2015年高考北京理科數(shù)學試題解析

.2015年一般高等學校招生全國一致考試（北京卷）數(shù)學（理科）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的四個選項中，選出切合題目要求的一項．（1）【2015年北京，理1】復數(shù)i2i（）（A）12i（B）12i（C）12i（D）12i【答案】A【分析】i2i2ii212i，應選A．xy0，（2）【2015年北京，理2】若x，y知足xy1，則zx2y的最大值為（）x0，（A）0（B）1（C）3（D）2【答案】D2【分析】如圖，當x0y1，zmax2，應選D．（3）【2015年北京，理3】履行以下圖的程序框圖，輸出的結果為（）（A）2，2（B）4，0（C）4，4（D）0，8【答案】Bs0t2x0y2k1【分析】s2t2x2y2k2，結束，輸出(4,0)，應選B．s4t0x4y0k3（4）【2015年北京，理4】設，是兩個不一樣的平面，m是直線且m?．“m∥”是“∥”的（）A）充分而不用要條件（B）必需而不充分條件（C）充分必需條件（D）既不充分也不用要條件【答案】B【分析】m//不可以推出//，而//，m//，“m//”是“//”的必需不充分條件，應選B．（5）【2015年北京，理5】某三棱錐的三視圖以下圖，則該三棱錐的表面積是（）（A）25（B）45（C）225（D）5【答案】C【分析】由三視圖知，PA面ABC，SVABC122，ABAC5，22SVPABSVPCA1515,PCPB6，SVPBC1255，S225，應選C．222（6）【2015年北京，理6】設an是等差數(shù)列.以下結論中正確的選項是（）（A）若a1a20，則a2a30（B）若a1a30，則a1a20（C）若0a1a2，則a2a1a3（D）若a10，則a2a1a2a30【答案】C【分析】a2a10，d0，因此a30，a2a1a3a1a3，應選C．2（7）【2015年北京，理7】如圖，函數(shù)fx的圖象為折線ACB，則不等式fx≥log2x1的解集是（）...（A）x|1x≤0（B）x|1≤x≤1（C）x|1x≤1（D）x|1x≤2【答案】C2x2-1x01,0時，log2(x1)02x2．x0,2時，f(x)單一【分析】由題可知：f(x)，當xx20x2遞減，g(x)log2(x1)單一遞加，log2(x1)x2x1當0x1時，log2(x1)x2，f(x)log2(x1)的解集為1,1，應選C．（8）【2015年北京，理8】汽車的“燃油效率”是指汽車每耗費1升汽油行駛的里程，以下圖描繪了甲、乙、丙三輛汽車在不一樣速度下的燃油效率狀況.以下表達中正確的是（）（A）耗費1升汽油，乙車最多可行駛5千米（B）以同樣速度行駛同樣行程，三輛車中，甲車耗費汽油最多（C）甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，耗費10升汽油D）某城市靈活車最高限速80千米/小時.同樣條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【分析】由圖可知，對乙車存在一個速度，使燃油效率高于5，A錯；由圖知，當以40km/h的速度行駛時，甲車燃油效率最高，行駛同樣行程時，耗油最少，B錯；甲車以80km/h行駛1小時耗油8升，故C錯在限速80km/h，同樣狀況下，丙車燃油效率較乙車高，因此乙車更省油，應選D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：共6小題，每題5分，共30分。（9）【2015年北京，理9】在25x3的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）x的睜開式中，【答案】40【分析】Tr1C5r25rxr，當r3時，系數(shù)為C532245440．x22（10）【2015年北京，理10】已知雙曲線y21a0的一條漸近線為3xy0，則a．a(chǎn)2【答案】33【分析】令x2y2x130y0，因此3a2a．a(chǎn)a3（11）【2015年北京，理11】在極坐標系中，點2?π到直線cos3sin6的距離為______．3【答案】1【分析】直線方程為x3y6x3y60，點為(1,3)，因此點到直線方程的距離為d1362．1312（12）【2015年北京，理12】在△ABC中，a4，b5，c6，則sin2A．【答案】1sinC【分析】sin2A2sinAcosA2ab2c2a24253616901．sinCsinCc2bc630uuuur90uuuuruuuruuur（13）【2015年北京，理13】在△ABC中，點M，N知足AM2MC，BNNC．若uuuuruuuruuur；y_______．MNxAByAC，則x【答案】x1，y1261uuur1uuur1uuur1uuur1uuuruuuuruuuuruuur1uuuruuur11．【分析】MNMCCNACCBAC(ABAC)2ABAC，因此x,y6323262...（14）【2015年北京，理14】設函數(shù)fx2xa?x1?①若a1，則fx的最小值為②4xax2a?x≥1.；若fx恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】f(x)min1；a1,12,．2【分析】①當a1時，f(x)2x1,x1，4(x1)(x2),x1x1時，1f(x)1，x1時，f(x)minf(3)41(1)1，因此f(x)min1；②（Ⅰ）當a0時，f(x)沒有兩個零點，222（Ⅱ）當0a1時，x1時，2xa0xlog2a0，f(x)有一個零點；x1時，f(x)0x1a,x22a；當2a1，即a1時，f(x)恰有兩個零點，因此當1a1時，f(x)恰有兩個零點；22（Ⅲ）當1a2時，x1時，2xa0xlog2a1，f(x)有一個零點；x1時，f(x)0x1a，x22a，f(x)有兩個零點，此時f(x)有三個零點；（Ⅳ）當a2時，x1時，無零點；x≥1時，有兩個零點，此時f(x)有兩個零點．綜上所述a12,．,12三、解答題：共6題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（15）【2015年北京，理15】（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)2sinxcosx2sin2x．222（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[π，0]上的最小值．解：（Ⅰ）f(x)22(1cosx)222sin(x)2，周期T2．sinx2sinxcosx22222241（Ⅱ）Qx03x441sin(x)212f(x)0最小值為12．44222（16）【2015年北京，理16】（本小題滿分13分）A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的痊愈時間（單位：天）記錄以下：組：10，11，12，13，14，15，16B組：12，13，15，16，17，14，a假定全部病人的痊愈時間相互獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．（Ⅰ）求甲的痊愈時間許多于14天的概率；（Ⅱ）假如a25，求甲的痊愈時間比乙的痊愈時間長的概率；（Ⅲ）當a為什么值時，A，B兩組病人痊愈時間的方差相等？（結論不要求證明）解：（Ⅰ）記甲痊愈時間不小于14天為事件A．則P(A)3，因此甲痊愈時間不小于14天的概率為3．（Ⅱ）記甲的痊愈時間比乙的痊愈時間長為事件B．77基本領件空間以下表乙10111213141516甲12短短短長長長長13短短短短長長長14短短短短短長長15短短短短短短長...16短短短短短短短17短短短短短短短25短短短短短短短因此P(B)1010．7749（Ⅲ）a11或a18因為A組為公差為1的等差數(shù)列，因此當a11或a18時B組也為公差為1的等差數(shù)列，因此方差必定相等，而方差相等的方程是對于a的一個一元二次方程，故最多有兩個解，因此只有a11或a18兩個值．（17）【2015年北京，理17】（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐AEFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EF∥BC，BC4，EF2a，EBCFCB60，為EF的中點．（Ⅰ）求證：AOBE；（Ⅱ）求二面角FAEB的余弦值；（Ⅲ）若BE平面AOC，求a的值．解：（Ⅰ）證明：QAEF為等邊三角形，O為EF中點，AO⊥EF又Q平面AEF⊥平面EFCB，平面AEFI平面EFCBEF，AO⊥平面EFCB，AO⊥BE。（Ⅱ）以O為原點成立如圖坐標系Ea,0,0，F(xiàn)a,0,0，A0,0,3a，B2,32a,0，EAa,0,3a，EB2a,32a,0平面AEF的法向量m0,1,0；設平面AEB的法向量nx,y,z，nEA0x3z03,1,1則x，取n，nEB03y0cosm,nmn15，155mn又Q二面角FAEB為鈍角，二面角FAEB的余弦值為5．5（Ⅲ）QBE⊥平面AOC，BE⊥OC，OC2,32a,0，BEOC22a32a32a0，解得a24（舍）或a．ln1x．3（18）【2015年北京，理18】（本小題滿分13分）已知函數(shù)fx1x（Ⅰ）求曲線yfx在點0，f0處的切線方程；（Ⅱ）求證：當x0，1時，fx2xx3；33（Ⅲ）設實數(shù)k使得fxkxx對x0，1恒成立，求k的最大值．3解：（Ⅰ）f(x)ln(1x)ln(1x)，f(x)1111又f(x)0，1x1x1x1x因此，切線方程為y02(x0)，即y2x．（Ⅱ）F(x)f(x)23ln(1x)ln(1x)2x23，2xx3x32x2)(1x2)2x4F(x)1x122x22(1x2)22(1，11x(1x)(1x)1x21x2又因為0x10，因此F(x)在(0,1)上是增函數(shù)，，因此F(x)...又F(0)0，故F(x)F(0)，因此f(x)k(x＋x3)．3321x1xk(xx(0,1)，設t(x)x0,x(0,1)，（Ⅲ）lnx),xlnk(x)1341x322kt(x)2kxx(0,1)，k[0,2]，1x2k(1x)x21t(x)0，函數(shù)t(x)是單一遞加，t(x)t(0)明顯成立。當k2時，令t(x)0t(x)4k20，得x0(0,1)，kx(0,x0)x0(x0,1)t(x)—0+t(x)極值t(x0)t(0)0，明顯不可立，由此可知k最大值為2．（19）【2015年北京，理19】（本小題滿分14分）已知橢圓C：x2y2221aab和點Am，nm≠0都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M．（Ⅰ）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）；（Ⅱ）設O為原點，點B與點A對于x軸對稱，直線PB交x軸于點N

b0的離心率為2，點P0，12．問：y軸上能否存在點Q，使得OQMONQ？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明原因．解：（Ⅰ）由題意知b1，c2，又a2b2c2，解得a2,bc1，a2因此C的方程為x2y21．PA的斜率kPAn1，因此PA方程2myn1x1，令y0，解得xmn，因此M1m,0．m1n（Ⅱ）Bm,n，同（Ⅰ）可得Nm,0，tanOQM1，1nkQMtt2m2tanONQkQN，因為OQMONQ因此kQNkQM1，設Qt,0則即t，11n2mm上，因此m2m21n1n又A在橢圓Cn21，即22，因此t2，故存在Q2,0使得OQMONQ．21n（20）【2015年北京，理20】（此題滿分13分）已知數(shù)列an知足：a1N*，a1≤36，且2an，an≤18，n1，2，，記會合Man|nN*．a(chǎn)n136，an182an（Ⅰ）若a16，寫出會合M的全部元素；（Ⅱ）若會合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的全部元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求會合M的元素個數(shù)的最大值．解：（Ⅰ）6，12，24．（Ⅱ）若存在*i(i1,2,,)是3的倍數(shù)，設ai3k(kN)，aLn當ai≤18時，ai12ai6k，ai1也是3的倍數(shù)；當ai18時，ai12ai366k36，ai1也是3的倍數(shù)．綜上，ai1是3的倍數(shù)，挨次類推，當n≥i時，an是3的倍數(shù)；若存在i(i2,3,L,)是3的倍數(shù)，設ai3k(kN*)，an當ai1≤18時，ai1ai3k，因為ai1N*，因此ai1也是3的倍數(shù)；22...當ai18ai363(k*，因此ai1也是3的倍數(shù)；．時，ai126)，因為ai1N2ni時，an是3的倍數(shù)；因此原結論成立．綜上，ai1是3的倍數(shù)，挨次類推，當（Ⅲ）當2an,an≤1811a(n1,2,L)，a1時，將a1代入n12an36,an18挨次獲得2，4，8，16，32，28，20，4，L因此當n