D定積分概念與性質(zhì)

會計學(xué)1D定積分概念與性質(zhì)何謂曲邊梯形？請看下列的圖形：平面封閉圖形均可理解成數(shù)個曲邊梯形的集合。一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積第1頁/共42頁由連續(xù)曲線,兩直線所圍成的圖形稱為曲邊梯形,求其面積A.曲線弧稱為曲邊，線段稱為底邊。第2頁/共42頁abxyoab（四戶村民）（九戶村民）xyo第3頁/共42頁顯然，村民戶數(shù)越多，分的越細(xì)，測量得到的總面積越接近土地精確面積．第4頁/共42頁解決步驟:1)

分割.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;第5頁/共42頁2)

常代變.在第i

個小曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積得3)

求和.第6頁/共42頁4)取極限.令則曲邊梯形面積第7頁/共42頁解決問題的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值求近似以常（直）代變（曲）取極限第8頁/共42頁2.變速直線運(yùn)動的路程解決步驟:1)分割.將它分成在每個小段上物體n

個小段經(jīng)過的路程為設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且求在運(yùn)動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.已知速度第9頁/共42頁4)取極限.得2)

常代變.3)

求和.第10頁/共42頁上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“分割，常代變，求和，取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限1.曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動的路程第11頁/共42頁二、定積分定義任取在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間做函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積1)分割.3)求和.2)

常代變.第12頁/共42頁總趨于確定的極限

I,即如果不論對[a,b]怎樣劃分，也不論在小區(qū)間上的定積分則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間(簡稱積分)，記作即4)取極限.上怎樣選取，,第13頁/共42頁積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和第14頁/共42頁1.曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動的路程第15頁/共42頁注意：(2)定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即(1)

定積分是一個確定的數(shù)值.(3)定積分又被稱為Riemann積分,簡稱R積分。第16頁/共42頁(4)

在定義中，當(dāng)所有子區(qū)間的長度的最大值d趨近于0時，區(qū)間的個數(shù)n趨于無窮大，但不能用(5)

定義包含了兩個任意性，即對區(qū)間的分割與點(diǎn)的選取都是任意的.如果對區(qū)間的兩種不同分割或的不同選擇，得到的和式的極限不同，或者存在一個和式的極限不存在，則函數(shù)f在該區(qū)間上不可積。例如：Dirichlet

函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)在區(qū)間[0,1]上不可積！第17頁/共42頁(6)定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值第18頁/共42頁各部分面積的代數(shù)和第19頁/共42頁三、定積分的存在條件1.可積的必要條件定理1.1若函數(shù)f在[a,b]上可積,則f在[a,b]上有界.注:可積函數(shù)必有界,有界不一定可積.如Dirichlet函數(shù).證明:(反證法)若f

在[a,b]上無界，則對任意分割,必存在子區(qū)間，使f在該子區(qū)間上無界。因此，對任意正數(shù)M，總存在使得可大于任給的常數(shù)。故其極限不存在,即f在[a,b]不可積。證畢！第20頁/共42頁定義:設(shè)f為[a,b]上的有界函數(shù),將區(qū)間[a,b]任意分2、可積的充分條件割為n個子區(qū)間取稱為f在子區(qū)間上的振幅.第21頁/共42頁和式分別稱為f

關(guān)于該分割的反之亦然!即有：Darboux大和與Darboux小和.2.如果f在區(qū)間[a,b]上可積，則易知：1.

對同一分割，唯一確定，且——————————————————————————第22頁/共42頁定理1.2

設(shè)函數(shù)f在[a,b]上有界，則f在[a,b]可即對任意的0，總存在相應(yīng)的某一分割,使得當(dāng)積的充要條件是：當(dāng)時，分割出的所有子區(qū)間的長度的最大值時,（*）（*）式成立。（證明略.）第23頁/共42頁定理1.33、可積函數(shù)類若則f

在[a,b]上可積.解釋：對[a,b]的任意分割，當(dāng)d充分小時，f

在每個子區(qū)間上的振幅都能任意小。定理1.4設(shè)f

在區(qū)間[a,b]上有界，若f在[a,b]上只有有限個第一類間斷點(diǎn)或者在[a,b]上單調(diào),則f

在[a,b]上可積.解釋：當(dāng)d充分小時，雖不能保證f

在每個子區(qū)間上的振幅都任意小，但振幅不能任意小的所有子區(qū)間長度之和可以任意小。函數(shù)也可積。第24頁/共42頁取例1.

利用定義計算定積分解:1)分割將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為則3)求和則2)

常代變第25頁/共42頁4)取極限第26頁/共42頁例2.

用定積分表示下列極限:解:第27頁/共42頁四、定積分的性質(zhì)規(guī)定:性質(zhì)1.2（線性性質(zhì)）若則并且性質(zhì)1.1記在區(qū)間[a,b]上可積}.第28頁/共42頁性質(zhì)1.3

若則證:推論1

（單調(diào)性）若則第29頁/共42頁推論2.若且則性質(zhì)1.4若則且（#）注:性質(zhì)1.4的逆命題不一定成立,例如為有理數(shù),為無理數(shù).第30頁/共42頁例3.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即第31頁/共42頁證:由定理1.2知f在I的所有子區(qū)間可積.下證(1)式。所以在分割區(qū)間時,可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn)，于是性質(zhì)1.5（區(qū)間可加性）設(shè)I為有限區(qū)間,

若f

在I上可積,則f

在I的任一子區(qū)間上都可積,且上可積,時,因在當(dāng)（1）第32頁/共42頁

當(dāng)a,b,c

的相對位置任意時,例如則有令有證畢！第33頁/共42頁性質(zhì)1.6（乘積性質(zhì)）設(shè)

則性質(zhì)1.7（積分中值定理）且g

在[a,b]上不變號.則至少存在一點(diǎn)使證明：設(shè)在[a,b]上則從而因此（**）第34頁/共42頁若上式兩邊同除以則不等式（**）亦若得由連續(xù)函數(shù)的介值定理可得（**）成立。成立。證畢！則至少存在一點(diǎn)使推論3.第35頁/共42頁

說明:

通常稱故它是有限個數(shù)的算術(shù)平均值概念的推廣.因積分中(均)值.

當(dāng)時，推論3有如圖的幾何意義。第36頁/共42頁例5.

計算從0秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度第37頁/共42頁１．定積分的定義：２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分取極限內(nèi)容小結(jié)求近似以常（直）代變（曲）