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2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若,則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.3.已知復(fù)數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.4.已知集合,集合,則()A. B. C. D.5.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.6.已知集合,則()A. B. C. D.7.函數(shù)fxA. B.C. D.8.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.9.已知向量,且,則m=()A.?8 B.?6C.6 D.810.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題11.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.212.命題“”的否定是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校為了解學生學習的情況,采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中,抽取人進行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為,那么高三被抽取的人數(shù)為_______.14.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線段之間有一觀察站點,到直線,的距離分別為8百米、1百米,則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.15.(5分)函數(shù)的定義域是____________.16.如圖所示的流程圖中,輸出的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左,右焦點分別為,,,M是橢圓E上的一個動點,且的面積的最大值為.(1)求橢圓E的標準方程,(2)若,,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,,記直線AD,BC的斜率分別為,,求證:為定值.18.(12分)設(shè)函數(shù),.(1)解不等式;(2)若對任意的實數(shù)恒成立,求的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點.以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線,從原點O作射線交于點M,點N為射線OM上的點,滿足,記點N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線C交于P,Q兩點,求的值.20.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,直線交曲線于兩點,為中點.(1)求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程;(2)若,求的值.21.(12分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財富通”,京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財產(chǎn)品的選擇情況,隨機抽取1200名使用理財產(chǎn)品的市民,按照使用理財產(chǎn)品的情況統(tǒng)計得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)(單位:名)使用“余額寶”使用“財富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財產(chǎn)品50合計1200已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.(1)求頻數(shù)分布表中,的值;(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機選取2人,假設(shè)這2人中每個人理財?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財?shù)睦⒖偤蜑?,求的分布列及?shù)學期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.22.(10分)已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調(diào)遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(3)當時,證明:對于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(注:當時,直線與曲線的交點在y軸兩側(cè)).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.2.A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過,即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到,所以.故選:A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.6.A【解析】
考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點睛】本題考查集合的交運算,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
由f12=e-14>0排除選項D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項D,f-1=-e【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及x→08.B【解析】,選B9.D【解析】
由已知向量的坐標求出的坐標,再由向量垂直的坐標運算得答案.【詳解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故選D.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算,考查向量垂直的坐標運算,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當,即時,;當,即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學生邏輯推理,分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.11.A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】由分層抽樣的知識可得,即,所以高三被抽取的人數(shù)為,應(yīng)填答案.14.【解析】
建系,將直線用方程表示出來,再用參數(shù)表示出線段的長度,最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點,所在直線分別作為軸,建立平面直角坐標系,則.設(shè)直線,即,則,所以,所以,,則,則,當時,,則單調(diào)遞減,當時,,則單調(diào)遞增,所以當時,最短,此時.故答案為:【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用,屬于中檔題.15.【解析】
要使函數(shù)有意義,則,即,解得,故函數(shù)的定義域是.16.4【解析】
根據(jù)流程圖依次運行直到,結(jié)束循環(huán),輸出n,得出結(jié)果.【詳解】由題:,,,結(jié)束循環(huán),輸出.故答案為:4【點睛】此題考查根據(jù)程序框圖運行結(jié)果求輸出值,關(guān)鍵在于準確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當M為橢圓E的上頂點或下頂點時,的面積取得最大值,求出,即可得答案;(2)根據(jù)題意可知,,因為,所以可設(shè)直線CD的方程為,將直線代入曲線的方程,利用韋達定理得到的關(guān)系,再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當M為橢圓E的上頂點或下頂點時,的面積取得最大值.所以,所以,,故橢圓E的標準方程為.(2)根據(jù)題意可知,,因為,所以可設(shè)直線CD的方程為.由,消去y可得,所以,即.直線AD的斜率,直線BC的斜率,所以,故為定值.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解、橢圓中的定值問題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意坐標法的運用.18.(1);(2)【解析】試題分析:(1)將絕對值不等式兩邊平方,化為二次不等式求解.(2)將問題化為分段函數(shù)問題,通過分類討論并根據(jù)恒成立問題的解法求解即可.試題解析:整理得解得①②解得③,且無限趨近于4,綜上的取值范圍是19.(Ⅰ)(t為參數(shù)),;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程,設(shè)N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),由題意可得,即ρ=4cosθ,然后化為普通方程;(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,得到關(guān)于t的一元二次方程,再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值.【詳解】(Ⅰ)直線l1的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))即(t為參數(shù)).設(shè)N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),則,即,即ρ=4cosθ,∴曲線C的直角坐標方程為x2-4x+y2=0(x≠0).(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,得,即,t1,t2為方程的兩個根,∴t1t2=-1,∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1.【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程,考查直角坐標方程與直角坐標方程的互化,訓練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.20.(1),;(2)或【解析】
(1)根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),可得曲線的直角坐標方程,再由,,可得點的軌跡的極坐標方程;(2)將曲線極坐標方程求,與直線極坐標方程聯(lián)立,消去,得到關(guān)于的二次方程,由的幾何意義可求出,而(1)可知,然后列方程可求出的值.【詳解】(1)曲線的直角坐標方程為,圓的圓心為,設(shè),所以,則由,即為點軌跡的極坐標方程.(2)曲線的極坐標方程為,將與曲線的極坐標方程聯(lián)立得,,設(shè),所以,,由,即,令,上述方程可化為,解得.由,所以,即或.【點睛】此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標方程與直角坐標方程的互化,利用極坐標求點的軌跡方程,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.21.(1);(2)680元.【解析】
(1)根據(jù)題意,列方程,然后求解即可(2)根據(jù)題意,計算出10000元使用“余額寶”的利息為(元)和10000元使用“財富通”的利息為(元),得到所有可能的取值為560(元),700(元),840(元),然后根據(jù)所有可能的取值,計算出相應(yīng)的概率,并列出的分布列表,然后求解數(shù)學期望即可【詳解】(1)據(jù)題意,得,所以.(2)據(jù),得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人,使用“財富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為(元).10000元使用“財富通”的利息為(元).所有可能的取值為560(元),700(元),840(元).,,.的分布列為560700840所以(元).【點睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學期望問題,屬于基礎(chǔ)題22.(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】
(1)需滿足恒成立,只需即可;(2)根據(jù)的單調(diào)性,構(gòu)造新函數(shù),并令,根據(jù)的單調(diào)性
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