七、空間幾何體中的軌跡問題高中數(shù)學解題妙法

七、空間幾何體中的軌跡問題本內(nèi)容主要研究空間幾何體中的軌跡問題.在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點處設(shè)計試題是這幾年高考命題改革的一大趨勢.而以空間圖形為素材的軌跡問題，由于具有其獨特的新穎性、綜合性與交匯性，所以倍受命題者的親睞，但由于這類題目涵蓋的知識點多，創(chuàng)新能力與數(shù)學思想方法要求高，而且這些題目遠看象“立幾”近看象“解幾”.空間幾何體中的軌跡問題包括判斷軌跡的類型問題以及求軌跡中的長度、面積與體積問題.例：在正方體ABCD-A1B1C1D1的面AB1內(nèi)有一點P到直線AB與到直線B1C1的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為（）.A.線段B.一段橢圓弧C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分答案：D解析：本題主要考查點到直線距離的概念，線面垂直及拋物線的定義.因為歷面總吊，所以尸品就是P到直線所凸的距離，P到直線U的距離是故由拋物線的定義知：動點的軌跡為拋物線的一段，點P在正方體總BCDRiEiC］口的面W國內(nèi)】從而選D.整理：空間幾何體中的軌跡問題：.判斷軌跡的類型問題.求軌跡中的長度、面積與體積問題再看一個例題，加深印象例：已知正方體ABCD-AB1clD1的棱長為1，在正方體的側(cè)面Be*凡上到點A距離為空的點的軌跡形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是，它的長度為3.v'3 8 -<3答案：以B為圓心，半徑為—且圓心角為彳的圓弧，長度為一兀.3 2 6解析：因為AB±面BC1，P在正方體的側(cè)面BCC1B1上，設(shè)AP二三一，AB=1,<3由勾股定理得BP=二，因此點P軌跡是以B為圓心，3、J3 8 J3半徑為—且圓心角為彳的圓弧，長度為一兀.32 6總結(jié)：.空間幾何體中的判斷軌跡的類型問題，這常常要借助于圓錐曲線的定義來判斷，常見的軌跡類型有：線段、圓、圓錐曲線、球面等在考查學生的空間想象能力的同時，又融合了曲線的軌跡問題..空間幾何體中的軌跡問題涉及到求軌跡中的長度、面積與體積問題練習：.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1的中點，點P在其對角面BB1D1D內(nèi)運動，若EP總與直線AC成等角，則點P的軌跡有可能是（）.A.圓或圓的一部分 B.拋物線或其一部分C.雙曲線或其一部分 D.橢圓或其一部分.已知正方體ABCD—A1B1clR的棱長為a，定點M在棱AB上（但不在端點A，B上），點P是平面ABCD內(nèi)的動點，且點P到直線A1D1的距離與點P到點M的距離的平方差為a2,則點P的軌跡所在曲線為（）.A.拋物線B.雙曲線C.直線 D.圓.在正方體ABCD—A1B1cl弋中，點p在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，總有AP1BD1，則動點P的軌跡為..若三棱錐A—BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與AABC組成的圖形可能是：（）AAAAAC DAAAAAC D.已知棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中，長為2的線段MN的一個端點在DD1上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，求MN中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積..如圖AB是平面a的斜線段A為斜足.若點P在平面a內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值,則動點P的軌跡是（）A.圓 B橢圓 C.一條直線 D.兩條平行直線.如圖,斜線段AB與平面a所成的角為60°,B為斜足，平面a上的動點P滿足/PAB=30°,則點P的軌跡是（）

A.直線B.拋物線A.直線B.拋物線C橢圓口.雙曲線的一支答案：1.解：由條件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP與直線AC成等角，得到EP與平面BB1D1D所成的角都相等，故點P的軌跡有可能是圓或圓的一部分.工解：在正方體且ECD—W/iGA中，過尸作PF_疝3過F作自，垂足分別為孔昂連結(jié)PE則尸杼=犀-P嚴,又陽-2g*所以凡/=P產(chǎn)，從而PM=PF,故點P到直線AD與到點鼠的距離相等，故點P的軌跡是以.M■為焦點,1口為準線的拋物線..解：在解題中，我們要找到運動變化中的不變因素，通常將動點聚焦到某一個平面易證BD11面ACB1，所以滿足BD11AP的所有點P都在一個平面ACB1上.而已知條件中的點P是在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，因此，符合條件的點P在平面ACB1與平面BCC1B1交線上，故所求的軌跡為線段B1C.本題的解題基本思路是：利用升維，化“動”為“靜”，即先找出所有點的軌跡，然后縮小到符合條件的點的軌跡..解：動點P在側(cè)面ABC內(nèi)，若點P到AB的距離等于到棱BC的距離，則點P在^ABC的內(nèi)角平分線上.現(xiàn)在P到平面BCD的距離等于到棱AB的距離，而P到棱BC的距離大于P到底面BCD的距離，于是，P到棱AB的距離小于P到棱BC的距離，故動點P只能在/ABC的內(nèi)角平分線與AB之間的區(qū)域內(nèi).只能選D..解：由于川;飄都是運動的，所以求的軌跡必須