連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析

第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.1信號(hào)的正交分解3.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅立葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用3.3非周期信號(hào)的的傅立葉變換3.2周期信號(hào)的的傅立葉級(jí)數(shù)3.5周期信號(hào)的傅立葉變換3.6調(diào)制與解調(diào)3.7線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析方法3.8無(wú)失真?zhèn)鬏?.9理想低通濾波器3.10佩利－維納準(zhǔn)則和實(shí)際濾波器§3.1 信號(hào)的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量

兩個(gè)矢量V1和V2正交的條件是兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為零。

圖3.1-1兩個(gè)矢量正交

矢量分解上述矢量分解的概念可以推廣到n維空間。由n個(gè)相互正交的矢量組成一個(gè)n維的矢量空間，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}為n維空間的完備正交矢量集。n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為這n個(gè)正交矢量的線性合即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第i個(gè)分量的系數(shù)3.1.2信號(hào)的正交分解設(shè)g1(t),g2(t)是定義在區(qū)間(t1,t2)的兩個(gè)實(shí)函數(shù)且滿(mǎn)足則這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)正交，或它們是區(qū)間(t1,t2)正交函數(shù)。有一個(gè)定義在區(qū)間(t1,t2)實(shí)函數(shù)集{g1(t),g2(t)，…，gn(t)}在該集合中所有的函數(shù)滿(mǎn)足則這個(gè)集合為區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集。3.1.3用正交函數(shù)集表示信號(hào)若在區(qū)間(t1,t2)找到一個(gè)完備的正交函數(shù){g1(t),g2(t)，…，gn(t)},在此區(qū)間的信號(hào)可以精確地用它們地線性組合來(lái)表示各分量的標(biāo)量系數(shù)為

如果用不完備的正交函數(shù)集來(lái)表示任意函數(shù)，則必然出現(xiàn)誤差。近似為顯然，應(yīng)選擇各系數(shù)使實(shí)際函數(shù)與近似函數(shù)之間的誤差在區(qū)間內(nèi)最小。這里所說(shuō)的“誤差最小”不是指平均誤差最小，因?yàn)橛锌赡苷`差和負(fù)誤差在平均過(guò)程中相互抵消，以至不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。通常選擇誤差的均方值最小。§3.2 周期信號(hào)的的傅立葉級(jí)數(shù)

3.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)不難證明三角函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集，此函數(shù)集包括無(wú)窮多項(xiàng)。這樣我們就可以將一個(gè)周期為T(mén)的周期信號(hào)表示為這個(gè)正交函數(shù)集中各函數(shù)的線性組合。需要指出，這種表示對(duì)周期信號(hào)有一定要求，即周期信號(hào)應(yīng)滿(mǎn)足狄里赫利條件：(1)在一周內(nèi)連續(xù)或有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；(2)一周內(nèi)函數(shù)的極值點(diǎn)是有限的；(3)一周內(nèi)函數(shù)是絕對(duì)可積的，即

對(duì)于任何一個(gè)周期為T(mén)的周期信號(hào)，都可以將它表示為三角函數(shù)集中各函數(shù)的線性組合，即：

上式稱(chēng)為的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式

稱(chēng)為基波角頻率

稱(chēng)為基波頻率

是加權(quán)系數(shù)，稱(chēng)為傅里葉系數(shù)

是加權(quán)系數(shù)，稱(chēng)為傅里葉系數(shù)

三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的另外一種形式

稱(chēng)為的基波分量

稱(chēng)為二次諧波分量

稱(chēng)為n次諧波分量

兩種三角形式系數(shù)的關(guān)系為

例已知周期信號(hào)畫(huà)出其頻譜圖將x(t)整理為標(biāo)準(zhǔn)形式(a)振幅圖；(b)相位圖利用歐拉公式可將三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)可將上式簡(jiǎn)寫(xiě)為這樣x(t)的指數(shù)形式為該式稱(chēng)為周期信號(hào)x(t)的指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)，其中稱(chēng)為傅立葉系數(shù)，簡(jiǎn)寫(xiě)為一般來(lái)說(shuō)Xn是復(fù)常數(shù)可以表示成模和幅角的形式指數(shù)形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為3.2.2周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的能量是無(wú)限的，而其平均功率是有界的，因而周期信號(hào)是功率信號(hào)。為了方便，往往將周期信號(hào)在1Ω電阻上消耗的平均功率定義為周期信號(hào)的功率。顯然，對(duì)于周期信號(hào),無(wú)論它是電壓信號(hào)還是電流信號(hào)，其平均功率均為將x(t)表示成傅里葉級(jí)數(shù)并代入上式可得上式反映了周期信號(hào)的平均功率與離散譜之間的關(guān)系，稱(chēng)為功率信號(hào)的帕塞瓦爾關(guān)系式。它表明：周期信號(hào)的平均功率等于直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說(shuō)，時(shí)域和頻域的能量是守恒的。信號(hào)的幅頻特性決定了信號(hào)的平均功率分布規(guī)律，顯然，周期信號(hào)的功率譜也是離散譜。從周期信號(hào)的功率譜中可以直觀的看到平均功率在各頻率分量上的分布情況。信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱(chēng)的3.2.3傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)與函數(shù)對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1、偶函數(shù)于是偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)不含正弦項(xiàng)，只含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng)。

2、奇函數(shù)信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是反對(duì)稱(chēng)的奇函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式不含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，只含正弦項(xiàng)。

3、半波像對(duì)稱(chēng)函數(shù)如果函數(shù)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并上下翻轉(zhuǎn)后得到的波形于原波形重合，

將代入第一個(gè)積分中，有

所以同理可得

可以看出，在其傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含奇次諧波而不含偶次諧波項(xiàng)。故半波像對(duì)稱(chēng)函數(shù)又稱(chēng)為奇諧數(shù)。另外還有所謂半波對(duì)稱(chēng)函數(shù)，就是其波形平移半個(gè)周期后得到的波形于原波形重合的函數(shù)。3.2.4周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)的近似與傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性

這一節(jié)來(lái)研究用傅氏級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)的普遍性問(wèn)題，即滿(mǎn)足什么條件的周期信號(hào)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)。1、最小均方近似一般來(lái)說(shuō)，任意周期函數(shù)表示為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)需要無(wú)限多項(xiàng)才能完全逼近原函數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)中，經(jīng)常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)代替無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)。顯然，選取有限項(xiàng)級(jí)數(shù)是一種近似的方法，所選項(xiàng)數(shù)越多，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)越逼近原函數(shù)，也就是說(shuō)，其方均誤差越小。誤差函數(shù)方均誤差取傅立葉級(jí)數(shù)的前項(xiàng)來(lái)逼近周期信號(hào)2、傅立葉級(jí)數(shù)的收斂條件周期信號(hào)展開(kāi)傅立葉級(jí)數(shù)，必須滿(mǎn)足狄利克雷（Dirichlet）條件：條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。條件3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積3.2.5周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜將x(t)展開(kāi)成指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)

周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜

周期信號(hào)頻譜具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量，所以此譜稱(chēng)為不連續(xù)譜或離散譜。第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上。第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨的變化有起伏變化，但總的趨勢(shì)是隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，。

不同τ值時(shí)周期矩形信號(hào)的頻譜(a)τ=T/5;(b)τ=T/10

不同T值時(shí)周期矩形信號(hào)的頻譜(a)T=5τ;(b)T=10τ

§3.3 非周期信號(hào)的的傅立葉變換

在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無(wú)窮，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期信號(hào)；反過(guò)來(lái)，任何非周期信號(hào)如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個(gè)周期信號(hào)。我們把非周期信號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨于無(wú)窮時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)在T趨于無(wú)窮時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得到對(duì)非周期信號(hào)的頻域表示方法。：周期信號(hào)非周期信號(hào)連續(xù)譜，幅度無(wú)限?。浑x散譜對(duì)非周期信號(hào)，不能再采用傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)振幅來(lái)表示其頻譜，而必須引入一個(gè)新的量－頻譜密度函數(shù)。下面我們由周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)處傅立葉變換，從而引出頻譜密度函數(shù)的概念。03.3.1非周期信號(hào)傅立葉變換表示式的導(dǎo)出3.3.2典型非周期信號(hào)付立葉變換1、矩形脈沖信號(hào)幅度頻譜和相位頻譜為別為

2、單邊指數(shù)信號(hào)幅度頻譜：相位頻譜：3、雙邊指數(shù)函數(shù)從頻譜函數(shù)的定義式出發(fā)雙邊指數(shù)信號(hào)及其頻譜4、符號(hào)函數(shù)我們可用以下極限形式表示函數(shù)

另則，所以符號(hào)函數(shù)的頻譜為5、沖激函數(shù)6、直流信號(hào)

比照單位沖激函數(shù)的傅立葉變換，由傅立葉逆變換容易求得所以7、階躍函數(shù)§3.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅立葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用

3.4.1線性性質(zhì)若則3.4.2尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。

證明見(jiàn)下頁(yè)尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)?.4.3奇偶虛實(shí)性實(shí)際存在的信號(hào)都是實(shí)信號(hào),虛信號(hào)是我們?yōu)榱藬?shù)學(xué)運(yùn)算上的方便而引入的?，F(xiàn)在研究時(shí)間函數(shù)與其頻譜之間的奇偶虛實(shí)關(guān)系。由傅立葉變換的定義有根據(jù)歐拉公式得設(shè)則顯然1、是實(shí)函數(shù)顯然

偶函數(shù)

此時(shí)可見(jiàn)，若是實(shí)偶函數(shù)，必為的實(shí)偶函數(shù)。

奇函數(shù)

此時(shí)可見(jiàn)，若是實(shí)奇函數(shù)，必為的虛奇函數(shù)。

1、是虛函數(shù)顯然在這種情況下，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，而仍是偶函數(shù)，仍是奇函數(shù)。此外，無(wú)論是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，都具有以下性質(zhì)3.4.4時(shí)移特性若

則

證明：因?yàn)樗约?.4.5頻移特性若

則

證明：令所以同理則

3.4.6對(duì)偶性質(zhì)證明：

將變量t與ω互換，得到則所以3.4.7時(shí)域微分特性若

則

證明：已知兩邊分別對(duì)求微分，得交換微分和積分的順序，可得所以此性質(zhì)可推廣到高階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換3.4.8時(shí)域積分特性若

則特別地，當(dāng)

時(shí)，

3.4.9頻域微分特性若

，則一般頻域微分特性的實(shí)用形式為3.4.10頻域積分特性，則若3.4.11時(shí)域卷積特性，則若兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積，即在時(shí)域中兩信號(hào)的卷積等效于在頻域中頻譜相乘。時(shí)域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時(shí)移性質(zhì)3.4.12頻域卷積特性，則若

兩時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩函數(shù)的乘積，或者說(shuō)兩個(gè)時(shí)間信號(hào)乘機(jī)的頻譜等于兩個(gè)信號(hào)頻譜函數(shù)的卷積乘以。顯然時(shí)域與頻域卷積定理是對(duì)稱(chēng)的，這由傅立葉變換的對(duì)偶特性所決定。頻域卷積定理有時(shí)也稱(chēng)為時(shí)域相乘定理。

3.4.13帕塞瓦爾定理，則若

它表明周期信號(hào)在時(shí)域中的功率等于該信號(hào)在頻域中各分量功率之和，即信號(hào)在時(shí)域和在頻域的功率是守恒的。一般來(lái)說(shuō)，非周期信號(hào)不是功率信號(hào)，其平均功率為零，但其能量為有限量，因而是一個(gè)能量信號(hào)。

§3.5周期信號(hào)的傅立葉變換由歐拉公式由頻移性質(zhì)3.5.1正弦信號(hào)的傅里葉變換同理已知余弦信號(hào)的頻譜

由傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換(用定義)3.5.2一般周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的頻譜由無(wú)限多個(gè)沖激函數(shù)組成，各沖激函數(shù)位于周期信號(hào)的各次諧波處，且沖激強(qiáng)度為的倍tt假設(shè)單脈沖信號(hào)

是從周期脈沖信號(hào)

中提取出的一個(gè)周期在

內(nèi)，

和相同，所以

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)等于單脈沖信號(hào)的傅里葉變換在頻率點(diǎn)的值乘以

。所以可利用單脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

§3.6調(diào)制與解調(diào)3.6.1調(diào)制的性質(zhì)無(wú)線電通信系統(tǒng)是利用空間輻射方式把信號(hào)從發(fā)送端傳送到接收端。根據(jù)電磁波理論，發(fā)射天線尺寸為被發(fā)射信號(hào)波長(zhǎng)的十分之一或更大些，信號(hào)才能有效地被發(fā)射出去。例如，要發(fā)射一個(gè)300KH的音頻信號(hào)（其波長(zhǎng)為103km那么就必須要用100km長(zhǎng)的天線，實(shí)際上這是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。另外，大氣層對(duì)音頻信號(hào)迅速衰減，對(duì)較高頻率的信號(hào)則能傳播很遠(yuǎn)的距離。因此，要通過(guò)大氣層遠(yuǎn)距離傳送語(yǔ)音信號(hào)，就需要用極高頻率的載波信號(hào)來(lái)攜帶被傳送的語(yǔ)音信號(hào)，這就是調(diào)制。從另一方面講，如果不進(jìn)行調(diào)制就把被傳送的信號(hào)直接輻射出去，那么各電臺(tái)所發(fā)出的信號(hào)由于頻率相同而混在一起，接收端將無(wú)法選擇要接收的信號(hào)。調(diào)制作用的實(shí)質(zhì)就是把各種信號(hào)的頻譜搬移，它們互不重疊地占據(jù)不同的頻率范圍，從而實(shí)現(xiàn)在同一信道內(nèi)同時(shí)傳送多路信號(hào)的多路復(fù)用。3.6.2連續(xù)時(shí)間正弦幅度調(diào)制及其應(yīng)用幅度調(diào)制頻移性質(zhì)將已調(diào)信號(hào)恢復(fù)成原來(lái)的調(diào)制信號(hào)的過(guò)程。本地載波，與發(fā)送端載波同頻同相調(diào)制信號(hào)載波信號(hào)抑制載波調(diào)幅調(diào)幅解調(diào)§3.7線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域

分析方法則依卷積定理有3.7.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)令所以1用微分方程表征的系統(tǒng)對(duì)上式兩端同時(shí)求傅立葉變換，由時(shí)域微分性質(zhì)，可得

所以例已知描述線性時(shí)不變系統(tǒng)的常系數(shù)微分方程為求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

對(duì)方程兩端同時(shí)求傅立葉變換，可以得到所以2單位沖激響應(yīng)函數(shù)描述的系統(tǒng)

這種情況下先求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，然后對(duì)單位沖激響應(yīng)求傅里葉變換。

例設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)

根據(jù)傅立葉變換的定義有則依卷積定理有3.7.2系統(tǒng)的頻域分析令所以例已知系統(tǒng)函數(shù)求該系統(tǒng)在激勵(lì)

下的零狀態(tài)響應(yīng)

解：激勵(lì)的傅立葉變換所以§3.8無(wú)失真?zhèn)鬏斠活?lèi)是線性失真，它包括兩方面。一是振幅失真：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減（放大），使各頻率分量之間的相對(duì)振幅關(guān)系發(fā)生了變化。二是相位失真：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，使各頻率分量在時(shí)間軸上的相對(duì)位置發(fā)生了變化。這兩種失真都不會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生新的頻率分量。另一類(lèi)是非線性失真，是由信號(hào)通過(guò)非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的，特點(diǎn)是信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后產(chǎn)生了新的頻率分量。所謂無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵疙憫?yīng)信號(hào)與激勵(lì)信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：●要求幅度為與頻率無(wú)關(guān)的常數(shù)K，系統(tǒng)的通頻帶為無(wú)限寬。●相位特性與成正比，是一條過(guò)原點(diǎn)的負(fù)斜率直線?！癫皇д娴木€性系統(tǒng)其沖激響應(yīng)也是沖激函數(shù)。例§3.9理想低通濾波器●的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真()?！駷榻刂诡l率，稱(chēng)為理想低通濾波器的通頻帶，簡(jiǎn)稱(chēng)頻帶。

即3.9.1理想低通濾波器的頻率特性和沖激響應(yīng)由對(duì)稱(chēng)性可以從矩形脈沖的傅氏變換式得到同樣的結(jié)果。激勵(lì)響應(yīng)3.9.2理想低通濾波器的階躍響應(yīng)1.下限為0；2.奇偶性：奇函數(shù)。3.最大值出現(xiàn)在最小值出現(xiàn)在

正弦積分2．階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr

與網(wǎng)絡(luò)的截止頻率