云南省昆明市大可中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

云南省昆明市大可中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出下列四個(gè)命題：①命題“若x＜﹣1，則x2﹣2x﹣3＞0”的否命題為“若x＜﹣1，則x2﹣2x﹣3≤0”；②命題p：?x∈R，sinx≤1．則￢p：?x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函數(shù)y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)”的充要條件；④命題p：“?x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命題q：“設(shè)，是任意兩個(gè)向量，則“?=||||”是“∥”的充分不必要條件”，那么（￢p）∧q為真命題．其中正確的個(gè)數(shù)是(

) A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：B考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專(zhuān)題：推理和證明．分析：根據(jù)否命題的定義，可判斷①；根據(jù)全稱(chēng)命題的否定方法，可判斷②；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及充要條件的定義，可判斷③；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及向量數(shù)量積的定義，可判斷④．解答： 解：①命題“若x＜﹣1，則x2﹣2x﹣3＞0”的否命題為“若x≥﹣1，則x2﹣2x﹣3≤0”，故錯(cuò)誤；②命題p：?x∈R，sinx≤1．則￢p：?x0∈R，使sinx0＞1，故正確；③若函數(shù)y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)，則sin（﹣2x+φ）=sin[π﹣（﹣2x+φ）]=sin（2x+π﹣φ）=sin（2x+φ）恒成立，則2φ﹣π=2kπ（k∈Z），即φ=+kπ（k∈Z），反之當(dāng)φ=+kπ（k∈Z）時(shí)，y=sin（2x+φ）=cos2x或y=sin（2x+φ）=﹣cos2x是偶函數(shù)，故“φ=+kπ（k∈Z）”是“函數(shù)y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)”的充要條件，故正確；④∵sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，?[﹣，]，故命題p：“?x0∈R，使sinx0+cosx0=”為假命題；若?=||||，則向量，同向，故命題q：“設(shè)，是任意兩個(gè)向量，則“?=||||”是“∥”的充分不必要條件”為真命題，那么（￢p）∧q為真命題．綜上正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，本題綜合性強(qiáng)，難度中檔．2.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖1所示，則的圖象最有可能的是參考答案：C略3.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿(mǎn)足，且，則不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A.(－1,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(－∞,0)參考答案：B令所以,選B.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等4.△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，則角B的范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】余弦定理；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】設(shè)出三角形的三邊分別為a，b，c，由三邊成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根據(jù)B的范圍及余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)即可得到B的范圍．【解答】解：設(shè)三角形的三邊分別為a，b，c，由三邊成等差數(shù)列可知：b=，由余弦定理得：cosB===≥=，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，又B∈（0，π），且余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)，所以B∈（0，]．故選：A．5.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A﹣BCD．則在三棱錐A﹣BCD中，下列命題正確的是(

)A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC參考答案：D【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定．【專(zhuān)題】證明題．【分析】由題意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定，考查邏輯思維能力，是中檔題．6.已知圓的方程為x2+y2﹣8x+15=0，若直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最小值是（） A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓． 【分析】圓C的圓心為C（4，0），半徑r=1，從而得到點(diǎn)C到直線y=kx+2的距離小于或等于2，由此能求出k的最小值． 【解答】解：∵圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0， ∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，∴圓心為C（4，0），半徑r=1． 又∵直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)， ∴點(diǎn)C到直線y=kx+2的距離小于或等于2， ∴≤2， 化簡(jiǎn)得：3k2+4k≤0，解之得﹣≤k≤0，∴k的最小值是﹣． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與圓相交的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 7.若a＞b，c∈R，則下列命題中成立的是（）A．a(chǎn)c＞bc B．＞1 C．a(chǎn)c2≥bc2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【分析】觀察四個(gè)選項(xiàng)，本題是考查等式與不等關(guān)系的題目，由不等式的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行研究得出正解答案即可．【解答】解：A選項(xiàng)不對(duì)，由于c的符號(hào)不知，當(dāng)c＜0時(shí)，此不等式不成立；B選項(xiàng)不正確，當(dāng)b＜0＜a時(shí)，此不等式無(wú)意義；C選項(xiàng)是正確的，因?yàn)閏2≥0，故ac2≥bc2；D選項(xiàng)不正確，當(dāng)當(dāng)b＜0＜a時(shí)，此不等式無(wú)意義；故選C8.按流程圖的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的值為，則輸出的的值是（

）A．

B.

C．

D．參考答案：D9.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿(mǎn)足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則的最小值是（

） A．8

B．

C．10

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則_________.參考答案：【分析】先求出復(fù)數(shù)，再求模.【詳解】由得，則.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶——《九章算術(shù)》中涉及到一種非常獨(dú)特的幾何體——鱉擩，它是指四面皆為直角三角形的四面體.現(xiàn)有四面體ABCD為一個(gè)鱉擩，已知AB⊥平面BCD，，若該鱉擩的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為

．參考答案：

7π13.若關(guān)于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），則m=．參考答案：2考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：由二次不等式的解集形式，判斷出1，m是相應(yīng)方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理求出m的值．解答：解：∵ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），，∴a＞0，1，m是相應(yīng)方程ax2﹣6x+a2＜0的兩根，解得m=2；故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次不等式的解法，及三個(gè)二次之間的關(guān)系，其中根據(jù)三個(gè)二次之間的關(guān)系求出a的值，是解答本題的關(guān)鍵．14.空間四邊形OABC中，E、F分別是對(duì)角線OB、AC的中點(diǎn)，若，，，則________________________；參考答案：15.過(guò)點(diǎn)A(1,－1)與B(－1，1)且圓心在直線x+y－2=0上的圓的方程為_(kāi)_________．參考答案：略16.已知x＞0,由不等式……，啟發(fā)我們可以得出推廣結(jié)論：

.參考答案：略17.若x＞0，y＞0，且+=1，則x+3y的最小值為

；則xy的最小值為

．參考答案：16，12

【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)和“乘1法”即可得出．【解答】解：∵x，y＞0，且+=1，∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，當(dāng)且僅當(dāng)=即x==y取等號(hào)．因此x+3y的最小值為16．∵x＞0，y＞0，且+=1，∴1≥2，化為xy≥12，當(dāng)且僅當(dāng)y=3x時(shí)取等號(hào)．則xy的最小值為12．故答案為：16，12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=，AD=4，AM=2，E是AB的中點(diǎn)（1）求證：平面MDE⊥平面NDC（2）求三棱錐N﹣MDC的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出DE⊥CD，ND⊥AD，從而ND⊥DE，進(jìn)而DE⊥平面NDC，由此能證明平面MAE⊥平面NDC．（2）由VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC，能求出三棱錐N﹣MDC的體積．【解答】證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=，∴△ABD為等邊三角形，E為AB中點(diǎn)，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，∵DE?平面MDE，∴平面MAE⊥平面NDC．解：（2）∵M(jìn)A∥ND，∴MA∥平面NDC，∴ME∥平面NDC，∴平面MAE∥平面NDC，∴ME∥平面NDC，∴VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC，由（1）知DE⊥AB，∠DAE=，∵DA=4，AE=2，∴DE=2，∴三棱錐N﹣MDC的體積VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.（本小題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）原不等式等價(jià)于或…3分解，得即不等式的解集為

………………5分（Ⅱ）

………………8分

。

………………10分20.如圖，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，，，，，點(diǎn)P在線段DF上.（1）求證：AF⊥平面ABCD；（2）若二面角的余弦值為，求PF的長(zhǎng)度.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）先證明，又平面平面，即得平面；（2）以為原點(diǎn)，以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解方程即得解.【詳解】（1）證明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）以為原點(diǎn)，以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，由題知，平面，∴為平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴，令，可得，∴，得或（舍去），∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間垂直關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21.（本小題滿(mǎn)分13分）已知拋物線:的焦點(diǎn)為,、是拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)、處的切線分別為、，且，與相交于點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

(2)證明：、、三點(diǎn)共線；參考答案：∴直線的方程為,直線的方程為.由

解得∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

…6分(2)證法1：∵為拋物線的焦點(diǎn)，∴.

∴直線的斜率為，

直線的斜率為.∵

…9分

∴.∴、、三點(diǎn)共線.

…13分證法2：∵為拋物線的焦點(diǎn)，

∴.∴，

.∵,

…9分∴.∴、、三點(diǎn)共線.

…13分略22.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60° （I）求證：PB⊥AD； （II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值． 參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】空間位置關(guān)系與距離；空間角． 【分析】（Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD．證明AD⊥平面PBE，然后證明PB⊥AD； （Ⅱ）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面APD的一個(gè)法向量為=（0，1，0），平面PDC的一個(gè)法向量為，利用向量的數(shù)量積求解二面角A﹣PD﹣C的余弦值． 【解答】（Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD． ∵PA=PD=DA，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°， ∴△PAD和△ABD為兩個(gè)全等的等邊三角形， 則PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分） 又PB?平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分） （Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，則PB2=PE2+BE2， ∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD； 以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP所在直線