切線的性質與判定 市賽獲獎

已知：O為∠BAC平分線上一點，OD⊥AB于點D，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．

求證：⊙O與AC相切．課題新人教版九年級數學上冊第二十四章24.2.2.（2）

切線的性質與判定判斷一條直線是一個圓的切線的三種方法1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;2.數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。歸納∵OA為⊙O的半徑,BC

⊥

OA于A∴BC為⊙O的切線∵BC

⊥

OA于A,OA為⊙O的半徑∴BC為⊙O的切線∵直線BC與⊙O只有一個公共點A∴BC為⊙O的切線最常用！1.下列各直線l是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？不是，因為沒有垂直.不是，因為沒有經過半徑的外端點A.是不是，因為沒有經過半徑的外端點A.2.如圖，AB是⊙O的直徑，直線EF過點B;若∠1=∠A,能簡單說明一下EF是⊙O的切線嗎？追蹤例2.

已知：直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB求證：直線AB是⊙O的切線.典例1有公共點，連半徑，證垂直！！已知：O為∠BAC平分線上一點，OD⊥AB于點D，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．

求證：⊙O與AC相切．無公共點，作垂直，證半徑?。》椒w納例.如圖，已知直線AB經過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB求證：直線AB是⊙O的切線.例.如圖，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直徑為6.求證：直線AB是⊙O的切線.？添輔助線方法歸納第一種情況第二種情況連接作垂直有公共點，連半徑，證垂直！！無公共點，作垂直，證半徑！！1.已知：如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE是⊙O的切線.2.Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，E是邊BC的中點，連接DE.求證：直線DE是⊙O的切線.連接OD、BD.∵AB是⊙O直徑∴∠ADB=90°∴∠CDB=90°又∵E為邊BC的中點∴∴DE=CE∴∠1=∠C∵OA=OD∴∠2=∠A∵∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∴∠1+∠2=90°∴∠ODE=90°又∵OD是⊙O的半徑∴直線DE是⊙O的切線記住喲！“公共點確定，連半徑，證垂直.”能力提升例1思考：如圖，如果直線l是⊙O

的切線，點A為切點，那么OA與l垂直嗎？切線的性質定理切線性質

圓的切線垂直于經過切點的半徑．性質∵直線l是⊙O的切線，A為切點∴直線l⊥OA證法1：反證法.證法2：構造法.⑴.假設AB與CD不垂直,過點O作一條直徑垂直于CD,垂足為M,⑵.則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾.⑶.所以AB與CD垂直.作出小⊙O的同心圓大⊙O，CD切小⊙O于點A,且A點為CD的中點，連接OA,根據垂徑定理，則CD⊥OA,即圓的切線垂直于經過切點的半徑．證法作為了解！60°2.如圖：在⊙C中，CA、CB為半徑，直線MN與⊙C相切于點B，若∠ABN=30°，則∠ACB=

.追蹤3.如圖AB為⊙O的直徑，D為AB延長線上一點，DC與⊙O相切于點C，∠DAC=30°，若⊙O的半徑長1cm，則CD=

cm.1..如下列各圖中，直線m均為⊙O的切線，切點均為A，請根據圖中的標示的已知角度分別寫出∠1的度數.43°46°50°

例3.如圖,△ABC中，AB

＝AC

，O是BC中點，⊙O

與AB

相切于E.求證：AC是⊙O的切線．典例2（續(xù)）無公共點，作垂直，證半徑?。?.判斷下列命題是否正確.⑴.經過半徑外端的直線是圓的切線.()⑵.垂直于半徑的直線是圓的切線.()⑶.過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.()⑷.和圓只有一個公共點的直線是圓的切線.()⑸.過直徑一端點且垂直于直徑的直線是圓的切線.()3.如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，過D點的切線PD與直線AB交于點P，則∠ADP的度數為

（

）A．40°B．35°C．30°D．45°2.如圖所示，A是⊙O上一點，且AO=5,PO=13,AP=12,則PA與⊙O的位置關系是

.鞏固練習相切C4.如圖，已知AB是⊙O的切線，半徑OC的延長線與AB相交于點B，且OC=BC.⑴.求證:AC=OB;⑵.求∠B的度數.5.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE是⊙O的切線.6.如圖，⊙O的半徑為8厘米，圓內的弦AB為厘米，以O為圓心，4厘米為半徑作小圓.求證：小圓與直線ＡＢ相切。4、5、6題根據課堂時間選做！鞏固練習（續(xù)）例2.已知：△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF.⑴.如圖1，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）：

①._________；②._____________.⑵.如圖2，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線.BA⊥EF∠CAE=∠B證明：

連接AO并延長交⊙O于D,連接CD,則AD為⊙O的直徑.例2∴∠D+∠DAC=90°∵∠D與∠B同對∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°∴EF是⊙O的切線.∴EF是⊙O的切線.牛刀小試(1).可證明∠1+∠2=∠3+∠B=90°;(2).可設RQ=x,則在Rt△OQR中有：22+x2=(x+1)2.比如：若①②推出③可連接OD.然后證明ODE=∠DEC=90°.談談你的收獲！談談收獲！切線的判定方法定義法數量關系法判定定理1個公共點，則相切d=r，則相切經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線的性質證切線時常用輔助線添加方法：①有公共點，連半徑，證垂直；②無公共點，作垂直，證半徑.有