空間向量及立體幾何練習(xí)試題和答案

...wd......wd......wd...1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求證：M為PB的中點(diǎn)；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大?。弧?〕求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．【分析】〔1〕設(shè)AC∩BD=O，那么O為BD的中點(diǎn)，連接OM，利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn)；〔2〕取AD中點(diǎn)G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，連接OG，那么PG⊥OG，再證明OG⊥AD．以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大??；〔3〕求出的坐標(biāo)，由與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值．【解答】〔1〕證明：如圖，設(shè)AC∩BD=O，∵ABCD為正方形，∴O為BD的中點(diǎn)，連接OM，∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，那么，即M為PB的中點(diǎn)；〔2〕解：取AD中點(diǎn)G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，連接OG，那么PG⊥OG，由G是AD的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，可得OG∥DC，那么OG⊥AD．以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔﹣2，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔2，4，0〕，B〔﹣2，4，0〕，M〔﹣1，2，〕，，．設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，那么由，得，取z=，得．取平面PAD的一個(gè)法向量為．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60°；〔3〕解：，平面BDP的一個(gè)法向量為．∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos＜＞|=||=||=．【點(diǎn)評】此題考察線面角與面面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，屬中檔題．2．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2．〔Ⅰ〕求證：MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；〔Ⅲ〕點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．【分析】〔Ⅰ〕取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，由可證MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，那么MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系．求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值；〔Ⅲ〕設(shè)AH=t，那么H〔0，0，t〕，求出的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為列式求得線段AH的長．【解答】〔Ⅰ〕證明：取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴MF∥BD，∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N為BC中點(diǎn)，∴NF∥AC，又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，那么NF∥DE．∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，那么MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔0，4，0〕，M〔0，0，1〕，N〔1，2，0〕，E〔0，2，2〕，那么，，設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為，由，得，取z=2，得．由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值為，那么正弦值為；〔Ⅲ〕解：設(shè)AH=t，那么H〔0，0，t〕，，．∵直線NH與直線BE所成角的余弦值為，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=或t=．∴當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時(shí)線段AH的長為或．【點(diǎn)評】此題考察直線與平面平行的判定，考察了利用空間向量求解空間角，考察計(jì)算能力，是中檔題．3．如圖，幾何體是圓柱的一局部，它是由矩形ABCD〔及其內(nèi)部〕以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大?。弧并颉钞?dāng)AB=3，AD=2時(shí)，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】〔Ⅰ〕由利用線面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，結(jié)合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；〔Ⅱ〕法一、取的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH，可得四邊形BEGH為菱形，取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，說明∠EMC為所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大?。ǘ?、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系．求出A，E，G，C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出平面AEG與平面ACG的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：〔Ⅰ〕∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；〔Ⅱ〕解法一、取的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四邊形BECH為菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC，那么EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC為所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC為等邊三角形，故所求的角為60°．解法二、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系．由題意得：A〔0，0，3〕，E〔2，0，0〕，G〔1，，3〕，C〔﹣1，，0〕，故，，．設(shè)為平面AEG的一個(gè)法向量，由，得，取z1=2，得；設(shè)為平面ACG的一個(gè)法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小為60°．【點(diǎn)評】此題考察空間角的求法，考察空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了線面角的求法及利用空間向量求二面角的大小，是中檔題．4．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．〔Ⅰ〕證明平面ABEF⊥平面EFDC；〔Ⅱ〕求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】〔Ⅰ〕證明AF⊥平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC；〔Ⅱ〕證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點(diǎn)，建設(shè)如以下列圖的坐標(biāo)系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】〔Ⅰ〕證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；〔Ⅱ〕解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四邊形EFDC為等腰梯形．以E為原點(diǎn)，建設(shè)如以下列圖的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，那么E〔0，0，0〕，B〔0，2a，0〕，C〔，0，a〕，A〔2a，2a，0〕，∴=〔0，2a，0〕，=〔，﹣2a，a〕，=〔﹣2a，0，0〕設(shè)平面BEC的法向量為=〔x1，y1，z1〕，那么，那么，取=〔，0，﹣1〕．設(shè)平面ABC的法向量為=〔x2，y2，z2〕，那么，那么，取=〔0，，4〕．設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ，那么cosθ===﹣，那么二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣．【點(diǎn)評】此題考察平面與平面垂直的證明，考察用空間向量求平面間的夾角，建設(shè)空間坐標(biāo)系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．5．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．〔Ⅰ〕證明：D′H⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【分析】〔Ⅰ〕由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結(jié)合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，進(jìn)一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由線面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建設(shè)如以下列圖空間直角坐標(biāo)系，由求得所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，分別求出平面ABD′與平面AD′C的一個(gè)法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，求出|cosθ|．那么二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】〔Ⅰ〕證明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，那么EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，那么EF⊥BD，∴EF⊥DH，那么EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，那么DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，那么D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕解：以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建設(shè)如以下列圖空間直角坐標(biāo)系，∵AB=5，AC=6，∴B〔5，0，0〕，C〔1，3，0〕，D′〔0，0，3〕，A〔1，﹣3，0〕，，，設(shè)平面ABD′的一個(gè)法向量為，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一個(gè)法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，那么|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值為sinθ=．【點(diǎn)評】此題考察線面垂直的判定，考察了二面角的平面角的求法，訓(xùn)練了利用平面的法向量求解二面角問題，表達(dá)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．〔Ⅰ〕證明：平面ABB1A1⊥平面ABC；〔Ⅱ〕假設(shè)CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．【分析】〔I〕取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，DF，DE．計(jì)算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三線合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，從而平面ABB1A1⊥平面ABC；〔II〕以C為原點(diǎn)建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，求出和平面CEF的法向量，那么直線AC1與平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】證明：〔I〕取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，DF，DE．∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB．∵側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，AE=，A1F=．∴A1E=，EF==，DE==，DF==，∴EF2+DE2=DF2，∴DE⊥EF，又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD?平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，AB，EF為相交直線，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD?ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．〔II〕∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1為坐標(biāo)軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，如以下列圖：那么A〔，0，0〕，C〔0，0，0〕，C1〔0，0，2〕，E〔，0，〕，F(xiàn)〔，，2〕．∴=〔﹣，0，2〕，=〔，0，〕，=〔，，2〕．設(shè)平面CEF的法向量為=〔x，y，z〕，那么，∴，令z=4，得=〔﹣，﹣9，4〕．∴=10，||=6，||=．∴sin＜＞==．∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為．【點(diǎn)評】此題考察了面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．7．如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．〔1〕求證：AB⊥PC；〔2〕在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．【分析】〔1〕利用直角梯形的性質(zhì)求出AB，AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；〔2〕假設(shè)存在點(diǎn)M，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h，根據(jù)勾股定理計(jì)算BM，那么即為所求角的正弦值．【解答】解：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，∴AC=4，AB===4，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴AB⊥PC．〔2〕假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AD于N，那么MN∥PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．過點(diǎn)M作MG⊥AC于G，連接NG，那么AC⊥平面MNG，∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．假設(shè)∠MGN=45°，那么NG=MN，又AN=NG=MN，∴MN=1，即M是線段PD的中點(diǎn)．∴存在點(diǎn)M使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45°．在三棱錐M﹣ABC中，VM﹣ABC=S△ABC?MN==，設(shè)點(diǎn)B到平面MAC的距離是h，那么VB﹣MAC=，∵M(jìn)G=MN=，∴S△MAC===2，∴=，解得h=2．在△ABN中，AB=4，AN=，∠BAN=135°，∴BN==，∴BM==3，∴BM與平面MAC所成角的正弦值為=．【點(diǎn)評】此題考察了工程垂直的判定與性質(zhì)，空間角與空間距離的計(jì)算，屬于中檔題．8．如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°．〔1〕求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大??；〔2〕點(diǎn)D滿足=+，在直線AA1上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C假設(shè)存在，請確定點(diǎn)P的位置，假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕推導(dǎo)出A1O⊥平面ABC，BO⊥AC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值．〔2〕假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P〔0，y，z〕，那么．利用向量法能求出存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C，其坐標(biāo)為〔0，0，〕，即恰好為A1點(diǎn)．【解答】解：〔1〕∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點(diǎn)O，∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱長都相等，∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC．…〔2分〕故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，那么A〔0，﹣1，0〕，B〔，0，0〕，A1〔0，0，〕，C〔0，1，0〕，∴=〔0，1，〕，=〔〕，=〔0，2，0〕．…〔4分〕設(shè)平面AB1C的法向量為，那么，取x=1，得=〔1，0，1〕．設(shè)側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的為θ，那么sinθ=|cos＜，＞|=||=，∴側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值為．…〔6分〕〔2〕∵=，而，，∴=〔﹣2，0，0〕，又∵B〔〕，∴點(diǎn)D〔﹣，0，0〕．假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P〔0，y，z〕，∴．∵DP∥平面AB1C，=〔﹣1，0，1〕為平面AB1C的法向量，∴由=λ，得，∴y=0．…〔10分〕又DP?平面AB1C，故存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C，其坐標(biāo)為〔0，0，〕，即恰好為A1點(diǎn)．…〔12分〕【點(diǎn)評】此題考察線面角的正弦值的求法，考察滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且CO⊥平面ABB1A1．〔Ⅰ〕證明：平面AB1C⊥平面BCD；〔Ⅱ〕假設(shè)OC=OA，△AB1C的重心為G，求直線GD與平面ABC所成角的正弦值．【分析】〔Ⅰ〕通過證明AB1⊥BD，AB1⊥CO，推出AB1⊥平面BCD，然后證明平面AB1C⊥平面BCD．〔Ⅱ〕以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．求出平面ABC的法向量，設(shè)直線GD與平面ABC所成角α，利用空間向量的數(shù)量積求解直線GD與平面ABC所成角的正弦值即可．【解答】〔本小題總分值12分〕解：〔Ⅰ〕∵ABB1A1為矩形，AB=2，，D是AA1的中點(diǎn)，∴∠BAD=90°，，，從而，，∵，∴∠ABD=∠AB1B，…〔2分〕∴，∴，從而AB1⊥BD…〔4分〕∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1?平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD…〔6分〕〔Ⅱ〕如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，從而又，∴，，，，∴，，∵G為△AB1C的重心，∴，…〔8分〕設(shè)平面ABC的法向量為，，由可得，令y=1，那么z=﹣1，，所以．…〔10分〕設(shè)直線GD與平面ABC所成角α，那么=，所以直線GD與平面ABC所成角的正弦值為…〔12分〕【點(diǎn)評】此題考察平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考察空間想象能力以及計(jì)算能力．10．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A折起至A′，設(shè)二面角A′﹣BD﹣C的大小為θ．〔1〕當(dāng)θ=90°時(shí)，求A′C的長；〔2〕當(dāng)cosθ=時(shí)，求BC與平面A′BD所成角的正弦值．【分析】〔1〕過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE，利用勾股定理及余弦定理計(jì)算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；〔2〕利用余弦定理可得A′F=，從而得出A′F⊥平面ABCD，以F為原點(diǎn)建設(shè)坐標(biāo)系，求出和平面A′BD的法向量，那么BC與平面A′BD所成角的正弦值為|cos＜＞|．【解答】解：〔1〕在圖1中，過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE．∵AB=4，AD=2，∴BD==10．∴，BE==8，cos∠CBE==．在△BCE中，由余弦定理得CE==2．∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．∴|A′C|==2．〔2〕DE==2．∵tan∠FDE=，∴EF=1，DF==．當(dāng)即cos∠A′EF=時(shí)，．∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F∴A'F⊥平面ABCD．以F為原點(diǎn)，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA′為z軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系如以下列圖：∴A′〔0，0，〕，D〔﹣，0，0〕，B〔3，2，0〕，C〔3，0，0〕．∴=〔0，2，0〕，=〔4，2，0〕，=〔，0，〕．設(shè)平面A′BD的法向量為=〔x，y，z〕，那么，∴，令z=1得=〔﹣，2，1〕．∴cos＜＞===．∴BC與平面A'BD所成角的正弦值為．【點(diǎn)評】此題考察了空間角與空間距離的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．11．如圖，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱錐D﹣BB1C1C構(gòu)成的幾何體中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．〔Ⅰ〕求證：AC⊥DC1；〔Ⅱ〕假設(shè)M為DC1的中點(diǎn)，求證：AM∥平面DBB1；〔Ⅲ〕在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線DP與平面BB1D所成的角為假設(shè)存在，求的值，假設(shè)不存在，說明理由．【分析】〔Ⅰ〕證明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可證明AC⊥DC1．〔Ⅱ〕易得∠BAC=90°，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，依據(jù)條件可得A〔0，0，0〕，，，B〔0，0，1〕，B1〔2，0，1〕，，利用向量求得AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．〔Ⅲ〕利用向量求解【解答】解：〔Ⅰ〕證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D?平面CC1D，所以AC⊥DC1．〔Ⅱ〕證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90°，所以，如圖建設(shè)空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，依據(jù)條件可得A〔0，0，0〕，，，B〔0，0，1〕，B1〔2，0，1〕，，所以，，設(shè)平面DBB1的法向量為，由即令y=1，那么，x=0，于是，因?yàn)镸為DC1中點(diǎn)，所以，所以，由，可得，所以AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕可知平面BB1D的法向量為．設(shè)，λ∈[0，1]，那么，．假設(shè)直線DP與平面DBB1成角為，那么，解得，故不存在這樣的點(diǎn)．【點(diǎn)評】此題考察了空間線線垂直、線面平行的判定，向量法求二面角．屬于中檔題12．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA=ED，EF∥BD〔I〕證明：AE⊥CD〔II〕在棱ED上是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為假設(shè)存在，確定點(diǎn)M的位置；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔I〕利用面面垂直的性質(zhì)得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；〔II〕取AD的中點(diǎn)O，連接EO，以O(shè)為原點(diǎn)建設(shè)坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面BDEF的法向量，令|cos＜＞|=，根據(jù)方程的解得出結(jié)論．【解答】〔I〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面AED，∵AE?平面AED，∴AE⊥CD．〔II〕解：取AD的中點(diǎn)O，過O作ON∥AB交BC于N，連接EO，∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平面AED，∴OE⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)建設(shè)空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如以下列圖：設(shè)正方形ACD的邊長為2，，那么A〔1，0，0〕，B〔1，2，0〕，D〔﹣1，0，0〕，E〔0，0，1〕，M〔﹣λ，0，1﹣λ〕∴=〔﹣λ﹣1，0，1﹣λ〕，=〔1，0，1〕，=〔2，2，0〕，設(shè)平面BDEF的法向量為=〔x，y，z〕，那么，即，令x=1得=〔1，﹣1，﹣1〕，∴cos＜＞==，令||=，解得λ=0，∴當(dāng)M與點(diǎn)E重合時(shí)，直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為．【點(diǎn)評】此題考察了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．13．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．〔1〕設(shè)點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，求證：CE∥平面PAB；〔2〕線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為假設(shè)存在，試確定點(diǎn)N的位置，假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕取AD中點(diǎn)M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB；〔2〕建設(shè)坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量，利用直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為，可得結(jié)論．【解答】〔1〕證明：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM，那么EM∥PA．∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵M(jìn)C?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．〔2〕解：過A作AF⊥AD，交BC于F，建設(shè)如以下列圖的坐標(biāo)系，那么A〔0，0，0〕，B〔，﹣，0〕，C〔，1，0〕，D〔0，4，0〕，P〔0，0，2〕，設(shè)平面PAC的法向量為=〔x，y，z〕，那么，取=〔，﹣3，0〕，設(shè)=λ〔0≤λ≤1〕，那么=〔0，4λ，﹣2λ〕，=〔﹣λ﹣1，2﹣2λ〕，∴|cos＜，＞|==，∴，∴N為PD的中點(diǎn)，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為．【點(diǎn)評】此題考察線面平行的判定，考察線面角，考察向量知識的運(yùn)用，考察學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．14．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為平行四邊形，平面