得介質中的電場分布。由電勢差和電場強度的積分關系可求得兩導體球殼間的電勢差，由于電荷分布在有限空間，通常取無窮遠處為零電勢，則A球殼的電勢解：（1）由介質中的高斯定理，有得兩球殼間的電勢差（2）同理由高斯定理可得（3）取無窮遠處電勢為零，則題8.14：如圖所示，球形電極浮在相對電容率為的油槽中。球的一半浸沒在油中，另一半浸入在。問球的上、下部分各有多少電荷？油中，另一半在空氣中。已知電極所帶凈電荷題8.14分析：我們可以將導體球理解為兩個分別懸浮在油和空氣中的半球形孤立容器，靜電平衡時導體球上的電荷分布使導體成為等勢體，故可將導體球等效為兩個半球電容并聯(lián)，其相對無限遠處的電勢均為V，且（1）另外導體球上的電荷總量保持不變，應有（2）因而可解得Q1、Q2.解：將導體球看作兩個分別懸浮在油和空氣中的半球形孤立電容器，上半球在空氣中，電容為下半球在油中，電容為由分析中式（1）和式（2）可解得由于導體球周圍部分區(qū)域充滿介質，球上電荷均勻分布的狀態(tài)將改變。可以證明，此時介質中的電場強度與真空中的電場強度也不再滿足的關系。事實上，只有當電介質均勻充滿整個電場，并且自由電荷分布不變時，才滿足.題8.15：有一個空氣平極電容器，極板面積為S，間距為d。現(xiàn)將該電容器接在端電壓為U的電源上充電，當（1）充足電后；（2）然后平行插入一面積相同、厚度為、相對電容率為的電介質板；（3）將上述電介質換為同樣大小的導體板。分別求電容器的電容C，極板上的電荷Q和極板間的電場強度E。題8.15分析：電源對電容器充電，電容器極板間的電勢差等于電源端電壓U。插入電介質后，由于介質界面出現(xiàn)極化電荷，極化電荷在介質中激發(fā)的電場與原電容器極板上自由電荷激發(fā)的電場方向相反，介質內的電場減弱。由于極板間的距離d不變，因而與電源相接的導體極板將會從電源獲得電荷，以維持電勢差不變，并有相類似的原因，在平板電容器極板之間，若平行地插入一塊導體板，由于極板上的自由電荷和插人導體板上的感應電荷在導體板內激發(fā)的電場相互抵消，與電源相接的導體極板將會從電源獲得電荷，使間隙中的電場E增強，以維持兩極板間的電勢差不變，并有綜上所述，接上電源的平板電容器，插人介質或導體后，極板上的自由電荷均會增加，而電勢差保持不變。解：（l）空氣平板電容器的電容充電后，極板上的電荷和極板間的電場強度為（2）插入電介質后，電容器的電容C1為故有介質內電場強度空氣中的電場強度（3）插人導體達到靜電平衡后，導體為等勢體，其電容和極板上的電荷分別為導體中的電場強度空氣中的電場強度題8.16：如圖所示，在平板電容器中填入兩種介質，每種介質各占一半體積，試證其電容為題8.16證1：將此電容器視為極板面積均為，分別充滿相對電容率為和的電介質的兩個平板電容器并聯(lián)，則證2：假設電容器極板上帶電荷Q，則由于電容器兩側所填充的電介質的電容率不同，故導體極板上自由電荷的分布不均勻。設介質Ⅰ側導體極板帶電荷Q1，介質Ⅱ側導體極板帶電荷Q2，在導體達到靜電平衡時，導體極板為等勢體，故有解得題8.17：為了實時檢測紡織品、紙張等材料的厚度（待測材料可視作相對電容率為的電介質），通常在生產流水線上設置如圖所示的傳感裝置，其中A、B為平板電容器的導體極板，d0為兩極板間的距離。試說明檢測原理，并推出直接測量電容C與間接測量厚度d之間的函數(shù)關系。如果要檢測鋼板等金屬材料的厚度，結果又將如何？題8.17解：由分析可知，該裝置的電容為則介質的厚度為如果待測材料是金屬導體，其等效電容為導體材料的厚度實時地測量A、B間的電容量C，根據(jù)上述關系式就可以間接地測出材料的厚度、通常智能化的儀表可以實時地顯示出待測材料的厚度。題8.18：利用電容傳感器測量油料液面高度。其原理如圖所示，導體圓管A與儲油隨B相連，圓管的內徑為D，管中心同軸插入一根外徑為d的導體棒C，d、D均遠小于管長L并且相互絕緣。試征明：當導體團管與導體棒之間接以電壓為U的電源時，圓管上的電荷與液面高度成正比（油料的相對電容率為）。題8.18分析：由于d、D<<L，導體A、C構成圓柱形電容器，可視為一個長X（X為液面高度）的介質電容器C1和一個長LX的空氣電容器C2的并聯(lián)，它們的電容值均隨X而改變。因此其等效電容C=C1+C2也是X的函數(shù)。由于Q=CU，在電壓一定時，電荷Q僅隨C而變化，求出Q與液面高度X的函數(shù)關系，即可得證證：由分析知，導體A、C構成一組柱形電容器，它們的電容分別為其總電容其中即導體管上所帶電荷Q與液面高度X成正比，油罐與電容器聯(lián)通。兩液面等高，測出電荷Q即可確定油罐的液面高度。題8.19：有一平行平板電容器，兩極板間被厚度為0.01nm的聚四氯乙烯薄膜所隔開，求該電容器的額定電壓。題8.19解：查表可知聚四氯乙烯的擊穿電場強度Eb=1.9107Vm－1。當電容器不被擊穿時，電容器中的電場強度壓）為。因此，由均勻電場中電勢與電場強度的關系，可得電容器上最大電勢差（即額定電題8.20：空氣中半徑分別為1.0cm和0.10cm的長直導線上，導體表面電荷面密度最大為多少？題8.20解：設長直導線上單位長度所帶電荷為，則導線周圍的電場強度為式中導體表面電荷面密度。顯然，在導線表面附近電場強度最大，查表可知空氣的擊穿電場強度，空氣才不會被擊穿，故的極限值Eb=3.0106Vm－1，只有顯然，它與導線半徑無關。題8.21：一空氣平板電容器，空氣層厚1.5cm，兩極間電壓為40kV，該電容器會被擊穿嗎？現(xiàn)將一厚度為0.30cm的玻璃板插入此電容器，并與兩極平行，若該玻璃