第二 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

會計學(xué)1第二連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解二、關(guān)于0-和0+值三、零輸入響應(yīng)四、零狀態(tài)響應(yīng)五、全響應(yīng)第1頁/共38頁其經(jīng)典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）齊次解是齊次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。齊次解yh(t)的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)一、微分方程的經(jīng)典解第2頁/共38頁表2－1不同特征根所對應(yīng)的齊次解特征根齊次解yh(t)單實根et？？r重實根(Cr-1tr-1+Cr-2tr-2+…C1t1+C0)et一對共軛復(fù)根1,2=jet[Ccos(t)+Dsin(t)]或Acos(t-)其中Aej=C+jDr重共軛復(fù)根[Ar-1tr-1cos(t+r-1)+Ar-2tr-2cos(t+r-2)+…+A0

cos(t+0)]et齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；第3頁/共38頁特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為強迫響應(yīng)。問：若f(t)=c（常數(shù)），特解形式？？第4頁/共38頁解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齊次解為yh(t)=C1e–2t+C2e–3t？？因為f(t)=2e–t，故其特解可設(shè)為yp(t)=Pe–t將其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t

解得P=1于是特解為yp(t)=e–t例描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）當(dāng)f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時的全解；（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。第5頁/共38頁其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0全解為：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t

注意：自由響應(yīng)的系數(shù)Cj由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵信號共同來確定

自由響應(yīng)強迫響應(yīng)第6頁/共38頁解：齊次解同上。由于f(t)=e–2t，其指數(shù)與特征根之一相重。故其特解可設(shè)為yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得P1e-2t=e–2t所以P1=1但P0不能求得。全解為y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解為y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0注：上式第一項的系數(shù)C1+P0=2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)。（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。第7頁/共38頁二、關(guān)于0-和0+值在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關(guān)。稱這些值為初始狀態(tài)或起始值。為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。若輸入f(t)是在t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci時用t=0+時刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。第8頁/共38頁解：將輸入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）由于上式對于所有t都成立，等號兩端δ(t)項的系數(shù)應(yīng)相等。由于等號右端為2δ(t)，故y”(t)應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而y’(t)在t=0處將發(fā)生躍變，即y’(0+)≠y’(0-)。但y’(t)不含沖激函數(shù)，否則y”(t)將含有δ’(t)項。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0處是連續(xù)的。故y(0+)=y(0-)=2例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。第9頁/共38頁由于積分在無窮小區(qū)間[0-，0+]進行的，且y(t)在t=0連續(xù)，故對式(1)兩端積分有于是由上式得[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-)]=2因為y(0+)=y(0-)=2，所以y’(0+)–y’(0-)=2，y’(0+)=y’(0-)+2=2由上可見，當(dāng)微分方程等號右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變。第10頁/共38頁三、零輸入響應(yīng)y(t)=yzs(t)+yzi(t)。零輸入響應(yīng)，對應(yīng)的輸入為零，所以方程為y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)＝0若其特征根都為單根，則零輸入響應(yīng)為：由于激勵為零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),(j=0,1,…,n-1)第11頁/共38頁四、零狀態(tài)響應(yīng)方程仍為y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)對于零狀態(tài)響應(yīng)，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應(yīng)有yzs(j)(0-)=0；若微分方程的特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng)為Czsj

為待定系數(shù)，yp(t)為方程的特解第12頁/共38頁解：（1）零輸入響應(yīng)yzi(t)激勵為0，故yzi(t)滿足yzi”(t)+3yzi’(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=0該齊次方程的特征根為–1，–2，故yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t代入初始值并解得系數(shù)為Czi1=4,Czi2=–2，代入得yzi(t)=4e–t–2e–2t,t>0例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。注意此時系數(shù)C的求法！第13頁/共38頁yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)并有yzs(0-)=yzs’(0-)=0由于上式等號右端含有δ(t)，故yzs”(t)含有δ(t)，從而yzs’(t)躍變，即yzs’(0+)≠yzs’(0-)，而yzs(t)在t=0連續(xù)，即yzs(0+)=yzs(0-)=0，積分得（2）零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)滿足因此，yzs’(0+)=2＋yzs’(0-)=2對t>0時，有yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6不難求得其齊次解為Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解為常數(shù)3，于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0第14頁/共38頁五、全響應(yīng)如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，在激勵f(t)的作用下，LTI系統(tǒng)的響應(yīng)稱為全響應(yīng)，它是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和，即

y(t)=yzi(t)+yzs(t)第15頁/共38頁雖然自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊次方程的解，但兩者的系數(shù)各不相同，czij僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所決定，而cj由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵信號共同來確定。也就是說，自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)的全部和零狀態(tài)響應(yīng)的一部分。討論第16頁/共38頁2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]例1描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t),求其沖激響應(yīng)h(t)。解：根據(jù)h(t)的定義有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。第17頁/共38頁h(t)在t=0連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得因方程右端有δ(t)，故利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，考慮h(0+)=h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1對t>0時，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1,所以h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)第18頁/共38頁解根據(jù)h(t)的定義有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h(t)=aδ(t)+p1(t)[p1(t)為不含δ(t)的某函數(shù)]h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)代入式(1)，有例2描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。第19頁/共38頁整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系數(shù)匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+p1(t)（2）h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+p2(t)（3）h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+p3(t)（4）對式(3)從0-到0+積分得h(0+)–h(0-)=–3對式(4)從0-到0+積分得h’(0+)–h’(0-)=12aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)]+6[aδ(t)+p1(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)第20頁/共38頁微分方程的特征根為–2，–3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=C1e–2t+C2e–3t

，t>0代入初始條件h(0+)=–3，h’(0+)=12求得C1=3，C2=–6,所以h(t)=3e–2t–6e–3t,t>0結(jié)合式(2)得h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)對t>0時，有h”(t)+6h’(t)+5h(t)=0故h(0+)=–3，h’(0+)=12第21頁/共38頁沖激響應(yīng)示意圖

{x(0)}={0}第22頁/共38頁二、階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)示意圖*階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù)(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如下圖所示。線性非時變系統(tǒng)g(t){x(0)}＝{0}01t(t)g(t)0t(t)用g(t)表示階躍響應(yīng)第23頁/共38頁如果描述系統(tǒng)的微分方程是式y(tǒng)(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t)，當(dāng)f(t)=(t)時，有式（1）的特解為其初始值為:注：除g(n)(t)外？？第24頁/共38頁y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)若微分方程的特征根λi(i=1，2，…，n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(n≥m)為

若描述系統(tǒng)的微分方程是式可根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微積分特性求出階躍響應(yīng)：第25頁/共38頁解：系統(tǒng)的微分方程設(shè)圖中右端積分器的輸出為x(t)，則其輸入為x’(t)，左端積分器的輸入為x’’(t)。左端加法器的輸出為

x’’(t)＝-3x’(t)-2x(t)+f(t)即x’’(t)+3x’(t)+2x(t)＝f(t)例2.2-3如圖2.2-3所示的LTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)y(t)－++f(t)--2312

x’’(t)

x’(t)

x(t)第26頁/共38頁右端加法器的輸出為

y(t)=-x’(t)+2x(t)x’’(t)+3x’(t)+2x(t)＝f(t);（1）y(t)=-x’(t)+2x(t)（2）階躍響應(yīng)若設(shè)（1）式所述系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為gx(t),則有

g(t)=-g’x(t)+2gx(t)第27頁/共38頁gx(t)滿足方程

gx’’(t)+3gx’(t)+2gx(t)＝(t)gx(0_)=g’x(0_)=0其特征根1＝－1；2＝－2，其特解為0.5，于是得

gx(t)＝(C1e-t+C2e-2t+0.5)(t)初始值為gx(0＋)=g’x(0＋)=0，代入上式得

gx(0＋)=C1+C2+0.5=0;g’x(0＋)=-C1-2C2=0解得

C1＝-1；C2＝0.5第28頁/共38頁所以，gx(t)＝(-e-t+0.5e-2t+0.5)(t)求出g’x(t)，代入g(t)=-g’x(t)+2gx(t)得

g(t)=-g’x(t)+2gx(t)＝(-3e-t+2e-2t+1)(t)解法二：由（1）、（2）式求得系統(tǒng)的微分方程為：y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=-f’(t)+2f(t)當(dāng)f(t)=(t)時，有先求h’(0+)和h(0+)第29頁/共38頁令：由（4）式從0-到0+積分得將上三式代入（3）式得由（5）式從0-到0+積分得第30頁/共38頁可以求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=(3e-t-4e-2t)(t)當(dāng)t>0,有所以由第31頁/共38頁2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解(1)預(yù)備知識問f1(t)=?p(t)第32頁/共38頁