2023年全國高考數(shù)學(xué)模擬試卷(文理合卷+精析講解)4

2023數(shù)學(xué)高考模擬試題〔文理合卷〕【命題報告】本套試卷在命題前，詳細(xì)地剖析了最新的2023年?考試大綱?，對高考的熱點、難點和重點進(jìn)行了全面的研究。命題時，注重對根底知識的全面考查，同時又強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生的思維能力。在試題的設(shè)計上，進(jìn)行了一些創(chuàng)新嘗試。比方第8、12、16〔理〕題是對能力要求較高的題，第11題是導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)與不等式的綜合小問題，題型比擬新。命題時還在知識點的交匯點處設(shè)計試題，強(qiáng)調(diào)知識的整合，比方第2題是向量與數(shù)列，第9題是向量與三角函數(shù)，第15題球內(nèi)接幾何體，第22題是向量與解幾的結(jié)合，第12題是函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，第14題是函數(shù)性質(zhì)與雙曲線的結(jié)合，第16題是數(shù)列與概率的結(jié)合。總之本套試卷很好地代表了高考的命題趨勢和方向。考生注意：1．本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部，共150分，考試時間120分鐘。2．答卷前將密封線內(nèi)的工程填寫清楚。第一卷〔選擇題共60分〕一、選擇題：本大題共12小題；每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項最符合題目要求的。1、〔理〕實數(shù)b是關(guān)于x的方程的解，那么的值為()A.0B.3C.6D.9〔文〕不等式組表示的平面區(qū)域是()A.矩形B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形2、〔理〕等差數(shù)列的前n項和為，假設(shè)，且A、B、C三點共線〔該直線不過原點〕，那么〔〕A.2023B.2023C.-2023D.-2023〔文〕設(shè)P為內(nèi)一點，且，那么的面積與面積之比為〔〕A.B.C.D.3、假設(shè)P為雙曲線的右支上一點，且P到左焦點與到右焦點的距離之比為，那么P點的橫坐標(biāo)x等于〔〕A.2B.4C.4.5D.54、，且，那么使不等式成立的m和n還應(yīng)滿足的條件為〔〕Am>nBm<nCm+n>0Dm+n<05、曲線在區(qū)間上截直線y=4，與y=－2所得的弦長相等且不為0，那么以下描述中正確的是〔〕A．B．C．D．6、函數(shù)在區(qū)間上有反函數(shù)，那么a的范圍為是()A.B.C.D.7、〔理〕用1到9這9個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，那么這個三位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為〔〕A.B.C.D.〔文〕用1到5這5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，那么這個三位數(shù)是的倍數(shù)的概率為〔〕A.B.C.D.8、的BC邊在平面內(nèi)，A在上的射影為，假設(shè)，那么一定為〔〕A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、以上都不是9、A，B，C三點的坐標(biāo)分別是，，，，假設(shè)，那么的值為〔〕A,B,C,2D,310、函數(shù)的圖象恒過定點A，假設(shè)點A在直線上，其中，那么的最小值為〔〕A.6B.8C.10D.1211、〔理〕函數(shù)在其定義域內(nèi)有四個單調(diào)區(qū)間，且，在這些函數(shù)中，設(shè)隨機(jī)變量“的取值〞，那么的數(shù)學(xué)期望為()A.B.C.D.〔文〕假設(shè)，那么等于〔〕A.9B.10C.-9D.-1012、〔理〕對數(shù)列，滿足，；對函數(shù)在上有意義，，且滿足時，有成立，那么的表示式為〔〕A.B.C.D.〔文〕對數(shù)列，滿足，；對函數(shù)在上有意義，，且滿足時，有成立，那么數(shù)列是〔〕A.以為首項以2為公差的等差數(shù)列B.以為首項以2為公比的等比數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列第二卷〔非選擇題共90分〕二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13、〔理〕點P在焦點為，一條準(zhǔn)線為的橢圓上，且，____________?！参摹硳佄锞€的一條弦AB過焦點F，且|AF|=1，，那么拋物線方程為_________。14、〔理〕假設(shè)f(x)＝eq\f(2x+3,x+a)在(-1,+∞)上滿足對任意x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2),那么a的取值范圍是．〔文〕假設(shè)函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件,那么_____.15、正四棱柱各頂點都在外表積為的球面上，且底邊的長為2，那么頂點到平面的距離為__________。16、(理)等差數(shù)列公差為d，前n項和為；表示的前n項的平均數(shù)，且數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，那么__________.。(文)數(shù)列滿足條件：，，那么對任意正整數(shù)，的概率為_三．解答題：本大題共6小題，共70分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟?！泊鸢敢敿?xì)，并標(biāo)明步驟分?jǐn)?shù)?！?7、〔此題總分值10分〕中，角A,B,C對應(yīng)的邊為a,b,c，A=2B,?！?〕求sinC的值；〔2〕假設(shè)角A的平分線AD的長為，求b的值。18、〔理〕〔此題總分值12分〕從4個白球和2個紅球中任選3球，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3個球中紅球的個數(shù)?！?〕求的分布列；〔2〕求的數(shù)學(xué)期望；〔3〕求“所選3個球中紅球個數(shù)〞的概率?！参摹衬成鋼羰稚鋼?次，擊中目標(biāo)的概率為0.8，他連續(xù)射擊5次，且各次射擊是否擊中相互之間沒有影響。計算〔結(jié)果保存到小數(shù)點后第2位〕：〔1〕5次射擊中恰有2次擊中的概率；〔2〕5次射擊中至少有2次擊中的概率；〔3〕5次射擊中恰有2次擊中，且其中第3次擊中的概率。19、〔此題總分值12分〕函數(shù)既有極大值又有極小值，求實數(shù)m的取值范圍。假設(shè)f(x)的極大值為1，求m的值。20、〔此題總分值12分〕如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=6，M為AA1上的點，且，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M點的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與C1C的交點為N。求：〔1〕該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；〔2〕PC和NC的長；〔3〕此棱柱的外表積；〔4〕平面NMP和平面ABC所成二面角〔銳角〕的大小〔用反正切函數(shù)表示〕。21、〔理〕〔此題總分值12分〕在數(shù)列中，，。〔1〕假設(shè)對于，均有成立，求a的值；〔2〕假設(shè)對于，均有成立，求a的取值范圍；〔3〕請構(gòu)造一個無窮數(shù)列，使其滿足以下兩條件，并加以說明：〔i〕,；〔ii〕當(dāng)a為中的任一項時，中必有某一項的值為1。〔文〕設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，且成等比數(shù)列?！?〕求的值；〔2〕假設(shè)，求及的表達(dá)式。22、〔此題總分值12分〕是橢圓的內(nèi)接三角形，F(xiàn)是橢圓的上焦點，且原點O是的重心?！?〕求A,B,C三點到F距離之和；〔2〕假設(shè)，求橢圓的方程和直線BC的方程。參考答案【測試評價與備考策略】〔1〕本套試卷的總體評價難度0.56、創(chuàng)新度0.75、知識覆蓋面0.92〔2〕測試反映的問題考生的失誤原因：根底知識不牢，運算能力尚低、知識掌握、方法運用方便尚可?！?〕解決問題的方案加強(qiáng)小綜合訓(xùn)練，注重解題過程中的小技巧、小方法，提高思維與運算能力，再探根底知識來源————課本教材。一、選擇題C(D)C(C)BDADBCBBA(D)B(B)-3O4xy3x-y+3=0-3O4xy3x-y+3=0x+y=0得，。【思路點撥】此題考察復(fù)數(shù)相等的概念，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，實部與實部相等，虛部與虛部相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于實數(shù)的方程組問題?！参摹矰如圖陰影局部表示平面區(qū)域，結(jié)合直線斜率易判斷為等腰梯形。【思路點撥】正確做出不等式組表示的平面區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的的根本方法。熟練應(yīng)用直線的斜率和截距是快速做出判斷的關(guān)鍵。2、理C由，，得?！舅悸伏c撥】A、B、C三點共線的充要條件是且，故由，得，而等差數(shù)列中，易求。文CADBPC連接CP并延長，交AB于D，那么ADBPC即，故，那么的面積與面積之比為?！酒嫠济钕搿咳鐖D不共線，假設(shè)，那么，假設(shè)令，那么，〔*〕；反之，假設(shè)〔*〕成立，那么三點共線。思考：〔1〕平面向量根本定理中，，且共起點時，三向量的終點共線；〔2〕當(dāng)P不與B重合，即時，能用表示中的嗎？答：OAPB可以。OAPB，所以，相比得。(3)的面積與面積之比與t有關(guān)嗎？答：有。。3、B設(shè)在右支上，那么，即，。【規(guī)律總結(jié)】在解圓錐曲線問題中如遇到，曲線上的點與焦點的距離時，首先要想到焦半徑公式，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用焦半徑公式，可使解題過程變的簡單。假設(shè)P為橢圓上一點，那么P到左焦點與到右焦點的距離即焦半徑分別為；假設(shè)P為雙曲線的右支上一點，那么P到左焦點與到右焦點的距離分別為，；假設(shè)P為拋物線上一點，那么P到焦點的距離即焦半徑。其它情形類似。4、解：D不妨設(shè)m>0,n<0，由得，由，故m+n<0。【方法探究】比擬法是判斷兩個實數(shù)大小和證明不等式的根本方法，有兩種形式，一種是取差法：取差、變形、與0比擬；一種是取商法：取商、變形、與1比擬。此題巧妙的運用了取差法解題的過程，值得借鑒。5、A曲線的周期為，被直線y=4和y=-2所截的弦長相等且不為0，結(jié)合圖形可得，?！舅悸伏c撥】此題考察了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，對，周期為，平衡位置為，，。6、解：選D因為在區(qū)間上有反函數(shù)，所以在該區(qū)間上單調(diào)，那么在上恒成立，得或在上恒成立，得?！究偨Y(jié)點評】此題考察反函數(shù)存在與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，同時也考察了二次函數(shù)、二次不等式等知識及分類討論這一重要思想方法。7、解：〔理〕C把到按除以的余數(shù)分為三類：〔3，6，9〕、〔1，4，7〕、〔2，5，8〕，那么3的倍數(shù)的三位數(shù)有個，那么?！参摹矯由〔1，2，3〕、〔2，3，4〕、〔3，4，5〕、〔1，3，5〕組成的三位數(shù)是3的倍數(shù)，有個，那么。【溫馨提醒】此題考察排列、組合的應(yīng)用及等可能性事件的概率等根底知識，屬簡單題。掌握2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、5的倍數(shù)等問題很重要呀！ACDB8、解：C只需證明中，BC邊上的高AD在形外。假設(shè)D在B，C之間，連，那么，，，，，，同樣，，ACDB與矛盾。假設(shè)B，D或C，D重合，同樣矛盾，故D在BC之外，為鈍角三角形?！編湍銡w納】的BC邊在平面內(nèi)，A在上的射影為，假設(shè)為直角，那么，射影一定為鈍角三角形；假設(shè)為鈍角，那么，射影也一定為鈍角三角形；假設(shè)為銳角，那么與大小不確定，從而的形狀不確定。由此題知，當(dāng)時，那么原一定為鈍角三角形。9、解：B由，，得，，，?！局更c迷津】熟練掌握向量數(shù)量積公式以及三角函數(shù)的變換方法即可?！痉椒ㄌ骄俊磕橙呛瘮?shù)值、求其它三角函數(shù)的值。一般先化簡，再求值?；喨呛瘮?shù)的根本方法：統(tǒng)一角、統(tǒng)一名通過觀察“角〞“名〞“次冪〞，找出突破口，利用切化弦、降冪、逆用公式等手段將其化簡。10、解：B定點A坐標(biāo)為，由點A在直線上，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號?！舅悸伏c撥】最值問題長利用均值不等式求解，適時應(yīng)用“1〞的代換是解此題的關(guān)鍵?！颈尘版溄印烤挡坏仁绞遣坏仁絾栴}中確實重要公式，應(yīng)用十分廣泛。在應(yīng)用過程中，學(xué)生常無視“等號成立條件〞，特別是對“一正、二定、三相等〞這一原那么應(yīng)有很好的掌握。當(dāng)均值不等式中等號不成立時，常利用函數(shù)單調(diào)性求最值。也可將條件適當(dāng)變形，再利用均值不等式，使得等號成立。有時也可利用柯西不等式以確保等號成立，取得最值。11、〔理〕解：A函數(shù)在其定義域R內(nèi)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，且，要使函數(shù)在R上有四個單調(diào)區(qū)間，那么在和內(nèi)各有兩個單調(diào)區(qū)間，故即對稱軸在y軸右側(cè)，這樣的拋物線有條，由，可知可取的值有2，3，4，5，6，得，，，，，，所以選A?！舅悸伏c撥】此題考察圓錐曲線、排列組合與概率統(tǒng)計的綜合應(yīng)用。利用組合數(shù)公式求得拋物線條數(shù)，寫出分布列即可?！参摹辰猓篋由左邊的系數(shù)為1，知，左邊的系數(shù)為0，知右邊的系數(shù)為，?！局R拓展】此題考察二項展開式系數(shù)的性質(zhì)以及多項恒等式系數(shù)相等的性質(zhì)。對于多項式，有以下結(jié)論：〔1〕g(x)的二項式系數(shù)和為；〔2〕g(x)的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和=；〔3〕g(x)的各項系數(shù)和為g(1)；〔4〕g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為；〔5〕g(x)的偶數(shù)項系數(shù)和為。這里常用到一種重要方法：賦值法。12、〔理〕解：C由，結(jié)合可得；由，，令，得，令，那么，那么。又，且，于是，即是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，所以?！局更c迷津】此題考察函數(shù)奇偶性、特殊值法應(yīng)用及遞推數(shù)列通項公式求法?！昂瘮?shù)在上有意義，滿足時，有成立，那么函數(shù)是奇函數(shù)〞，這一性質(zhì)來源于課本習(xí)題。此題將其與數(shù)列相結(jié)合，可謂精工之作?？梢姡匾曊n本例、習(xí)題很有必要?！参摹矪由，結(jié)合可得；又，且，于是，即是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列?！局更c迷津】此題考察函數(shù)特殊值法、等比數(shù)列的概念及判定方法?！昂瘮?shù)在上有意義，,滿足時，有成立〞，這一性質(zhì)來源于課本習(xí)題。重視課本例習(xí)題十分重要。二、填空題13、解：〔理〕由，得，，那么，且，又，由余弦定理可得，?！舅悸伏c撥】此題可聯(lián)立方程組，求出的值，再代入余弦定理?！緶剀疤嵝选壳‘?dāng)應(yīng)用圓錐曲線的定義和余弦定理解題，十分簡便呀?！参摹辰猓涸O(shè)，那么，，那么，，而。由。得，即，，拋物線方程為?！緶剀疤嵝选縿e忘了應(yīng)用圓錐曲線的焦半徑，它會使你的解題過程簡便呀。14、解：〔理〕，中心為，由題知在上是減函數(shù)，故，得。【知識拓展】，中心為，當(dāng)時，在和上具有相同單調(diào)性，是減函數(shù)；當(dāng)時，在和上具有相同單調(diào)性，是增函數(shù)。15圖OHBADC〔文〕由，得，得，，，。15圖OHBADC【指點迷津】此題考察了函數(shù)周期性、復(fù)合函數(shù)性質(zhì)及利用特殊值解題的方法技巧。15、解：設(shè)球半徑為R，那么，那么，由，即，得。法一等體積法，利用。設(shè)點到平面的距離為h，設(shè)O為BD中點，連，那么，易得，。由，，易求，所以。法二過A作，垂足為H，，，即AH為點到平面的距離。在中，，即，得。【思路點撥】在解決多面體與球有關(guān)接、切問題時，一般做出一個適當(dāng)截面，將其轉(zhuǎn)化為平面問題解決。這類截面通常是是球的大圓、多面體的對角面等，在這個截面中應(yīng)包括每個幾何體的主要元素，并且能反映出體與體之間的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系?！編湍銡w納】空間幾何問題主要有四個：證垂直、證平行、求角、求距離。有關(guān)空間距離問題歸納如下：1、空間距離問題有七類：〔1〕點與點間的距離；〔2〕點到線的距離；〔3〕兩平行線間的距離；〔4〕兩異面直線間的距離；〔5〕點到面的距離；〔6〕平行于一個平面的直線與此平面的距離；〔7〕兩平行平面間的距離。求解根本思路是轉(zhuǎn)化：面面距離面面距離線面距離點面距離點線距離點點距離2、注意以下三種距離，〔1〕點到線的距離：用三垂線定理作垂線段。〔2〕點到面的距離〔重點〕，方法有三：①定義法〔能直接做出這段距離，經(jīng)論證計算〕；②用二面角平面角性質(zhì)；③體積法〔轉(zhuǎn)化為錐體的高，如此題〕。〔3〕兩異面直線間的距離〔難點〕，方法有三：①線面平行法；②面面平行法；③垂線法。16、解：〔理〕，是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，得。，，，，?！久}動向】此題考察了等差數(shù)列的概念、求和公式，數(shù)列求和方法即裂項相消法及極限求解的根底知識?！局R拓展】把數(shù)列的每一項分成兩項，然后重新組合，使之能消去一些項，最終到達(dá)求和目的，此法稱為裂項相消法?！?〕、裂項法可求解：假設(shè)為等差數(shù)列，，公差為d，那么.〔2〕、常見裂項法求和有兩種類型：一類是分式型，如本例。裂項后式子的差，又如；另一類是根式型，如；。另外還有：nn!=(n+1)!-n!，，.，相加即可正負(fù)抵消。如數(shù)列……，的前n項和。由通項為兩因數(shù)的積，可推廣到通項為k個因數(shù)的積，如求數(shù)列……的前項和。因為，所以每一項可裂為兩項的差，相加即可正負(fù)抵消?！参摹秤桑?，得，，，……，易見是周期為3的數(shù)列，且，故的概率為。【命題動向】此題考察了不完全歸納法、周期數(shù)列的概念、隨機(jī)事件的概率問題等根底知識。三、解答題17、解：〔1〕，，，，〔2分〕，，〔4分〕?！?分〕〔2〕在中，，由正弦定理得，，〔8分〕即，。〔10分〕【總結(jié)點評】解有關(guān)三角形的問題，必須熟練掌握正、余弦定理，三角函數(shù)以及與三角有關(guān)的面積、周長、內(nèi)切圓、外接圓等知識，通過理解這些知識掌握各知識點間的關(guān)系并能夠運用這些知識解決一些實際問題?！疽?guī)律總結(jié)】通常在解題中如遇到，給出三角形的兩邊及一角或三邊長，可運用余弦定理求出所要求的量；此題〔2〕中熟練運用正、余弦定理和有關(guān)三角公式解三角形，關(guān)鍵是要深刻地理解弦、角、邊之間的內(nèi)在聯(lián)系，熟練三者之間的相互轉(zhuǎn)化即可。18、〔理〕解：〔1〕可能取的值為0，1，2。，〔4分〕012P的分布列為〔6分〕〔2〕由〔1〕，的數(shù)學(xué)期望；〔10分〕〔3〕由〔1〕，“所選3個球中紅球個數(shù)〞的概率。〔12分〕【方法點撥】求解離散型隨機(jī)變量的期望和方差問題關(guān)鍵是寫出隨機(jī)變量的分布列，然后利用性質(zhì)和公式即可。特殊的離散型隨機(jī)變量的期望和方差，常見離散型隨機(jī)變量的期望和方差：〔1〕假設(shè),那么；〔2〕假設(shè),那么；(3)假設(shè),那么等可直接利用公式求解?！参摹场?〕5次射擊中恰有2次擊中的概率；〔4分〕；〔2〕5次射擊中至少有2次擊中的概率；〔8分〕；〔3〕5次射擊中恰有2次擊中，且其中第3次擊中的概率。〔12分〕【溫馨提醒】掌握根底，把握好課本例習(xí)題，問題就容易解決了。19、解：，〔3分〕既有極大值又有極小值，有兩個不等實根和，；〔5分〕假設(shè)，那么，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在處取的極大值，所以合題意。〔8分〕假設(shè)，那么或。當(dāng)時，在區(qū)間上小于0，在區(qū)間上大于0，在上取得極小值，不合題意?！?0分〕當(dāng)時，在區(qū)間上大于0，在區(qū)間上小于0，在處取得極大值，合題意?？傊??！?2分〕【拓展遷移】此題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及分類討論思想。〔1〕閉區(qū)間上函數(shù)f(x)的最大值、最小值，只能在極值點或端點處取得，具體解決方法是先由導(dǎo)數(shù)確定閉區(qū)間內(nèi)的極值點，然后求出各極值點、端點處函數(shù)值，這些值中的最大值就是f(x)的最大值，最小值就是f(x)的最小值。但是要特別注意，所求極值點，在所考察的閉區(qū)間內(nèi)才有效?！?〕欲證f(x)>g(x)，x，可等價轉(zhuǎn)化為F(x)=f(x)g(x)，假設(shè)>0，那么F(x)在x上是增函數(shù)；如果F(a)≥0,由增函數(shù)的定義知，當(dāng)x時,有F(x)>F(a)≥0，即f(x)>g(x)。圖1圖220、解：〔1〕正三棱柱ABC-A1B1C1的圖1圖2側(cè)面展開圖是一個長為9，寬為6的矩形，其對角線長為；〔3分〕〔2〕如圖1，將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AC1在同一平面上，點P運動到點P1的位置，連接MP1，那么MP1就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過CC1到點M的最短路線。設(shè)PC＝，那么P1C＝，在中，，?！?分〕〔3〕棱柱的外表積為?！?分〕〔4〕連接PP1〔如圖2〕，那么PP1就是NMP與平面ABC的交線，作NH于H，又CC1平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線定理得，所成二面就是平面與平面角的平面角?！?0分〕在中，，，在中，即?！?2分〕【方法點撥】轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，空間幾何問題常轉(zhuǎn)化為平面幾何問題解決，即空間問題平面化，要注意線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。求角與距離的關(guān)鍵是把距離與角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角與距離?！編湍銡w納】空間幾何中的角有三類：1、兩條異面直線所成的角：定義〔略〕，范圍：；求法：平移——構(gòu)成三角形，〔一般是，見了中點找中點，形成中位線〕；2、直線與平面所成的角：定義〔略〕，范圍：，求法：找射影——構(gòu)成直角三角形?！惨话闶?，作垂線，連垂足與斜足即射影，斜線，這三條線組成直角三角形〕；3、二面角：定義〔略〕，范圍：，求法：找平面角，具體方法有四種：〔1〕定義法；〔2〕三垂線法；〔3〕垂面法；〔4〕射影面積法。21、〔理〕解：〔1〕由，，得