微積分-第十三周講課提綱

P2931,3,6，P3041（2（8，2（2（7）§7.6定積分的物理應一、重心（質(zhì)心、形心）（沒有專門討論W1,W2，人們挑它,"nXk

xkmkkn個質(zhì)點，其位置和質(zhì)量分別為(xkykmkk1"n,則它們質(zhì)心的位置X,Y就由下列方程確定： Xmxm,Y ymk1 k1k k k1k),](x)1f(x)2babx(x)1f(x)2ba

,y

bf(x)(x)1f(x)2baba(x)1f(x)2Note：(xC2πxlb2πx1f(x)2dxayf(xy軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)面的面積b2πx1f(x)2dxxa徑、l為高的圓柱的側(cè)面積2πxl2πylb2πf(x)1f(x)2dxayf(xx軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)面的面積b2πf(x)1f(x)2dxya徑、l為高的圓柱的側(cè)面積2πl(wèi)．注：此結(jié)論稱為第一定理x d(t)x(t)2y(t)2dx(t)d(t)x(t)2y(t)2x ,y

dy(t) x(t)2y(t)2dd(t)x(t)2y(t)2yyfybxax[f(x)b

,y

b1[f(x)g(x)][f(x)a a[f(x)Note：g(x)0

a[f(x)即曲邊梯形{(x,y)0y

2πxAa2πxf(x)dxbf(x0axb}繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積b a2πxf(x)dxx為半徑的圓周長2πxAaf(x)dx2πyAbπf2(x)dxa即曲邊梯形{(x,y)0yf(x),axbx軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積bπf2x)dxaby為半徑的圓周長2πyAb

f(x)dx1：ykx(k0yk圍成，求它的形解：設(shè)形心坐標為(xyx0ky2y 2kk2 02xy2xyxy2xy2(1,2y[(y2)y2 y 4 2[(y2)y2 21[(y2)y2

][(y2)

5 x 2[(y2)y2 95 ytanO它的質(zhì)量近似為mytan2yy軸上從0H，在距離Oy處放置了質(zhì)量為m的質(zhì)πHy(ytan)2Y 3HπHytan 1：逃逸速度問題mHRmHRM解：WR 1 (Gx2)dxGmMRHR R由1mv2GmM，得v R x2：清淤問題x掛斗重400，污泥重1500．求將掛斗從井底解：W0 5(3057000225059250（焦耳為每秒3米，其他條件不變，求將掛斗從井底提到井 月 日 頁共153（）aOaa2h任取一個與池面距離為h的小薄層，厚度dh的重量為πa2h2 把這層水(微元)抽到地4所做的功是dWπa2h2hdh，所以抽干水所做4 2

a W

πa2hhdhπ2 a0

0形，下部由yx2與y1圍成．當 541FH1(H1y)2dyH211F

1(H1y) ydy4(H1)42H 2HF15，得6H210H40H1（舍去H2 §7.7廣義積分（反常積分一、無窮區(qū)間上的廣義積分（無窮積分(HRM，引力常數(shù)為G．W(H)RHGMmdxGMm1 ．

RH

H

W(H)

，可以記作

dxm kv(t)(k0)，0k(tt0解得v(t)v(t0)e k(tt mv(t0S01

v(t)dt00

)e 0dt 0k3：yxA

S

dxA定義：f(x在[aAA

f(x)dx存在，則稱無窮積分 f(x)dx斂，其值為 f(x)dx

AA

f(x)dx 類似地，定 f(x)dx

Bf(x)dx 特別地，若存在實數(shù)a，使得 f(x)dx與f(x)dx均收斂，則稱f(x)dx收斂 且f(x)dxf(x)dx f(x)dxNote（1） f(x)dx f(x)dxf(x)dxbf(x)dxaf(x)dx f(x)dx Cauchy1x2dx性 xpdx （2） xlnpxdx(n1) xnexdx（n為正整數(shù)0ln ln

1x2dx （5）

dxNote（1（2（3）Note（4（5）用當x充分大時lnx

ln

1 3，x

ex定理：f(xg(x在任意區(qū)間[aA] ①當0f(x)g(x)(x[a,)，且 f(x)dx收斂 ②當0f(x)g(x)(x[a,)，且 f(x)dx發(fā)散時， g(x)dx發(fā)散 證明：①F(A)af(x)dxag(x)dx g(x)dx，由單調(diào)有界收斂定理可證②由Af(x)dxAg(x)dx及f(x)dx 定理：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在任意區(qū)間[a,A]上非負可積，且 f(x)C，x①當0Cf(x)dx與g(x)dx ②當C0，且g(x)dxf(x)dx ③當C，且g(x)dxf(x)dx f證明：①因為 C0，根據(jù)極限的保序性，存在Na，當xNfx

Cg(x)f(x)3Cg(x) limf(x)0NaxN時，有0f(xg(xxlimf(x)NaxN時，有0g(xf(xx1比階形式（g(xxp作參照1定理：f(x在任意區(qū)間[aAa0)①當0C，且p1時， f(x)dx收斂②當0Cp1時，af(x)dxln ln

x

xpf(x)C（1）

1x2dx （2）

dx（1（2）（4（5 dx(p0,q0)． xplnq 定義若 f(x)dx收斂則稱 f(x)dx絕對收斂若 f(x)dx收斂但發(fā)散，則稱 f(x)dx條件收斂 定理：若 f(x)dx收斂，則 f(x)dx收斂．即絕對收斂必收斂

f(x)證明：因為0f(x)f(x)2f(x)，且 f(x)dx收斂，所以根據(jù)比較判斂法可af(x)f(x) 收斂，從而f(x)dxf(xf(xf(xdx收斂 sin

2，

2dx

sinx

1

sinx

1cosxsin cos cosxx dx 1 dxcos1x

dxcos sin且

sinsinx

x

sin2 1 cos dx2 xdx cos sin2且易知

xdx發(fā)散， sin2

xsin

sinx

sin

dx(0p1)x

2nπsinxdx2nπsinxdxn sinx ，，

k22(k nnk也可以說明sinxdx

2(k1)πsinxdxn4 k22kπ 定理：f(x)dx收斂的充分必要條件是：任給0N0AN,Aa時， f(x)dxaNote：f(x)dx發(fā)散的充分必要條件是：存在00N0aAN,AN，使得

f(x)dx0

證明：比較判斂法：利用當0f(x)g(x)(x[a,

f

Ag(x)dxAf(x)dx

f(x)dx

x2N 2N 2NNxdxN2Ndx2．或sin2

dxln2NlnNln20x(k1)πsin2

x (k1) 證明：因為 dx(k1) sinxdx2(k1)π2(k1)，所2nπsin2xdx1 "1111 n 2n 二、有限區(qū)間上函數(shù)的積分（瑕積分 1

(0x1)xAlimxx0xx

dx在(c,c)上均 ，則稱c為f(x)的奇點．Note：端點的情況類似考慮．瑕積分的定義：設(shè)af(x的奇點，對任意的0f(x在[ab limaf(x)dx存在，則稱瑕積分af(x)dxf(x)dx

f(x)dx類似地，可定義b是奇點的瑕積分

f(x)dxlim

f(x)dx 0 當cab為奇點時，只有當af(x)dx與cf(x)dxbaf(x)dx f(x)dxf(x)dx

f(x)dxlim

f(x)dxlim

f(x)dx

Ac

Bc理．Note11：討論瑕積分0xpdxp0)Note：給出 a(xa)

dx與 a(bx)

dx（ba）1lnx例2：討論瑕積分 xxlnx1

xi1ddx 14，所以1lnxdx解：因為1lnxdx xxxxx0的右側(cè)附近有

1lnx0，即

xxlnx0．又因為xx

1

x0所以1lnxdxx0

3 0x x x“因為在0的右側(cè)附近有

1x1xx2

ln

0，且11

44x

dx在01xx

定理：f(xg(x在(ab上非負，且0f(x)g(x)Aabf(xg(x在Ab①當bg(x)dxbf(x)dx ②當bf(x)dxbg(x)dx 可積，若

f

C①當0Cbf(x)dx與bg(x)dx ②當C0，且bg(x)dxbf(x)dx ③當C，且bg(x)dxbf(x)dx 定理：f(x在(abAabf(x在Ab

(xapf(x)Ca①當0Cp1bf(x)dxaxa0Cp1bf(x)dx發(fā)散．例：判斷1lnxdx的收斂性．（與1比階）xa01x定義：若bf(xdx收斂，則稱bf(x)dx絕對收斂；若bf(x)dx收斂，但bf(xdx a散，則稱bf(x)dxa定理：若bf(xdx收斂，則bf(x)dx 證明：因為0f(x

f

2f(x)，且

aabf(x)f(x)aa收斂，從而bf(x)dxbf(xf(xf(xdx sin sin例1：判斷 xdx的收斂性（利 x1，且

xxxx xxsin例2：證明 xdx條件收斂x0x 1

1sinxdx

tsin

1

sintdt

sintdtsin

t

xdx a定理：設(shè)af(xbf(x)dx收斂的充分必要條件是：任給0，存在0，當aAa,aAaAf(x)dx．a(chǎn)aNote：bf(x)dx發(fā)散的充分必要條件是：存在00，任給0aAaaaAaAf(x)dx0sin例1：討論 xdx（p0）的收斂性0xsin解：令t1，則 xdxsintdt 0x t2當2p1p1當02p1，即1p22p0p2時，原積分發(fā)散．（若xqsinxdx(q01sinxdxxqsinx1dx也收斂，與sinxdx發(fā) 2：判斷l(xiāng)nxdx0 ln

1xdx1lnxdx lnxdx，由于1lnxdx與 lnxdx解： 1x 01x 1x 01x 1x3：定義pxp1exdx，求p的定義域和(n1)0p10p1時，xp1exdx0 p1 x p1limx

2dx收斂，所以

x xp1exdx0p10p10p1