《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》第二部分 誤差理論與有效數(shù)字

PAGEPAGE25第1章誤差理論與有效數(shù)字1.1測(cè)量與誤差在物理實(shí)驗(yàn)中，總要進(jìn)行大量的測(cè)量工作。測(cè)量包含兩個(gè)必要的過(guò)程，一是對(duì)許多物理量進(jìn)行檢測(cè)，二是對(duì)測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。在實(shí)驗(yàn)前，必須對(duì)所觀測(cè)的對(duì)象進(jìn)行分析研究，以確定實(shí)驗(yàn)方法和選擇具有適當(dāng)精度的測(cè)量?jī)x器。在實(shí)驗(yàn)后，對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)加以整理、歸納，用一定的方式(列表或圖解)表示出它們之間的相互關(guān)系，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果給予合理的解釋?zhuān)龀稣_判斷。以上這些過(guò)程都與誤差理論密切相關(guān)。例如，計(jì)算中取幾位有效數(shù)字，作圖時(shí)選多大的比例值等。若處理數(shù)據(jù)不當(dāng)，就會(huì)影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，因此不能隨心所欲。否則，實(shí)驗(yàn)中精細(xì)的測(cè)量都是徒勞的。1.1.1測(cè)量的基本概念1.測(cè)量的含義任何實(shí)驗(yàn)都離不開(kāi)測(cè)量，沒(méi)有測(cè)量就沒(méi)有科學(xué)。在一定條件下，任何物理量都必然具有某一客觀真實(shí)的數(shù)據(jù)。所謂測(cè)量就是把待測(cè)物理量與作為計(jì)量單位的同類(lèi)已知量相比較，找出待測(cè)物理量是單位多少倍的過(guò)程。這個(gè)倍數(shù)叫做測(cè)量的讀數(shù)，讀數(shù)加上單位記錄下來(lái)就是數(shù)據(jù)。任何物理量都是有單位的。因此，在物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量物理量記錄數(shù)據(jù)時(shí)，一定要記錄單位。在完成測(cè)量時(shí)，必須明確測(cè)量對(duì)象、測(cè)量單位、測(cè)量方法和測(cè)量準(zhǔn)確度，通常把這四點(diǎn)稱(chēng)為測(cè)量的四要素。2.測(cè)量的分類(lèi)按測(cè)量方法的不同，測(cè)量可分為直接測(cè)量和間接測(cè)量；按測(cè)量條件的不同，測(cè)量又分為等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量。=1\*GB2⑴、直接測(cè)量和間接測(cè)量直接測(cè)量是把一個(gè)量與同類(lèi)量直接進(jìn)行比較以確定待測(cè)量的量值。一般基本量的測(cè)量都屬于此類(lèi)，如用米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度，用天平稱(chēng)鐵塊的質(zhì)量，用秒表測(cè)量單擺的周期等。儀表上所標(biāo)明的刻度或從顯示裝置上直接讀取的值，都是直接測(cè)量的量值。在物理實(shí)驗(yàn)中，能夠直接測(cè)量的量畢竟是少數(shù)，大多數(shù)是根據(jù)直接測(cè)量所得數(shù)據(jù)在一定的函數(shù)關(guān)系下，通過(guò)運(yùn)算得出所需要的結(jié)果。例如，直接測(cè)出單擺的長(zhǎng)度和單擺的周期，應(yīng)用公式，以求重力加速度，這種測(cè)量稱(chēng)為間接測(cè)量。=2\*GB2⑵、等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量對(duì)某一量進(jìn)行多次測(cè)量，得個(gè)數(shù)值：如果每次測(cè)量都是在相同的條件下進(jìn)行的，則沒(méi)有理由認(rèn)為所得的個(gè)值中，某一個(gè)值比另一個(gè)值要測(cè)得準(zhǔn)確些。在這種情況下，所進(jìn)行的一系列測(cè)量稱(chēng)為等精度測(cè)量。所謂相同條件的含義，是指同一個(gè)人，用同一臺(tái)儀器，每次測(cè)量的周?chē)鷹l件都相同(如測(cè)量時(shí)環(huán)境、氣溫、照明情況等未變動(dòng))。這種情況就可認(rèn)為各測(cè)量值的精確程度是相同的。對(duì)某一量，進(jìn)行了次測(cè)量，得到個(gè)值：如果每次測(cè)量的條件不同，那么這些值的精確程度不能認(rèn)為是相同的。在這種情況下，所進(jìn)行的一系列測(cè)量叫做不等精度測(cè)量。例如，同一實(shí)驗(yàn)者用精度不同的3種天平稱(chēng)量某一物體質(zhì)量，得到3個(gè)值、、，或者用3種不同的方法測(cè)量某一物質(zhì)的密度，得3個(gè)值、、，這都是不等精度測(cè)量。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一般都采用等精度測(cè)量。1.1.2誤差的基本概念1.1.2.1真值任何一個(gè)物理量在某一時(shí)刻和某一位置或某一狀態(tài)下，都存在著一個(gè)客觀值，這個(gè)客觀值稱(chēng)為真值。1.1.2.2絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差1.絕對(duì)誤差測(cè)量當(dāng)然希望得到真值，但測(cè)量總是在一定的環(huán)境（溫度、濕度等)和儀器條件下進(jìn)行的，由于測(cè)量條件（環(huán)境、溫度、濕度等）的變化以及儀器精度的不同，因而在任何測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果與待測(cè)量客觀存在的真值之間總存在著一定的差異。測(cè)量值與真值的差值叫做測(cè)量誤差簡(jiǎn)稱(chēng)誤差。即 (1-1)由于是測(cè)量值對(duì)真值的絕對(duì)偏離，通常把它稱(chēng)為絕對(duì)誤差。顯然，絕對(duì)誤差除大小外，還有正負(fù)（方向）。2.相對(duì)誤差絕對(duì)誤差的大小能夠反映對(duì)同一被測(cè)量的測(cè)量效果的好壞。例如，對(duì)一長(zhǎng)度為1m左右的物體進(jìn)行測(cè)量，絕對(duì)誤差為5cm的就比為10cm的測(cè)量效果好。但對(duì)不同的被測(cè)量就很難確定了，如測(cè)量長(zhǎng)為1000m的物體的絕對(duì)誤差是1m，測(cè)量長(zhǎng)為100cm（1-2）由相對(duì)誤差的大小就可以比較兩個(gè)測(cè)量結(jié)果的好與壞，上述例中的第一個(gè)測(cè)量相對(duì)誤差是0.1%，第二個(gè)測(cè)量相對(duì)誤差是1%，顯然第一個(gè)測(cè)量比第二個(gè)測(cè)量效果好。任何測(cè)量都不可避免地存在誤差，所以，一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果應(yīng)該包括測(cè)量值和誤差兩個(gè)部分。1.1.2.3.誤差的分類(lèi)誤差按其性質(zhì)和產(chǎn)生原因可分為三大類(lèi)：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。1.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的特征是：在同一條件下，多次測(cè)量同一個(gè)量時(shí)，誤差的大小和方向保持恒定，或在條件改變時(shí)，誤差的大小和方向按一定規(guī)律變化。增加測(cè)量次數(shù)并不能減少這種誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。=1\*GB2⑴、系統(tǒng)誤差的主要來(lái)源①儀器誤差這是由于測(cè)量工具或儀器本身的缺陷而產(chǎn)生的，如天平臂不等長(zhǎng),砝碼標(biāo)稱(chēng)質(zhì)量不準(zhǔn)確，尺子刻度偏大，表盤(pán)刻度不均勻等。②方法誤差這是由于實(shí)驗(yàn)方法或理論不完善而導(dǎo)致的。如采用伏安法測(cè)電阻時(shí)，電表的內(nèi)阻產(chǎn)生的誤差，采用單擺周期公式測(cè)量周期時(shí)，擺角引起的誤差，這些都是方法誤差。③環(huán)境誤差這是由于周?chē)h(huán)境與實(shí)驗(yàn)要求不一致而引起的誤差。如測(cè)量時(shí)實(shí)際溫度與所要求的溫度有偏差，測(cè)量過(guò)程中溫度、濕度、氣壓等按一定規(guī)律變化的因素引起的誤差。④人身誤差這是由于測(cè)量者本身的生理特點(diǎn)或固有習(xí)慣所引起的誤差，例如某些人在進(jìn)行動(dòng)態(tài)測(cè)量記錄某一信號(hào)時(shí)有滯后的傾向等。系統(tǒng)誤差一般都有較明顯的原因，因此可以采用適當(dāng)?shù)拇胧┘右韵拗苹蛳鼘?duì)測(cè)量結(jié)果的影響。系統(tǒng)誤差是測(cè)量誤差的重要組成部分，所以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，弄清其產(chǎn)生原因，進(jìn)而消除它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響則是物理實(shí)驗(yàn)的一項(xiàng)重要任務(wù)。=2\*GB2⑵、發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法提高測(cè)量精度，首要問(wèn)題是發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，然而在測(cè)量過(guò)程中形成系統(tǒng)誤差的因素是復(fù)雜的，目前還沒(méi)有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法，只有根據(jù)具體測(cè)量過(guò)程和測(cè)量?jī)x器進(jìn)行全面的仔細(xì)分析，針對(duì)不同情況合理選擇一種或幾種方法加以校驗(yàn)，才能最終確定有無(wú)系統(tǒng)誤差。下面簡(jiǎn)單介紹幾種適用于發(fā)現(xiàn)某些系統(tǒng)誤差的常用方法。=1\*GB3①實(shí)驗(yàn)對(duì)比法。這種方法主要適用于發(fā)現(xiàn)固定系統(tǒng)誤差，其基本思想是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測(cè)量。例如，采用不同方法測(cè)同一物理量，若其結(jié)果不一致，表明至少有一種方法存在系統(tǒng)誤差。還可采用儀器對(duì)比法、參量改變對(duì)比法，改變實(shí)驗(yàn)條件對(duì)比法、改變實(shí)驗(yàn)操作人員對(duì)比法等，測(cè)量時(shí)可根據(jù)具體實(shí)驗(yàn)情況選用。②理論分析法。主要進(jìn)行定性分析來(lái)判斷是否有系統(tǒng)誤差。如分析儀器所要求的工作條件是否滿(mǎn)足，實(shí)驗(yàn)所依據(jù)的理論公式所要求的條件在測(cè)量過(guò)程中是否滿(mǎn)足，如果這些要求沒(méi)有滿(mǎn)足，則實(shí)驗(yàn)必有系統(tǒng)誤差。③數(shù)據(jù)分析法。主要進(jìn)行定量分析來(lái)判斷是否有系統(tǒng)誤差。一般可采用殘余誤差觀察法、殘余誤差校驗(yàn)法、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法等方法。=3\*GB2⑶、系統(tǒng)誤差的減小和消除在實(shí)際測(cè)量中，如果判斷出有系統(tǒng)誤差存在，就必須進(jìn)一步分析可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素，設(shè)法減小和消除系統(tǒng)誤差。由于測(cè)量方法、測(cè)量對(duì)象、測(cè)量環(huán)境及測(cè)量人員不盡相同，因而沒(méi)有一個(gè)普遍適用的方法來(lái)減小或消除系統(tǒng)誤差。下面簡(jiǎn)單介紹幾種減小和消除系統(tǒng)誤差的方法和途徑。①?gòu)漠a(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上消除。從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上消除誤差是最根本的方法，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各種因素?？梢詮南旅鎺讉€(gè)方面采取措施從根源上消除或減小誤差：:采用近似性較好又比較切合實(shí)際的理論公式，盡可能滿(mǎn)足理論公式所要求的實(shí)驗(yàn)條件，選用能滿(mǎn)足測(cè)量誤差所要求的實(shí)驗(yàn)儀器裝置，嚴(yán)格保證儀器設(shè)備所要求的測(cè)量條件，采用多人合作，重復(fù)實(shí)驗(yàn)的方法。②引入修正項(xiàng)消除系統(tǒng)誤差。通過(guò)預(yù)先對(duì)儀器設(shè)備將要產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析計(jì)算，找出誤差規(guī)律，從而找出修正公式或修正值，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。③采用能消除系統(tǒng)誤差的方法進(jìn)行測(cè)量。對(duì)于某種固定的或有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，可以采用交換法、抵消法、補(bǔ)償法、對(duì)稱(chēng)測(cè)量法、半周期偶數(shù)次測(cè)量法等特殊方法進(jìn)行清除。采用什么方法要根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)情況及實(shí)驗(yàn)者的經(jīng)驗(yàn)來(lái)決定。無(wú)論采用哪種方法都不可能完全將系統(tǒng)誤差消除，只要將系統(tǒng)誤差減小到測(cè)量誤差要求允許的范圍內(nèi)，或者系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響小到可以忽略不計(jì)，就可以認(rèn)為系統(tǒng)誤差已被消除。2.隨機(jī)誤差(偶然誤差)在同一條件下多次測(cè)量同一物理量時(shí)，每次出現(xiàn)的誤差時(shí)大時(shí)小，時(shí)正時(shí)負(fù)，沒(méi)有確定的規(guī)律，但就總體來(lái)說(shuō)服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差稱(chēng)為隨機(jī)誤差。=1\*GB2⑴、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因這種誤差是由于人的感官靈敏度和儀器精密程度的限制，周?chē)h(huán)境的干擾以及伴隨著測(cè)量而來(lái)的不可預(yù)料的隨機(jī)因素的影響而造成的。=2\*GB2⑵、隨機(jī)誤差的特征圖1-1偶然誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的特征是單個(gè)測(cè)量具有隨機(jī)性，不可預(yù)知，多次測(cè)量呈現(xiàn)一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。當(dāng)測(cè)量次數(shù)很大時(shí)，可以認(rèn)為近似服從正態(tài)分布（高斯分布），如圖1-1所示。橫坐標(biāo)表示隨機(jī)誤差；縱坐標(biāo)表示誤差出現(xiàn)的概率密度函數(shù)。由圖可知，隨機(jī)誤差具有下面的一些特性性。圖1-1偶然誤差的正態(tài)分布①單峰性。測(cè)量值與真值相差越小，其可能性越大；與真值相差很大，其可能性較小。②對(duì)稱(chēng)性。測(cè)量值與真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。③有界性。在一定的測(cè)量條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度。④抵償性。隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨測(cè)量次數(shù)的增加越來(lái)越小。3.粗大誤差由于測(cè)量時(shí)，觀測(cè)者不正確的使用儀器、粗心大意觀察錯(cuò)誤或記錯(cuò)數(shù)據(jù)而引起的不正確的結(jié)果。這種誤差稱(chēng)為粗大誤差。它實(shí)際上是一種測(cè)量錯(cuò)誤，相應(yīng)數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)予以剔除。1.1.3直接測(cè)量的誤差估計(jì)由于在測(cè)量過(guò)程中不可避免地存在有隨機(jī)誤差，因而對(duì)某一物理量進(jìn)行多次測(cè)量的結(jié)果不會(huì)是完全相同的。設(shè)對(duì)某一物理量在相同條件下進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，獲得了一組數(shù)據(jù)：，，…，。一般地講，這個(gè)數(shù)據(jù)是彼此不同的，如果把它們?nèi)繉?xiě)出來(lái)作為測(cè)量結(jié)果當(dāng)然是不方便的，用其中任一個(gè)測(cè)量值作為測(cè)量結(jié)果顯然也是不全面的，那么應(yīng)該用怎樣一個(gè)數(shù)來(lái)表達(dá)這一結(jié)果才合適呢？1.用算術(shù)平均值表示真值=1\*GB2⑴、算術(shù)平均值原理在相同條件下對(duì)某物理量進(jìn)行次等精度重復(fù)測(cè)量，每次的測(cè)量值分別為，，…，，真值為，則任意一次測(cè)量的誤差。對(duì)此式求和得：兩邊同除以，得：令：得（1-3）又根據(jù)隨機(jī)誤差的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，。因而當(dāng)足夠大時(shí)，算術(shù)平均值將趨近于真值，我們可以用算術(shù)平均值作為多次測(cè)量的最近真值，即多次測(cè)量的最佳值。=2\*GB2⑵、算術(shù)平均值在實(shí)驗(yàn)中的指導(dǎo)意義根據(jù)算術(shù)平均值原理，在多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于偶然誤差的抵償性，使得算術(shù)平均值趨近于真值，即算術(shù)平均值的誤差趨近于零。所以增加測(cè)量次數(shù)可以減小測(cè)量的隨機(jī)誤差，這對(duì)于提高測(cè)量結(jié)果的可靠性是有利的。因此，在實(shí)驗(yàn)中如有可能，都應(yīng)當(dāng)進(jìn)行多次測(cè)量。但是并不是測(cè)量次數(shù)越多越好，因?yàn)樵黾訙y(cè)量次數(shù)必定要延長(zhǎng)測(cè)量時(shí)間，這將給保持穩(wěn)定的測(cè)量條件增加困難。同時(shí)，增加測(cè)量次數(shù)也會(huì)給測(cè)量者造成疲勞，這又可能引起較大的觀測(cè)誤差。所以實(shí)際測(cè)量次數(shù)不必過(guò)多，一般在科學(xué)研究中，取10至20次；而在我們的物理實(shí)驗(yàn)中由于時(shí)間有限可以取5到10次。2.測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）測(cè)量列是指在相同的條件下對(duì)同一個(gè)物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量所得測(cè)量值的集合。由于隨機(jī)誤差的存在，測(cè)量列中各個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)相互稍有差異，標(biāo)準(zhǔn)誤差就是對(duì)這組數(shù)據(jù)可靠性的一種評(píng)價(jià)。=1\*GB2⑴、測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）的概念測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義為：測(cè)量列中各測(cè)量值誤差的平方和的平均值的平方根。（1-4）由于被測(cè)量的真值是未知數(shù)，各測(cè)量值的誤差也都無(wú)法求出，因此不可能按式（1-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差。=2\*GB2⑵、測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）的計(jì)算公式根據(jù)算術(shù)平均值原理，我們知道，測(cè)量列中測(cè)量值的算術(shù)平均值是該測(cè)量列表示的待測(cè)量真值的最佳值。因此，在實(shí)驗(yàn)中我們用算術(shù)平均值代表真值，這樣我們就可以得到測(cè)量列中各個(gè)測(cè)量值與算術(shù)平均值的差，稱(chēng)之為偏差。即（1-5）如果用偏差來(lái)計(jì)算測(cè)量列的方差，理論分析表明，偏差與誤差的關(guān)系為：（1-6）將式（1-6）代入（1-4）式，就得到用偏差表示的標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算公式：(1-7)=3\*GB2⑶、測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）的統(tǒng)計(jì)意義標(biāo)準(zhǔn)誤差不是測(cè)量值的實(shí)際誤差，也不是誤差范圍，它只是對(duì)一組測(cè)量數(shù)據(jù)可靠性的估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)誤差小，測(cè)量的可靠性就大一些。反之，則測(cè)量不大可靠。那么，標(biāo)準(zhǔn)誤差和各測(cè)量值的實(shí)際誤差之間有什么關(guān)系呢？按照隨機(jī)誤差的高斯理論，測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差為時(shí)，此測(cè)量列中任一測(cè)量值的誤差有68.3%的可能性落在[-，+]區(qū)間之內(nèi)。我們把區(qū)間[-，+]稱(chēng)為置信區(qū)間，其相應(yīng)的概率P()=68.3%稱(chēng)為置信概率。=4\*GB2⑷、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）根據(jù)算術(shù)平均值原理，當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，其算術(shù)平均值就無(wú)限接近真值。然而，實(shí)際測(cè)量次數(shù)總是有限的，因而有限次測(cè)量的算術(shù)平均值與真值之間總是有一定的偏離的。換句話(huà)說(shuō)，有限次測(cè)量的算術(shù)平均值也是有誤差的。例如我們通過(guò)測(cè)量獲得了一組數(shù)據(jù)，并得出一個(gè)算術(shù)平均值作為測(cè)量的結(jié)果。那么以后別人，甚至我們自己再按完全相同的情況重復(fù)這種測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差的影響，不一定能得出完全相同的平均值。這種現(xiàn)象就是算術(shù)平均值誤差的具體表現(xiàn)。理論分析表明，一組個(gè)測(cè)量值的測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差與其算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差之間的關(guān)系是：（1-8）用偏差表示則為：（1-9）它表示在范圍內(nèi)包含真值的概率為68.3%。由式（1-8）可知，隨著測(cè)量次數(shù)增加減小，這就是通常所說(shuō)的增加測(cè)量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差。但由于與成反比，的下降比的增長(zhǎng)速率慢得多，后變化極慢，所以實(shí)際測(cè)量次數(shù)一般取5～20次。但時(shí)，要獲得時(shí)同樣的測(cè)量置信概率，應(yīng)乘一因子。例1-1：用單擺測(cè)重力加速度公式為，對(duì)擺長(zhǎng)l測(cè)量10次，測(cè)得值如下表：測(cè)量次序12345678910l/cm100.299.899.9100.2100.0100.199.9100.099.9100.1對(duì)周期T測(cè)量5次，測(cè)得值如下表：測(cè)量次序12345T/s2.0012.0021.9982.0031.997求和的算術(shù)平均值，算術(shù)平均偏差，某一次測(cè)量結(jié)果的的標(biāo)準(zhǔn)偏差，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。解:1.1.4.1儀器的最大誤差測(cè)量是用儀器或量具進(jìn)行的。有的儀器比較粗糙或靈敏度較低；有的儀器比較精確或靈敏度較高，但任何儀器都存在誤差。儀器誤差就是指在正確使用儀器的條件下，測(cè)量所得結(jié)果的最大誤差，用符號(hào)表示。儀器精度的級(jí)別通常是由制造工廠和計(jì)量機(jī)構(gòu)使用更精確的儀器、量具，檢定比較后給出的。下面列出常見(jiàn)儀器的最大誤差。表1-1物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中正確使用儀器時(shí)儀器的最大誤差儀器備注米尺0.5mm最小刻度1mm游標(biāo)卡尺取卡尺分度值螺旋測(cè)微計(jì)0.004mm量程在0～50mm物理天平0.05g感量0.1g電表量程,準(zhǔn)確度等級(jí)數(shù)字式儀表儀器最小讀數(shù)直流電阻箱為示值，是直流電阻箱準(zhǔn)確度等級(jí)，是與準(zhǔn)確度等級(jí)有關(guān)的系數(shù)，是所使用的電阻箱的旋鈕數(shù)其它儀器由實(shí)驗(yàn)室給出2.儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差.儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差與儀器的最大誤差有如下關(guān)系 =1\*GB2⑴、儀器誤差密度函數(shù)呈均勻分布時(shí)S= (1-10)=2\*GB2⑵、儀器誤差密度函數(shù)呈正態(tài)分布時(shí)（1-11）1.1.5間接測(cè)量的誤差傳遞直接測(cè)量所得的結(jié)果都是有誤差的，由直接測(cè)量值經(jīng)過(guò)運(yùn)算而得到的間接測(cè)量值也有誤差。估算間接測(cè)量誤差的方法叫做誤差傳遞。1.誤差的一般傳遞公式設(shè) (1-12)若各直接測(cè)量值的絕對(duì)誤差分別為，則間接測(cè)量值的絕對(duì)誤差為，其計(jì)算方法如下：將式(1-12)求全微分，得 (1-13)由于分別相對(duì)于是一個(gè)很小量，將式(1-13)中用代替，則 (1-14)由于具體誤差的符號(hào)并不知道，為謹(jǐn)慎起見(jiàn)，只能作最不利考慮，認(rèn)為各項(xiàng)誤差將累加，這樣可能導(dǎo)致誤差估算偏大，因此將式(1-14)中各項(xiàng)分別取絕對(duì)值相加。即 (1-15)相對(duì)誤差為 (1-16)式(1-13)和(1-14)稱(chēng)為誤差傳遞的一般公式，或稱(chēng)為誤差的算術(shù)合成。2.標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式若各直接測(cè)量值的絕對(duì)誤差分別為標(biāo)準(zhǔn)誤差、、、…、等，則間接測(cè)量值的誤差估算需要用誤差的方根合成，即絕對(duì)誤差為 (1-17)相對(duì)誤差為 (1-18)式(1-17)和式(1-18)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式。表1-1列出了一些常用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式。誤差傳遞公式不僅可以用來(lái)計(jì)算間接測(cè)量值的誤差，而且還可以用來(lái)分析各直接測(cè)量值的誤差對(duì)最后結(jié)果影響的大小。對(duì)于那些影響大的直接測(cè)量值，預(yù)先考慮采取措施，以減小它們的影響，從而為合理選用儀器和實(shí)驗(yàn)方法提供依據(jù)。表1-2常用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式函數(shù)表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式1.2實(shí)驗(yàn)不確定度及測(cè)量結(jié)果的表示在科學(xué)、工程、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和商業(yè)貿(mào)易等各個(gè)領(lǐng)域都需要提供測(cè)量結(jié)果及其測(cè)量結(jié)果可信任度的數(shù)據(jù)。以往人們習(xí)慣于用誤差來(lái)表示測(cè)量結(jié)果的可信任度。由于誤差是測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量（真）值之差，而被測(cè)量（真）值大多數(shù)情況下是未知量，從而使得這種表示方法受到質(zhì)疑。1993年國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）在國(guó)際計(jì)量局、國(guó)際電工委員會(huì)、國(guó)際理論物理與應(yīng)用物理聯(lián)合會(huì)、國(guó)際理論化學(xué)與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會(huì)、國(guó)際臨床化學(xué)聯(lián)合會(huì)等7個(gè)國(guó)際組織的支持下出版了《測(cè)量不確定度表示法則》，建議用“不確定度”(Uncertainty)一詞，取代誤差(Error)來(lái)表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，用以評(píng)定實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量，表征被測(cè)量真值在某個(gè)量值的范圍。每個(gè)測(cè)量結(jié)果總存在著不確定度，作為一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果不僅要標(biāo)明其量值大小，還要標(biāo)出測(cè)量不確定度，以表明該測(cè)量結(jié)果的可信賴(lài)程度。1.2.1不確定度的分類(lèi)不確定度根據(jù)其性質(zhì)和估算方法不同，可分為類(lèi)不確定度和類(lèi)不確定度。類(lèi)不確定度是被測(cè)量列能用統(tǒng)計(jì)方法估算出來(lái)的不確定度分量，用表示；類(lèi)不確定度則是不能用統(tǒng)計(jì)方法估算的所有不確定度分量，用表示。1.2.2直接測(cè)量不確定度的簡(jiǎn)化估算測(cè)量次數(shù)時(shí)，類(lèi)不確定度分量的估算我們知道測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，偶然誤差呈現(xiàn)正態(tài)分布。可用來(lái)估算測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)誤差，因此，在不確定度表示中，可以用它作為類(lèi)分量。對(duì)有限次測(cè)量，由誤差理論可知，要得到與無(wú)限次測(cè)量相同的置信概率，類(lèi)分量應(yīng)在前乘一因子，即類(lèi)不確定度為 (1-19)因子的值，在置信概率及測(cè)量次數(shù)確定后，可從專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)表中查到。在置信概率時(shí)，相應(yīng)的部分與的數(shù)值，如下表所示。表1-3時(shí)不同測(cè)量次數(shù)下的值測(cè)量次數(shù)2345678910自由度1234567891.841.321.201.141.111.091.081.071.06類(lèi)不確定度分量的簡(jiǎn)化估算類(lèi)不確定度原則上應(yīng)考慮影響量的各種可能值，作為基礎(chǔ)訓(xùn)練，我們簡(jiǎn)化處理，主要考慮儀器標(biāo)準(zhǔn)誤差。由1.1.4小節(jié)可知，儀器誤差的概率密度函數(shù)遵循正態(tài)分布時(shí)，其“等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)誤差”（），此時(shí)類(lèi)分量為：() (1-20)對(duì)于均勻分布，因?yàn)?，且置信概率，要得到的置信概率，?yīng)乘上系數(shù)0.683/0.577，即對(duì)于均勻分布，的B類(lèi)分量為： （） (1-21)為了簡(jiǎn)便，在以后的計(jì)算中，我們不考慮它是什么誤差分布，都認(rèn)為是均勻分布，且取置信概率，此時(shí)類(lèi)分量為：。合成不確定度=1\*GB2⑴、單次測(cè)量的合成不確定度作為單次測(cè)量，不存在采用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度類(lèi)分量。因此，單次測(cè)量的合成不確定度就等于不確定度類(lèi)分量。=2\*GB2⑵、多次測(cè)量的合成不確定度多次測(cè)量的合成不確定度，即類(lèi)和類(lèi)不確定度的總和，其合成公式為(1-22)式中,為多次測(cè)量量N的合成不確定度；是該測(cè)量量的類(lèi)不確定度分量；為它的類(lèi)不確定度分量。上式為合成不確定度的計(jì)算公式，它是由兩個(gè)彼此間相互獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)和非統(tǒng)計(jì)不確定度的方根和。合成不確定度表明在測(cè)量過(guò)程中所有不確定度因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的合成影響。1.2.3.間接測(cè)量不確定度的估算1.不確定度傳遞公式由直接測(cè)量量的不確定度引起的間接測(cè)量量的不確定度傳遞公式，如同標(biāo)準(zhǔn)差傳遞公式一樣。設(shè)間接測(cè)量量的函數(shù)為其中則間接測(cè)量量的最佳估計(jì)值為當(dāng)間接測(cè)量的函數(shù)式為和差形式時(shí)，相應(yīng)的不確定度為 (1-23)當(dāng)間接測(cè)量的函數(shù)式為積商形式（或含和差的積商形式）時(shí)，其不確定度的簡(jiǎn)便運(yùn)算式為(1-24)其中式中，為被測(cè)量的合成不確定度；、、為各直接測(cè)量量的不確定度；為被測(cè)量的平均值。式（1-23）適用于間接測(cè)量量與直接測(cè)量的函數(shù)關(guān)系是和差形式，而式（1-24）則適用于積商形式的函數(shù)關(guān)系，它實(shí)際上是相對(duì)不確定度的傳遞公式。表1-2常用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式中的標(biāo)準(zhǔn)誤差，換成不確定度的符號(hào)，就是常用函數(shù)間接測(cè)量不確定度的傳遞公式。在物理實(shí)驗(yàn)中一般都采用這種傳遞公式計(jì)算間接測(cè)量的不確定度。1.2.4不確定度取舍原則不確定度一般保留1～2位數(shù)字，當(dāng)首位數(shù)字等于或大于3時(shí)，取一位；小于3時(shí)，取兩位，其后面的數(shù)字取舍法則為“只進(jìn)不舍”（非零即進(jìn)）。如應(yīng)保留為0.5cm；應(yīng)保留為0.22mm。計(jì)算過(guò)程中，不確定度可以多保留一位。1.2.5用不確定度表示測(cè)量結(jié)果測(cè)得值取幾位，由不確定度來(lái)決定。即測(cè)得值保留的最后一位數(shù)與不確定度的末位對(duì)齊，后面的尾數(shù)則采用“小于5舍，大于5進(jìn)，等于5將保留的數(shù)字湊成偶數(shù)”的原則取舍。1.直接測(cè)量結(jié)果的表示=1\*GB2⑴、直接單次測(cè)量結(jié)果的表示由于是單次測(cè)量，計(jì)算不確定度時(shí)只須考慮儀器本身帶來(lái)的誤差，故其測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式可寫(xiě)為(1-25)=2\*GB2⑵、直接多次測(cè)量結(jié)果的表示對(duì)于直接多次重復(fù)測(cè)量，其測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式為(1-26)如某長(zhǎng)度的測(cè)量平均值為，合成不確定度為，則結(jié)果為2.間接多次測(cè)量結(jié)果的表示當(dāng)所測(cè)物理量需通過(guò)測(cè)量其它相關(guān)量來(lái)間接獲得時(shí)，測(cè)量的合成不確定度是由多方面的因素合成的。設(shè)間接測(cè)量量的函數(shù)為則相應(yīng)的不確定度為 (1-27)測(cè)量結(jié)果的最后表達(dá)式為(1-28)1.3有效數(shù)字及簡(jiǎn)算方法1.3.1有效數(shù)字的概念一般來(lái)說(shuō)，實(shí)驗(yàn)所處理的數(shù)值有2種：一種是沒(méi)有誤差的準(zhǔn)確值(如測(cè)量的次數(shù)，公式中的純數(shù)等)；另一種是測(cè)量值。測(cè)量值總含有一定的誤差，因此它的測(cè)量數(shù)據(jù)就不應(yīng)無(wú)止境地寫(xiě)下去。要由不確定度來(lái)決定。例如，測(cè)量值=(1.39423±0.0028)，由誤差可知其第三位小數(shù)“4”是不可靠的，其后的數(shù)字就沒(méi)有全部表示出來(lái)的必要。結(jié)果應(yīng)寫(xiě)成，其中“1”、“3”和“9”是可靠數(shù)字，后面“4”和“2”是反映誤差的可疑數(shù)字。一般規(guī)定，數(shù)值中的可靠數(shù)字與所保留的1位(或2位)可疑數(shù)字，統(tǒng)稱(chēng)為有效數(shù)字。測(cè)量?jī)x器與有效數(shù)字的關(guān)系測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字一方面反映了被測(cè)物理量的大小，同時(shí)也反映了測(cè)量?jī)x器的測(cè)量精度。如用米尺測(cè)得一物體的長(zhǎng)度為=(26.3±0.5)mm，最后1位數(shù)“3”是估讀出來(lái)的，是可疑數(shù)字，測(cè)量值為3位有效數(shù)字。如果同樣這個(gè)物體用游標(biāo)尺測(cè)量其長(zhǎng)度，得=(26.30±0.02)mm，是4位有效數(shù)字，測(cè)量準(zhǔn)確度要高些。測(cè)量方法與有效數(shù)字的關(guān)系有效數(shù)字位數(shù)的多少，還與測(cè)量方法有關(guān)。例如用秒表測(cè)量單擺的周期，一般其誤差為0.1s。如只測(cè)一個(gè)周期，得到；若連續(xù)測(cè)100個(gè)周期，其大小為191.2s，則周期的平均值。可見(jiàn)，由于采用了不同的測(cè)量方法，結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)也隨之變化了。3.“0”有效數(shù)字中的“0”不同于其它九個(gè)數(shù)字，“0”的位置不同，其性質(zhì)不同。要切記有效數(shù)字的位數(shù)是從第一個(gè)不為零的數(shù)字算起的，末位為“0”和數(shù)字中間出現(xiàn)的“0”都屬于有效數(shù)字。例如，10.30中的2個(gè)零，雖然其中一個(gè)處在中間，一個(gè)處在末尾，但因它們都反映了被測(cè)量的大小，故都屬于有效數(shù)字。4.有效數(shù)字的科學(xué)計(jì)數(shù)法有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)位置或單位的換算無(wú)關(guān)。如1.20m可以寫(xiě)成120cm，它仍然是三位有效數(shù)字，但不能寫(xiě)成1200mm，因?yàn)樗撬奈挥行?shù)字，它們表示的測(cè)量精度并不相同。同樣，可以1.20m可以寫(xiě)成0.00120km，不能寫(xiě)成0.0012km。因此，在有效數(shù)字作單位換算時(shí)，一般用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，即1.3.2有效數(shù)字的運(yùn)算為獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果，往往需要對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)的多少，由誤差（或不確定度）計(jì)算結(jié)果來(lái)確定。但在做誤差計(jì)算以前的測(cè)量值運(yùn)算過(guò)程中，可由有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行初步的取舍，以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。下面將分別介紹有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則。1.加減運(yùn)算幾個(gè)數(shù)相加減時(shí)，最后結(jié)果的可疑數(shù)字所占位數(shù)與參加運(yùn)算的各數(shù)值中可疑數(shù)字所占位數(shù)最高的相同。下面例題運(yùn)算過(guò)程中數(shù)字下畫(huà)線(xiàn)的是可疑數(shù)字。例1-2已知，式中A=(103.3±0.5)cm，B=(13.561±0.012)cm，C=(1.652±0.005)cm，試問(wèn)計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字?解：先觀察一下具體的運(yùn)算過(guò)程：一個(gè)數(shù)字與一個(gè)可疑數(shù)字相加或是相減，其結(jié)果必然是可疑數(shù)字。本例各數(shù)值中最先出現(xiàn)可疑數(shù)字的位置在小數(shù)點(diǎn)后第一位(即103.3)，按照運(yùn)算結(jié)果保留一位可疑數(shù)字的原則，上例的簡(jiǎn)算方法為Y=103.3＋13.6-1.7=115.2(cm)結(jié)果表示為Y=(115.2±0.5)cm，=0.5％2.乘法運(yùn)算兩個(gè)數(shù)相乘的積，其有效數(shù)字的位數(shù)與參與運(yùn)算的各數(shù)值中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個(gè)相同，但如果它們的最高位相乘的積大于或等于10，其積的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)比參與運(yùn)算的有效數(shù)字中位數(shù)最少的多一位。例1-31.1111×1.11=?試問(wèn)計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字?解：先觀察一下具體的運(yùn)算過(guò)程：見(jiàn)運(yùn)算式，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)字與一個(gè)可疑數(shù)字相乘，其結(jié)果必然是可疑數(shù)字，所以，由上面的運(yùn)算過(guò)程可見(jiàn)，小數(shù)點(diǎn)后面第二位的“3”及其以后的數(shù)字都是可疑數(shù)字。按照保留1位可疑數(shù)字的原則，計(jì)算結(jié)果應(yīng)寫(xiě)成1.23，為3位有效數(shù)字。即在此例中，5位有效數(shù)字與3位有效數(shù)字相乘，計(jì)算結(jié)果為3位有效數(shù)字。上例簡(jiǎn)化為例1-4試問(wèn)計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字?解：先觀察一下具體的運(yùn)算過(guò)程：由上面的運(yùn)算過(guò)程可見(jiàn)，小數(shù)點(diǎn)后面第一位的“9”及其以后的數(shù)字都是可疑數(shù)字。按照保留1位可疑數(shù)字的原則，計(jì)算結(jié)果應(yīng)寫(xiě)成359.9，為4位有效數(shù)字。此例中，4位有效數(shù)字與3位有效數(shù)字相乘，因?yàn)樽罡呶幌喑说姆e大于10，計(jì)算結(jié)果為4位有效數(shù)字。上例簡(jiǎn)化為3.除法運(yùn)算兩個(gè)數(shù)相除，一般情況商的有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)和被除數(shù)及除數(shù)中位數(shù)較少者的位數(shù)相同，但若被除數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)小于或等于除數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)，并且它的最高位的數(shù)小于除數(shù)的最高位的數(shù)，則商的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)比被除數(shù)少一位。例1-5解：例1-6解:4.乘方、開(kāi)方運(yùn)算乘方、開(kāi)方運(yùn)算法則和乘法運(yùn)算法則相同。如，。5.函數(shù)運(yùn)算有效數(shù)字取位規(guī)定=1\*GB2⑴、對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)運(yùn)算分兩種情況，對(duì)常用對(duì)數(shù)其運(yùn)算結(jié)果由首數(shù)和尾數(shù)構(gòu)成，規(guī)定其尾數(shù)的位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。如；對(duì)自然對(duì)數(shù)其運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。如。=2\*GB2⑵、指數(shù)運(yùn)算指數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與指數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同（包括小數(shù)點(diǎn)后的零）。例如：，小數(shù)點(diǎn)后有二位，所以，，小數(shù)點(diǎn)后有七位，則。=3\*GB2⑶、三角函數(shù)運(yùn)算通常三角函數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效位數(shù)由角度的有效數(shù)字決定。一般當(dāng)角度精確至?xí)r，三角函數(shù)可以取5位有效數(shù)字；當(dāng)角度精確至?xí)r，三角函數(shù)可以取6位有效數(shù)字；當(dāng)角度精確至?xí)r，三角函數(shù)可以取7位有效數(shù)字；當(dāng)角度精確至?xí)r，三角函數(shù)可以取8位有效數(shù)字。如，。6.常數(shù)和系數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)在運(yùn)算過(guò)程中，公式中的常數(shù)（如等）和系數(shù)（如純數(shù)2），可以認(rèn)為其有效數(shù)字是無(wú)限多的，它們的有效數(shù)字位數(shù)只要取到不降低運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)即可。如計(jì)算圓周長(zhǎng)，時(shí)，取，取參與運(yùn)算即可。7.計(jì)算的中間過(guò)程計(jì)算的中間過(guò)程，有效數(shù)字可暫保留二位可疑數(shù)字，即多保留一位有效數(shù)字，但最終計(jì)算結(jié)果仍要按前面的規(guī)定處理有效數(shù)字。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，在上述的近似計(jì)算規(guī)則中，由于具體問(wèn)題所要求的準(zhǔn)確度或采用的方法不同，可能得出具有不同