等腰三角形的性質(zhì)東直門中學(xué)王偉

會計(jì)學(xué)1等腰三角形的性質(zhì)東直門中學(xué)王偉

等腰三角形本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.3第1頁/共22頁動腦筋如圖,把一張長方形紙片按圖中的虛線對折,

AC和AB有什么關(guān)系?這個(gè)三角形有什么特點(diǎn)?然后沿著虛線剪去一部分,再把它展開,得△ABC.第2頁/共22頁說一說定義：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

邊：等腰三角形中,相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊.角：等腰三角形中,兩腰的夾角叫做頂角，

腰和底邊的夾角叫做底角.第3頁/共22頁探究任意畫一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖,作△ABC關(guān)于頂角平分線AD

所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點(diǎn)B的像是點(diǎn)C，點(diǎn)C的像是點(diǎn)

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關(guān)于直線

對稱.ABABBAD第4頁/共22頁探究由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D,因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC,射線DA的像是射線

,因此∠BDA=∠CDA=

°,從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA,射線BC的像是射線

,因此∠B

∠C.DC中點(diǎn)DA90高CB=第5頁/共22頁結(jié)論等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線.第6頁/共22頁結(jié)論等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）．在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等邊對等角）幾何語言：第7頁/共22頁結(jié)論等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）．在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在BC上1、∵AD⊥BC∴∠

=∠

，

=

.

2、∵AD是中線，∴

⊥

，∠

=∠

.3、∵AD是角平分線，∴

⊥

，

=

.幾何語言：BADCADBDCDBDCDBADCADADBCADBC第8頁/共22頁做一做在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△

ABC各角的度數(shù).

解：∵在△ABC中，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∵在△ABD中，BD=AD

∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD,

即∠BDC=2∠A

∵在△BDC中，BD=BC

∴∠BDC=∠BCD,

∠A+2∠ACB=180°

即∠A+4∠A=180°

∴∠A=36°

∠ABC=∠BCA=2∠A=72°第9頁/共22頁如圖（1）在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°,則∠B=,∠C=

.變式練習(xí)：1、如圖（2）在等腰△ABC中，∠A=50°,則∠B=

，∠C=.2、如圖（3）在等腰△ABC中，∠A=120°則∠B=

，∠C=

.做一做72°72°65°65°30°30°第10頁/共22頁想一想如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關(guān)系呢？因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB＝BC＝AC,從而∠C＝∠A＝∠B．由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A＝∠B＝∠C＝60°．第11頁/共22頁等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60°.結(jié)論由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線.第12頁/共22頁舉例例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D.求證：∠DBC=∠A.第13頁/共22頁舉例F作AF⊥BC于F

∵AB=AC

AF⊥BC

∴∠CAF=∠BAF=∠BAC

∵AF⊥BC

BD⊥AC

∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90°

∴∠DBC=∠CAF

∴∠DBC=∠BAC解題規(guī)律：在等腰三角形中，做頂角平分線或作底邊上高或作底邊上中線是一種常用的輔助線.第14頁/共22頁舉例例2

已知：如圖,在△ABC

中,

AB=AC,點(diǎn)D,

E在邊BC上,且AD=AE.求證：BD=CE.證明：作AF⊥BC,垂足為點(diǎn)F,則AF

是等腰三角形ABC

和等腰三角

形ADE

底邊上的高,也是底邊

上的中線.∴BF=CF，

DF=EF，∴BF

－DF=CF

－EF，即BD=CE.第15頁/共22頁如圖

的三角測平架中,AB=AC,在BC的中點(diǎn)D掛一個(gè)重錘,自然下垂,調(diào)整架身,使點(diǎn)A恰好在鉛垂線上．(1)

AD與BC是否垂直,試說明理由;(2)這時(shí)BC處于水平位置,為什么?議一議第16頁/共22頁小結(jié)與復(fù)習(xí)本節(jié)課你學(xué)習(xí)了等腰三角形的哪些重要性質(zhì)?第17頁/共22頁中考試題例

已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).第18頁/共22頁證明：∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=900∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450∠CAD=∠CBD=450∴∠CAE=∠BCG又BF⊥CE∴∠CBG+∠BCF=900又∠ACE+∠BCF=900∴∠ACE=∠CBG又AC=BC，∴△AEC≌△CGB（ASA)∴AE=CG中考試題（1）直線BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖①），求證：AE=CG；第19頁/共22頁（2）直線AH垂直CE,垂足為H,交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖②）,找出圖中與BE相等的線段,并說明.求證:BE=