愛因斯坦引力場方程

愛因斯坦引力場方程根據(jù)等效原理和廣義協(xié)變原理，只要把狹義相對論中的物理規(guī)律寫成廣義協(xié)變的形式，就可以得到除引力以外的在引力場中的物理定律。要作到這一點(diǎn)只需要把定律中的普通微分改寫為協(xié)變微分就可以了。無自旋粒子或光子在引力場中的運(yùn)動方程可以這樣得到。在狹義相對論中，質(zhì)量為m的自由粒子或光子，分別沿閔可夫斯基時(shí)空中的類時(shí)直線或類光直線運(yùn)動。將這些運(yùn)動方程寫成協(xié)變形式，就分別得到黎曼時(shí)空中的類時(shí)或類光測地線方程，即無自旋粒子或光子在引力場中的運(yùn)動方程。物質(zhì)場的方程也可以這樣得到。例如將狹義相對論中的克萊因—戈登方程(Klein-Gordonequation)寫成廣義協(xié)變形式，就得到在引力場中的標(biāo)量場方程。在狹義相對論中，存在一系列的守恒方程。將這些守恒方程中的普通散度改為協(xié)變散度，就得到在引力場中相應(yīng)的守恒方程。例如，這樣可以得到能量動量守恒在引力場中的形式為:,,。這里T就是能量動量張量。但是，這種方式不可能得到引力定律本身，也不可T,0,,,,能得到同曲率有關(guān)的效應(yīng)。例如，不可能得到測地線偏離方程中同曲率有關(guān)的項(xiàng)，也不可能得到在引力場中自旋粒子的自旋同曲率的耦合項(xiàng)等等。與曲率有關(guān)的物理效應(yīng)何時(shí)出現(xiàn)，只能作具體的分析。1915年，愛因斯坦幾乎和希耳伯特(HilbertDavid，1862,1943)同時(shí)在得到了完整的G18,-832引力場方程:，其中G是牛頓引力常數(shù)G,6(670×10cm/(g?s)。RgRT,,,,,,,,42c方程左邊是描述引力場的時(shí)空幾何量，右邊是作為引力場源的物質(zhì)能量動量張量。顯然，這個(gè)方程反映了愛因斯坦的馬赫原理的思想。愛因斯坦提出這個(gè)場方程的基本思路大致可以這,4G2樣來概括:考察牛頓引力理論的泊松方程:，它是引力勢的二階偏微分方程，,,,,2c是引力源的質(zhì)量密度。在相對論中，應(yīng)該推廣為引力源的能量動量張量，則推廣為度,,規(guī)張量g。因此，引力場方程應(yīng)該是度規(guī)的二階偏微分方程。進(jìn)而，愛因斯坦發(fā)現(xiàn),,1,T同滿足同樣的守恒律。這便導(dǎo)致了他寫下具有上述特點(diǎn)的正確的引力場方R,g,,,,,,2程。在真空中，這個(gè)方程簡化為:R,0(1917年，愛因斯坦在對宇宙進(jìn)行考察時(shí)，引進(jìn),,G18,了宇宙常數(shù)Λ項(xiàng)，將方程修改為:，不久之后，他本人放RgRgT,，,,,,,,,,,,22c,棄了這一項(xiàng)。但是近年來，不少物理學(xué)家認(rèn)為項(xiàng)的引進(jìn)是有必要的。4、廣義相對論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在建立廣義相對論時(shí)，愛因斯坦曾提出三種檢驗(yàn):光譜線的引力紅移;內(nèi)行星軌道近日點(diǎn)的進(jìn)動;以及太陽引起的光線偏折。引力紅移事實(shí)上只檢驗(yàn)了等效原理，光線偏折和近日點(diǎn)進(jìn)動涉及的是球?qū)ΨQ靜態(tài)引力場，以及其中光線或行星的運(yùn)動。而厄缶實(shí)驗(yàn)則是愛因斯坦等效原理建立的前提條件。4、1厄缶實(shí)驗(yàn)懸絲引力質(zhì)量同慣性質(zhì)量的等價(jià)是愛因斯坦提出等效原理的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，也是整個(gè)廣義相對論最重要的實(shí)驗(yàn)依據(jù)。這個(gè)等價(jià)性早在牛頓時(shí)圖9-7為厄缶實(shí)驗(yàn)示意圖,9代就有實(shí)驗(yàn)證明，19世紀(jì)末，厄缶以10的精度證明了這一點(diǎn)。近年來，驗(yàn)證這個(gè)等價(jià)性的實(shí)驗(yàn)精度又有提高。在牛頓理論中，牛頓第二定律的慣性質(zhì)量m同引力定律的引力質(zhì)量im是否相等，并沒有本質(zhì)的意義。如果一物體的m與m不相等，那么在引力作用下，它的gigmg,,g加速度同當(dāng)?shù)匾Τ?shù)g之間就有下面的關(guān)系:，比值m/m不同的物體，將g,ggimi,g有不同的加速度。然而，自伽利略的時(shí)代起，人們就發(fā)現(xiàn)，對于不同的物體，這個(gè)比值都是一樣的?；莞?、牛頓等人都進(jìn)行過這類實(shí)驗(yàn)。,91889年，厄缶精確地證明了，對于各種物質(zhì)，比值m/m的差別不大于10。厄缶在一gi橫桿的兩端各掛木制的A和鉑制的B兩個(gè)重量相差不大的重物，桿的中點(diǎn)懸在一細(xì)金屬絲上。如果g是地球引力常數(shù)，是地球自轉(zhuǎn)引起的離心加速度的垂直分量，l和l是兩個(gè)AB重物的有效桿臂長，那么當(dāng)平衡時(shí)，由于A、B的重量相差不大，因而橫桿略為傾斜以滿足,,，同時(shí)，在厄缶進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的緯度上，地球自轉(zhuǎn)引起的l(mg,mg),l(mg,mg)AgAiABgBiB,離心加速度有一可觀的水平分量，會使得橫桿受到一個(gè)水平轉(zhuǎn)矩:gS,,,，消去l，又由于遠(yuǎn)小于g可以略去，因而得到:T,lmg,lmggBAiASBiBSZ,,mmiAiB,,,Tlgm,,ASgA,,mmgAgB,,,9這樣，只要二者m/m的比值不同，就會扭轉(zhuǎn)懸掛橫桿的細(xì)金屬絲。但是，厄缶在10的精ig度上沒有測出這種扭轉(zhuǎn)。鑒于這一實(shí)驗(yàn)的精確度直接影響廣義相對論理論的可靠性，以后幾十年來，人們對這一實(shí)驗(yàn)的興趣有增無減。1960,1966年，狄克(RobertHenry，Dicke，1916,)等人為提高厄缶實(shí)驗(yàn)的精度，把厄缶的扭秤橫桿改成三角形水平框架，又把石英懸絲表面蒸鍍鋁膜以避免靜電干擾，并將整個(gè)裝置置于真空容器中，使實(shí)驗(yàn)的精度推進(jìn)了兩個(gè)數(shù)量級，達(dá)到(1.3,11?1.0)×10。1972年，前蘇聯(lián)的布拉金斯基(Braginsky)和班諾夫(Panov)對厄缶實(shí)驗(yàn)又做了重大的改進(jìn)。他們采用電場中的振蕩法，旋轉(zhuǎn)由激光反光光斑記錄在膠片上，使實(shí),13驗(yàn)結(jié)果又在狄克的基礎(chǔ)上提高了兩個(gè)數(shù)量級，即9×10。4、2水星近日點(diǎn)的進(jìn)動牛頓力學(xué)已經(jīng)受住了兩個(gè)世紀(jì)的考驗(yàn)，隨著時(shí)間的推移，牛頓力學(xué)的成功事例在不斷地增多。1705年哈雷(EdmundHalley，1656,1742)用牛頓力學(xué)計(jì)算出在1531年、1607年和1688年看到的大彗星實(shí)際上是同一顆，這就是后人所稱的哈雷彗星?？死茁?AlxisClaudeClairaut，1713,1765)在仔細(xì)地研究了哈雷的報(bào)告后，又根據(jù)牛頓力學(xué)考慮了木星與土星對彗星軌道的影響，預(yù)言人們將在1758年圣誕節(jié)觀測到這顆彗星，果然它如期而至。19世紀(jì)40年代，法國的勒威耶(UrbainJeanJesephLeverrier，1811,1877)、英國的亞當(dāng)斯(JohnCouchAdems，1819,1892)分別對天王星的軌道攝動進(jìn)行計(jì)算而導(dǎo)致了海王星的發(fā)現(xiàn)，這是牛頓力學(xué)的又一次輝煌的勝利。雖然牛頓力學(xué)獲得了巨大成功，但人們也發(fā)現(xiàn)有一個(gè)現(xiàn)象它是不能解釋的。從1859年起，勒威烈就開始觀測眾星的微小攝動，他發(fā)規(guī)水星的近日點(diǎn)每百年的進(jìn)動大約比牛頓引力理論計(jì)算值多出40弧秒。1845年，他斷言水星的反常運(yùn)動是受到一顆尚未發(fā)現(xiàn)的行星的影響，他稱這顆行星為“火神星”，但是始終未能從觀測中發(fā)現(xiàn)這顆火神星。1882年(美國天文學(xué)家紐科姆(SimonNewcomb，1835,1909)對水星的進(jìn)動又做了更加詳細(xì)的計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明，水星近日點(diǎn)的進(jìn)動應(yīng)為43″,百年。但后來的解釋都沒有獲得成功。1915年，愛因斯坦的廣義相對論建立后，史瓦西(KarlSahwarzschild，1873,1916)很快地找到了球?qū)ΨQ引力場情況下的引力場方程解，后來被稱為史瓦西解(或史瓦西度規(guī))。愛因斯坦認(rèn)為太陽的引力場適用于史瓦西解，考慮到中心質(zhì)量使它周圍的時(shí)空發(fā)生“彎曲”，檢驗(yàn)粒子每公轉(zhuǎn)一周，近心點(diǎn)的進(jìn)動量為:,6GM,,2ca(1,,)對水星來說，G為萬有引力常數(shù)，M為太陽的質(zhì)量，c為光速，a是水星軌道的半長軸，ε是偏心率。用史瓦西度規(guī)來描述太陽引力場，把行星當(dāng)作檢驗(yàn)粒子，就可算出太陽系中水星軌道每百年進(jìn)動的理論值為43.03弧秒，而觀測值為43.11?0.45弧秒。比較理論值和觀測值可以明確看到:廣義相對論在解釋牛頓理論所不能說明的水星剩余進(jìn)動方面是相當(dāng)成功的。這一結(jié)果不但解決了牛頓引力理論多年的懸案，而且為廣義相對論提供了有力的證據(jù)，它成為驗(yàn)證廣義相對論的三大有名的實(shí)驗(yàn)判據(jù)之一。4、3光線的引力場彎曲19世紀(jì)初，有人利用牛頓的引力理論，計(jì)算出光通過太陽的表面時(shí)，大約應(yīng)該有0.85弧秒的彎曲，這是按重物在太陽附近平拋關(guān)系算出來的結(jié)果。1911年6月，愛因斯坦在《引力對光線傳播的影響》一文中，也預(yù)言了光線經(jīng)過太陽附近的彎曲效應(yīng)。然而這種彎曲不是出自于引力的“力”作用。而是由于引力的空間彎曲效應(yīng)引起的，所以它應(yīng)與牛頓引力的光線彎曲作用有所不同。按廣義相對論的空間引力彎曲理論計(jì)算，光在太陽的史瓦西場中，其運(yùn)動將遵守測地線方程。當(dāng)光粒子經(jīng)過太陽表面時(shí)，一個(gè)遠(yuǎn)離太陽這一引力中心的觀測者所4GM,觀測到的偏轉(zhuǎn)角應(yīng)為，其中G為萬有引力常量，c,2cr0為光在真空中的速度，rr是光線路徑到太陽質(zhì)量中心的最近距00離。理論的計(jì)算結(jié)果應(yīng)為1″...(75，相當(dāng)于按牛頓引力理論計(jì)算值的2倍。在提出這一預(yù)言的同時(shí)，愛因斯坦還提出了觀測方法:“由于在日全食時(shí)，可以看到太陽附近天空的恒星，理論的這一結(jié)果可以同經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行比較。”他希望天文學(xué)家們對這一結(jié)果進(jìn)行實(shí)地考察。愛丁頓(EddingtonA(S，1882,1944)對廣義相對論的熱情很快地使他的密友、同事、皇家天文學(xué)會的戴孫(FrankDyson)受到感染，他們?yōu)?919年日食間的考察積極籌劃。1919年5月圖9-8為日蝕時(shí)由于太陽邊緣的光29日，恰好有一次日食發(fā)生。英國皇家學(xué)會和皇家天文學(xué)會聯(lián)線發(fā)生了彎曲～太陽附近的星體好合派出了兩支考察隊(duì)，分別由愛丁頓與克勞姆林像稍稍地發(fā)生了移動(C(D(Crommelin)教授帶領(lǐng)，分赴幾內(nèi)亞灣的普林西比島與巴西的索布臘爾兩地進(jìn)行觀測。經(jīng)過分析與比較，兩支考察隊(duì)的觀測結(jié)果分別是α,1″(61?0″(30和α,1″(98?0″(12。理論的預(yù)期值基本上與觀測值相符。11月6日，英國皇家學(xué)會和皇家天文學(xué)會聯(lián)合舉行了發(fā)布會，發(fā)布這次遠(yuǎn)征隊(duì)的考察結(jié)果。戴孫爵士第一個(gè)發(fā)言說:“認(rèn)真研究過這些底片之后，我要說，底片肯定了愛因斯坦的預(yù)言。”大會主席J(J(湯姆遜認(rèn)為“這是牛頓時(shí)代以來，所取得的關(guān)于引力論的最重要的成果，它已不是發(fā)現(xiàn)一個(gè)外圍的島嶼，而是找到了整個(gè)科學(xué)思想的新大陸，??這個(gè)結(jié)果是人類思想的最偉大的成就之一。”60年代末，由于射