常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別法

會(huì)計(jì)學(xué)1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別法11.3.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性判別法若定理11.4.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”故有界.第1頁(yè)/共28頁(yè)都有定理11.5(比較判別法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)/共28頁(yè)(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)若弱級(jí)數(shù)因此這說(shuō)明強(qiáng)級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共28頁(yè)例1.

討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共28頁(yè)故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級(jí)數(shù)收斂.2)若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束后一為幾何級(jí)數(shù),公比為該級(jí)數(shù)收斂.調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).第5頁(yè)/共28頁(yè)調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切第6頁(yè)/共28頁(yè)證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:

因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)/共28頁(yè)比較判別法的極限形式則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共28頁(yè)的斂散性.～例3.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.

判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共28頁(yè)定理11.6.比值判別法

(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.第10頁(yè)/共28頁(yè)例5.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.解:(1)根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)根據(jù)定理4可知:第11頁(yè)/共28頁(yè)例6.討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;第12頁(yè)/共28頁(yè)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則數(shù),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.說(shuō)明:第13頁(yè)/共28頁(yè)例7.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

故原級(jí)數(shù)收斂。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

故原級(jí)數(shù)收斂。第14頁(yè)/共28頁(yè)例8.

研究級(jí)數(shù)的斂散性．

所以級(jí)數(shù)是收斂的。解.由于第15頁(yè)/共28頁(yè)內(nèi)容小結(jié)2.判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)/共28頁(yè)

作業(yè)

P2631(2),(3),(4),(6);

2(4),(6);

3(1),(2)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)/共28頁(yè)思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共28頁(yè)備用題1.

判別級(jí)數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.不是p–級(jí)數(shù)(2)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.第19頁(yè)/共28頁(yè)11.3.2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)

.定理1

.(Leibnitz

判別法)

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè)/共28頁(yè)收斂收斂例1

用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè)/共28頁(yè)11.3.3、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)/共28頁(yè)定理11.9

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè)/共28頁(yè)例2.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)/共28頁(yè)(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè)/共28頁(yè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)