邊緣分布與條件分布

會計學1邊緣分布與條件分布二維隨機變量

(X,Y)作為一個整體,具有分布函數(shù)而

和

都是隨機變量

,也有各自的分布函數(shù),變量(X,Y)關于X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機一、邊緣分布函數(shù)分別記為關系式:記?。旱?頁/共46頁一般地，對二維離散型隨機變量

(X,Y)，

(X,Y)關于X的邊緣分布律（即X的分布律）為:X和Y的聯(lián)合分布律為：二、二維離散型隨機變量(X,Y)的邊緣分布律第2頁/共46頁(X,Y)關于Y的邊緣分布律（即Y的分布律）為:

二維離散型隨機變量關于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為:第3頁/共46頁

我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.第4頁/共46頁例1

已知下列分布律求其邊緣分布律.第5頁/共46頁解注意聯(lián)合分布邊緣分布第6頁/共46頁例2

已知下列分布律求其邊緣分布律.第7頁/共46頁第8頁/共46頁例3

設隨機變量且滿足P{X1X2=0}=1，求（1）(X1,X2)的聯(lián)合概率分布；（2）P{X1<X2}；（3）P{X1=X2}。第9頁/共46頁

二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的邊緣概率密度即X,Y各自的概率密度,分別記為：三、二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的邊緣概率密度第10頁/共46頁同理由可得關于Y的邊緣概率密度記?。旱?1頁/共46頁解例3第12頁/共46頁第13頁/共46頁第14頁/共46頁

注

在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分.當聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，應特別注意所求邊緣密度應如何分段以及積分限應如何選取.第15頁/共46頁上的均勻分布，例4

設(X,Y)服從求X及Y邊緣概率密度。解（X，Y）的概率密度為先計算第16頁/共46頁注二維均勻分布的邊緣分布也為均勻分布。第17頁/共46頁例5

試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度.解因為所以第18頁/共46頁則有同理第19頁/共46頁

注

二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù).由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.

也就是說,對于給定的不同的對應不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明例5

試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度.第20頁/共46頁四、課堂練習

設(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關于X和Y的邊緣概率密度.第21頁/共46頁解暫時固定當時,當時,故暫時固定第22頁/共46頁暫時固定暫時固定當時,當時,故第23頁/共46頁第三節(jié)條件分布離散型隨機變量的條件分布連續(xù)型隨機變量的條件分布課堂練習第24頁/共46頁

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機變量

設有兩個隨機變量X,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這種分布就是條件分布.第25頁/共46頁

例如，考慮某大學的全體學生，從其中隨機抽取一個學生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布第26頁/共46頁

現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學生中求其體重的分布.

容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會不一樣.

例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.第27頁/共46頁一、二維離散型隨機變量的條件分布

實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復.

定義1

設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj}=，i=1,2,…

作為條件的那個隨機變量,認為取值是給定的，在此條件下求另一隨機變量的概率分布.第28頁/共46頁類似地可定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.P{Y=yj|X=xi}=j=1,2,…對于固定的i,當P{X=xi

}>0時，稱為在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.P{X=xi|Y=yj}，i=1,2,…P{Y=yj|X=xi}，j=1,2,…第29頁/共46頁

條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質.正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質一樣.例如：i=1,2,…第30頁/共46頁例1第31頁/共46頁解由上述分布律的表格可得第32頁/共46頁第33頁/共46頁二、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布

設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，由于對任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能象離散的一樣直接用條件概率公式定義條件分布，要用到極限的方法，下面我們直接給出條件概率密度的計算公式.第34頁/共46頁

則稱為在的條件下

的條件概率密度.若對于固定的

,

設X和Y的聯(lián)合概率密度為

關于的邊緣概率密度為,記為稱為在的條件下,

的條件分布函數(shù).記為定義2第35頁/共46頁即類似地,可以定義在的條件下Y的條件概率密度以及條件分布函數(shù)第36頁/共46頁

例2

設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解X的邊緣密度為第37頁/共46頁

由于當|x|≥1時,只有當|x|<1時,才有故只有當x?。?1,1）中的固定值時，才有第38頁/共46頁即當|x|<1時,有X的取值x已知，即x是固定常數(shù)這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度注二維均勻分布的條件分布仍為均勻分布。注二維正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布。第39頁/共46頁

三、課堂練習1.對于二維正態(tài)分布，在已知

X=x條件下，求Y的條件分布.2.設(X,Y)的概率密度是求.第40頁/共46頁1.對于二維正態(tài)分布，在已知

X=x條件下，求Y的條件分布.解設則其概率密度為X的邊緣密度為第41頁/共46頁在

X=x條件下，Y的條件概率密度為第42頁/共46頁例3.設(X,Y)的概率密度是求.