高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型及其應(yīng)用》6 蘇教必修1

函數(shù)模型及其應(yīng)用幾類不同增長的函數(shù)模型.在教科書第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只．可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”.例1

、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一、每天回報40元；方案二、第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三、第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案？下面我們先來看兩個具體問題。.解：設(shè)第x天所得回報是y元方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述.例、1

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一、每天回報40元；方案二、第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三、第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案？分析：2、如何建立日回報效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？日回報效益，還是累計回報效益？.分析：2、如何建立日回報效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？日回報效益，還是累計回報效益？解：設(shè)第x天所得回報是y元方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述.3、三個函數(shù)模型的增減性如何？4、要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析，如何分析？..圖-1我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多。從中你對“指數(shù)爆炸”的含義有什么新的理解？函數(shù)圖象是分析問題的好幫手。為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點。.根據(jù)以上的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇：投資5天以下先方案一，投資5~8天先方案二，投資8天以上先方案三？

由表-1和圖-1可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不同。可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的，從每天所得回報看，在第1~4天，方案一最多，在5~8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元。.

因此，投資8天以下(不含8天)，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資8~10天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天(含11天)以上，剛應(yīng)選擇第三種投資方案。.

例2、某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但資金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金總數(shù)不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個獎勵模型：其中哪個模型能符合公司的要求？.例2、某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但資金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金總數(shù)不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個獎勵模型：其中哪個模型能符合公司的要求？分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進(jìn)行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，

由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤。同時獎金不超過利潤的25%，

于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可。

不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過具體計算，確認(rèn)結(jié)果。(圖略）.解：借助計算機作出函數(shù)

的圖象(圖3.2-2)。

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型的圖象都有一部分在直線的上方，只有模型的圖象始終在的下方，這說明只有按模型進(jìn)行獎勵時才符合公司的要求，下面通過計算確認(rèn)上述判斷。.首選計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬。對于模型，對于模型，對于模型，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，當(dāng)時，因此該模型不符合要求；，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間內(nèi)有一個點滿足，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)時，因此該模型也不符合要求；它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)時，，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求。.

令。利用計算機作出函數(shù)的圖象（圖），由圖象可知它是遞減的，因此即所以當(dāng)時，。說明按模型獎金不會超過利潤的25%。再計算按模型獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)時，是否有

成立。綜上所述，模型確實能很符合公司要求。.小結(jié)與反思：通過實例和計算機作圖體會、認(rèn)識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值，認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系，從而體會數(shù)學(xué)的實用價值，享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美．.1、四個變量隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：練習(xí)：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.47854505313020051130505130