云南省曲靖市越洲鎮(zhèn)第一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

云南省曲靖市越洲鎮(zhèn)第一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（log2a）+f（a）≤2f（1），則a的取值范圍是（）A． B．[1，2] C． D．（0，2]參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將f（log2a）+f（a）≤2f（1）化為：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的單調(diào)性列出不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（a）=f（﹣log2a）=f（log2a），則f（log2a）+f（a）≤2f（1）為：f（log2a）≤f（1），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，則a的取值范圍是[，2]，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最大值為（

）

A.9

B.

C.

1

D.參考答案：A略3.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)不可能為（

）（A）個(gè)

（B）個(gè)

（C）個(gè)

（D）個(gè)參考答案：A4.4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的概率是A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】古典概型.K2【答案解析】B解析：4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，共有12,13,14,23,24,34計(jì)6種情況，而取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的有13,24計(jì)2種情況，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式可得概率為，故選B.【思路點(diǎn)撥】先列舉4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張的所有情況，再列舉2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的基本情況的種數(shù)，再求概率即可.5.三角形ABC中A，B，C的對(duì)邊分別為,,則A的取值范圍為(

)A.

B.

C.（）

D.參考答案：C略6.函數(shù)f（x）=lnx+3x﹣7的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：C【考點(diǎn)】二分法的定義．【分析】由函數(shù)的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根據(jù)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=lnx+3x﹣7在其定義域上單調(diào)遞增，∴f（2）=ln2+2×3﹣7=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+9﹣7=ln3+2＞0，∴f（2）f（3）＜0．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（2，3），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)的值，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．7.已知，則A、2

B、

C、0

D、參考答案：B由，故選Ｂ．8.在中，是的中點(diǎn)，,點(diǎn)在上且滿足,則

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．F3【答案解析】A

解析：如圖因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，根據(jù)向量加法的幾何意義，=2，又，所以==．故選：A．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量加法的幾何意義，得出=2，從而所以=．9.過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，正三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線上，則△ABC的邊長是（

）A.8 B.10 C.12 D.14參考答案：C【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，過、、分別作、、垂直于直線于、、，設(shè)，求出，利用弦長公式，可得結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)的中點(diǎn)為，過、、分別作、、垂直于直線于、、，設(shè)，由拋物線定義知：，，，，，即，所以直線AB的斜率k=,所以直線AB的方程為，聯(lián)立直線AB方程和拋物線方程得，所以.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的定義，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．10.給定下列三個(gè)命題：p1：函數(shù)y=ax+x（a＞0，且a≠1）在R上為增函數(shù)；p2：?a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一個(gè)充分不必要條件是α=2kπ+β（k∈Z）．則下列命題中的真命題為（）A．p1∨p2 B．p2∧p3 C．p1∨￢p3 D．￢p2∧p3參考答案：D【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假；2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】p1：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=ax+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函數(shù)，即可判斷出真假；p2：?a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，即可判斷出真假；p3：cosα=cosβ?α=2kπ±β（k∈Z），即可判斷出真假．【解答】解：p1：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=ax+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函數(shù)，是假命題；p2：?a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，因此不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，是假命題；p3：cosα=cosβ?α=2kπ±β（k∈Z），因此cosα=cosβ成立的一個(gè)充分不必要條件是α=2kπ+β（k∈Z），是真命題．因此p1∨p2，p2∧p3，p1∨￢p3是假命題；￢p2∧p3是真命題．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.右圖的程序運(yùn)行后，輸出的結(jié)果是 參考答案：712.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在非零常?shù)，對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)為函數(shù)的“似周期”．現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：①如果“似周期函數(shù)”的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)是“似周期函數(shù)”；③函數(shù)是“似周期函數(shù)”；④如果函數(shù)是“似周期函數(shù)”，那么“”．其中是真命題的序號(hào)是

．（寫出所有滿足條件的命題序號(hào)）參考答案：1,3,4．13.已知變量，滿足約束條件，則的最大值是_________.參考答案：9

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃．14.如圖，，是半徑為的圓的兩條弦，它們相交于的中點(diǎn).若，，則=

，

（用表示）.參考答案：；

因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，由垂徑定理知，在直角三角形中，，所以，由相交弦定理知，，即，解得15.已知函數(shù)f(x)在（0，2）上是增函數(shù)，且是偶函數(shù)，則、、的大小順序是

(按從小到大的順序).參考答案：16.已知三被錐S﹣ABC的體積為，底面△ABC是邊長為2的正三角形，且所有頂點(diǎn)都在直徑為SC的球面上．則此球的半徑為．參考答案：2【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】設(shè)球心為O，球的半徑為R，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延長線與D，用半徑表示出OO1、高SD，利用V三棱錐S﹣ABC=求出R的值．【解答】解：設(shè)球心為O，球的半徑為R，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延長線與D，如圖所示；∵△ABC是正三角形，∴CD=×2=，O1C=CD=，∴OO1=，∴高SD=2OO1=2；又△ABC是邊長為2的正三角形，∴S△ABC=?22=，∴V三棱錐S﹣ABC=??2=，解得R=2．故答案為：2．17.已知函數(shù),有下列五個(gè)命題①不論為什么值,函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②若,函數(shù)的極小值是,極大值是;③若,則函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線都不可能經(jīng)過原點(diǎn);④當(dāng)時(shí),對(duì)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn),都存在唯一的點(diǎn),使得(其中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn))⑤當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線與直線及軸所圍成的三角形的面積是定值.其中正確的命題是

(填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào))參考答案：①③⑤

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列中，（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.參考答案：

略19.如圖所示，正三角形所在平面與梯形所在平面垂直，，，為棱的中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）若直線與平面所成的角為30°，求三棱錐的體積.參考答案：(1)見解析;(2).試題分析：（1）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線面垂直平面，，再利用線面垂直性質(zhì)定理得線線垂直，由正三角形性質(zhì)得，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)線面垂直平面確定直線與平面所成的角的平面角為，求出點(diǎn)到平面的距離,根據(jù)為的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離一半，利用錐體體積公式可得，再根據(jù)等體積法可得.（2）取中點(diǎn)，連接，易知平面，∴與平面所成的角為，∵中，，∴，∵為正三角形，為的中點(diǎn)，∴且，∵平面平面，∴平面，又∵為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離為，∵，∴，∴.20.(本題滿分16分)已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S12，S22、……、Sn2

……，是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列，其前四項(xiàng)之和為120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90。(1)求an、bn；(2)從數(shù)列{}中能否挑出唯一的無窮等比數(shù)列，使它的各項(xiàng)和等于。若能的話，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)和公比?若不能的話，請(qǐng)說明理由。參考答案：(1){Sn}是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2因?yàn)閍n>0，所以Sn=(n?N)，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn–Sn–1=–，又a1=S1=，所以an=(n?N)，設(shè){bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，則有，所以，所以bn=3n(n?N)，(2)=()n，設(shè)可以挑出一個(gè)無窮等比數(shù)列{cn}，首項(xiàng)為c1=()p，公比為()k，(p、k?N)，它的各項(xiàng)和等于=，則有，所以()p=[1–()k]，當(dāng)p≥k時(shí)3p–3p–k=8，即3p–k(3k–1)=8，因?yàn)閜、k?N，所以只有p–k=0，k=2時(shí)，即p=k=2時(shí)，數(shù)列{cn}的各項(xiàng)和為。當(dāng)p<k時(shí)，3k–1=8.3k–p，因?yàn)閗>p右邊含有3的因數(shù)，而左邊非3的倍數(shù)，不存在p、k?N，所以唯一存在等比數(shù)列{cn}，首項(xiàng)為，公比為，使它的各項(xiàng)和等于。21.選修4﹣1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的割線交圓于B、C兩點(diǎn)，弦CD∥AP，AD、BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF?EC．（1）求證：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．參考答案：考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題．分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行線的性質(zhì)可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用對(duì)頂角的性質(zhì)即可證明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，進(jìn)而證明結(jié)論；（II）利用（I）的結(jié)論可得BP=，再利用切割線定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．解答： （I）證明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP；（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切線，∴PA2=PB?PC，∴，解得．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、相交弦定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵．22.某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，每人分別對(duì)兩個(gè)教師進(jìn)行評(píng)分，滿分均為100分，整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數(shù)分布表：乙教師分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[40,50)3[50,60)3[60,70)15[70,80)19[80,90)35[90,100]25

（1）在抽樣的100人中，求對(duì)甲教師的評(píng)分低于70分的人數(shù)；（2）從對(duì)乙教師的評(píng)分在[40,60)范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人評(píng)分均在[50,60)范圍內(nèi)的概率；（3）如果該校以學(xué)生對(duì)老師評(píng)分的平均數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評(píng)為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn)，則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師？（精確到0.1）參考答案：(1)32人；（2）；（3）乙可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出70分以上的頻率，總頻率之和為1可得70分以下的頻率，由頻率即可求解.（2）根據(jù)頻數(shù)分布表有3人，有3人，分別進(jìn)行標(biāo)記，利用列舉法求出隨機(jī)選出2人的基本事件個(gè)數(shù)，然后再求出評(píng)分均在范圍內(nèi)的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.（3）利用平均數(shù)=小矩形的面積×小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，求出甲的平均分，再利用平均數(shù)的公式求