北京市城六區(qū)2019屆高三期末數(shù)學(理)解答題分類匯編之壓軸題含答案

:,xx)lxu{:,xx)lxu{o,l},i=1,2,...,n},對于集12n1i設n為不小于3的正整數(shù)，集合On合Q中的任意元素Q=(x,xx),卩=(y,yy)n12n12n記Q*B=(x+y-xy)+(x+y-xy)+...+(x+y-xy)11112222nnnn(I)當n=3時，若Q=(1,1,0)，請寫出滿足a*B=3的所有元素卩設Q，PeQ且a*a+B*B=n，求a*P的最大值和最小值；n設S是Q的子集，且滿足:對于S中的任意兩個不同元素Q，P，有Q*P>n-1n成立，求集合S中元素個數(shù)的最大值.解：(I)滿足Q*P=3的元素為(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1丄1)(II)記q=(x,x,,x)，P=(y,y,,y)，TOC\o"1-5"\h\z12n12n注意到xe{0,1}，所以x(x-1)=0，iii以Q*Q=(x+x—xy)+(x+x—xx)++(x+x—xx)11112222nnnn因為Q*Q+P*P=n，所以x+x++x+y+y++y=n12n12n所以x,x,,x,y,y,,y中有n個量的值為1，n個量的值為0.12n12n+(x+y-xy)nnnn顯然0<q*p=(x+y-xy)+(x+y-xy)nnnn11112222<x+y+x+y++x+y=n，1122nn當q=(1,1,,1)，P=(0,0,,0)時，Q，卩滿足Q*Q+P*P=n，Q*p=n.所以Q*p的最大值為n又-卩=(x1+Jx1y1)+*+y2―x2y2)++W+yn―=n=n-(xy+xy+1122+xy)nn注意到只有x=y=1時，xy=1，否則xy=0iiiiii而x,x,,x,y,y,,y中n個量的值為1，n個量的值為012n12n所以滿足xy=1這樣的元素i至多有n個，ii2nn當n為偶數(shù)時，Q*P>n-n=2.

n當^=卩=(1,1,,1,0,0,,0)時，滿足u*dn當^=卩=(1,1,,1,0,0,,0)時，滿足u*d+卩*卩=n，且a*?=-.22個.;個.所以U*卩的最小值為niLn-1當n為奇數(shù)時，且八1，這樣的元素i至多有~2個,iin-1n+1所以a*卩>n-=—22當(1,1,,1,0,0,,0),卩=(1,1,,1,0,0,,0)時，滿足a*a+卩*卩=，曲個—個??|?—??l?22Qn-1一」a*B=.2芍個甞個n-1所以d*卩的最小值為牛綜上：u*卩的最大值為n，當n為偶數(shù)時,nu*卩的最小值為n，當n為奇數(shù)時,(III)S中的元素個數(shù)最大值為空嚴設集合S是滿足條件的集合中元素個數(shù)最多的一個+x>n-l,agS},n+x<n-2,+x>n-l,agS},n+x<n-2,dgS}nTOC\o"1-5"\h\z112n12S={u=(x,x,,x)1x+x+212n12顯然S=SS,Sns=01212集合S中元素個數(shù)不超過n+1個，下面我們證明集合S中元素個數(shù)不超過C2個12nVagS,a=(x,x,,x)，則x+x++x<n-2212n12n則x，x，，x中至少存在兩個元素x=x=012nijVpgS,P=(y,y,,y)，卩"212n因為a*p>n-1，所以y,y不能同時為0ij所以對1<i<j<n中的一組數(shù)i,j而言，在集合S中至多有一個元素a=(x,x,,x)滿足x，x同時為0212nij所以集合S中元素個數(shù)不超過C2個…2n33所以集合S中的元素個數(shù)為至多為n+1+C2=n2+n+1n記T二{a=(x,x,,x)1x+x++x>n-1,agQ}，則T中共n+1個元素，TOC\o"1-5"\h\z12n12nn1對于任意的agT,卩gQ,d*0>n-1.1n對1<i<j<n，記卩=(x,x,,x),其中x=x=0,x=1,t豐i,t豐ji,j12nijt記T={P11<i<j<n},i,j顯然Va，卩gS,a^P，均有a*P>n-1.2記S=TT，S中的元素個數(shù)為n2+n+1，且滿足Va,PgS,ahP，均有a*P>n-1.12綜上所述，S中的元素個數(shù)最大值為n2+n+1.東城】(20)(本小題14分)對給定的dgN*,對給定的dgN*,記由數(shù)列構成的集合Q(d)=｛｛an｝Ia=1,1|a=|a+d|n+1n,ngN*}若數(shù)列｛a｝g0(2)，寫出a的所有可能取值；n3對于集合0(d)，若d±2.求證：存在整數(shù)k，使得對0(d)中的任意數(shù)列｛a｝，整數(shù)nk不是數(shù)列｛a｝中的項；n(III)已知數(shù)列{a},gQ(d)，記{a},的前n項和分別為A,B.若lal<lbI，nnnnnnn+1n+1求證：AWB.nn20)(共14分)解：(I)由于數(shù)列{a}g0(2)，即d=2，a=1.n1由已知有|a=|a+d|=|1+2=3，所以a=±3212lalalala+d\=la+222將a將a2=±3代入得a3的所有可能取值為-5,-5,-1,1,5.4分(II)先應用數(shù)學歸納法證明數(shù)列:若數(shù)列｛a｝eQ(d),貝電具有md土1(meZ)的形式.nn當n=1時，a=0-d+1，因此n=1時結論成立.1假設當n=k(keN*)時結論成立，即存在整數(shù)m，使得a=md土1成立.TOC\o"1-5"\h\z0k00當n=k+1時，|a|=\md+1+dI=\(m+1)d土1|k+100000a=(m+1)d土1，或a=_(m+1)d土1.k+10k+10所以當n=k+1時結論也成立.由①②可知，若數(shù)列{a}eQ(d)，對任意neN*，a具有md土1(meZ)的形式.nn由于a具有md土1(meZ)的形式，以及d>2，可得a不是d的整數(shù)倍.nn故取整數(shù)k=d，則整數(shù)k均不是數(shù)列｛a｝中的項9分n(III)由la=la+dl可得:a2=a2+2ad+d2.

n+1nn+1nn所以有a2=a2+2ad+d2，n+1nna2=a2+2ad+d2，TOC\o"1-5"\h\znn—1n—1a2=a2+2ad+d2，n—1n—2n—2a2=a2+2ad+d2.211以上各式相加可得a2—1=d2n+2Sdn+1na2—na2—n+12d詈?同理Bb2n+t2dnd2+12d當laWlbI時，有a2Wb2，n+1n+1n+1n+1由于deN由于deN*所以疔2db2W—n+12dnd2+12d”b2nd2+12d2d即A<B成立.14分nn朝陽】20.(本小題滿分13分)已知a,a,…,a,…是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對任意ngN*,a滿足如下兩個條12nn件：a是n的倍數(shù)；n|a一a<5.nn+1若a=30,a=32，寫出滿足條件的所有a的值;123求證：當n>11時，a<5n；n求a所有可能取值中的最大值.120.(本小題滿分13分)TOC\o"1-5"\h\z(I)a的值可取27,30,33,36.3分3(II)由a<a+5(n=1,2,??-)，對于任意的n，有a<5(n-1)+a.n+1nn1當n>a一4時，a<5(n一1)+a，即a<5(n一1)+n+4，即a<6n一1.1n1nn則a<6n成立.n因為a是n的倍數(shù)，所以當n>a—4時，有a<5n成立.n1n若存在n使a>5n，依以上所證，這樣的n的個數(shù)是有限的，設其中最大的為N.n則a>5N,a<5(N+1)成立，因為a是N的倍數(shù)，故a>6N.NN+1NN由5>a一a>6N一5(N+1)=N一5，得N<10.NN+1因此當n>11時，a<5n.…………8分n(III)由上問知a<55，因為a<a+5且a是n的倍數(shù)，11nn+1n所以a,a,…,a滿足下面的不等式：1091a<60，a<63，a<64，a<63，a<66，a<70，a<72，a<75，109876543a<80，a<85.21則a=85,a=80,a=75,a=72,a=70,a=66,a=63,a=64,12345678a=63,a=60，當n>11時，a=5n這個數(shù)列符合條件.910n故所求故所求ai的最大值為85.13分豐臺】20．(本小題13分)將mx將mxn階數(shù)陣a,a,,a11121na,a,,a21222n記作{a}(其中，當且僅當i=s，j—t時,ijmxna,a,,aa,a,,am1m2mnaijaij=ast)?如果對于任意的i二?1?23,，m'當j1<j2時，都有役<aj2，那么稱數(shù)陣{a}{a}具有性質A.ijmxn(I)寫出一個具有性質A的數(shù)陣耳人4，滿足以下三個條件：①咋-4，②數(shù)列{氣}是公差為2的等差數(shù)列，③數(shù)列呻是公比為2的等比數(shù)列;(II)將一個具有性質A的數(shù)陣{a}的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列,ijmxn形成一個新的mxn階數(shù)陣，記作數(shù)陣.試判斷數(shù)陣是否具有性質A,并說ijmxnijmxn明理由.20．(共13分)"4,6,8,10-解：(I)2,3,5,7(答案不唯丄9,11,12_一)....………….4分(II)數(shù)陣具有性質Aijmxn只需證明，對于任意的i—1,2,3,,n，都有b<b，其中j—1,2,3,,n-1.iji(j+1)下面用反證明法證明：……假設存在b>b，則b,b,,b都大于b，即在第q列中，至pqp(q+1)(p+1)q(p2+)qmqp(q+1)少有m—p+1個數(shù)大于b，且b…〉b>>b>b.p(q+1)p(q+1)(p-1)(q+1)2(q+1)1(q+1)根據題意，對于每一個b(t—1,2,,p)，都至少存在一個at(q+1)itq(i&{1,2,3,,m})，使得a<b，即在第q列中，至少有p個數(shù)小于b.titqt(q+1)p(q+1)所以，第q列中至少有m—p+1+p—m+1個數(shù)，這與第q列中只有m個數(shù)矛盾.所以假設不成立.所以數(shù)陣具有性質A.13分ijmxn【西城】20．(本小題滿分13分)設正整數(shù)數(shù)列Aa,a,,a(N>3)滿足a.<a.,其中l(wèi)Wi<jWN.如果存在12Nijke{2,3,,N}，使得數(shù)列A中任意k項的算術平均值均為整數(shù)，則稱A為“k階平衡數(shù)列”(卜)判斷數(shù)列2,4,6,8,10和數(shù)列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數(shù)列”？(II)若N為偶數(shù)，證明:數(shù)列A：1,2,3,,N不是“k階平衡數(shù)列”，其中ke{2,3,,N}.(Ill)如果aW2019，且對于任意ke{2,3,,N}，數(shù)列a均為“k階平衡數(shù)列”，求數(shù)N列A中所有元素之和的最大值.…20．(本小題滿分13分)解：(I)數(shù)列2,4,6,8,10不是4階平衡數(shù)列；數(shù)列1,5,9,13,17是4階平衡數(shù)列.………………3分若k為偶數(shù)，設k=2m(meN*).考慮1,2,3,,k這k項，其和為S=2TOC\o"1-5"\h\z所以這k項的算術平均值為S，此數(shù)不是整數(shù).5分k22若k為奇數(shù)，設k=2m+1(meN*).考慮1,2,3,,k-1,k+1這k項，其和為S'=+12...s'(k+1)11所以這k項的算術平均值為-=+1=m+1+1，此數(shù)不是整數(shù).k2k2m+1故數(shù)列A：1,2,3,,N不是“k階平衡數(shù)列”，其中ke{2,3,,N}8分在數(shù)列A中任取兩項a,a(s豐t)，對于任意ke{2,3,,N-1}，在A中任取與a,astst相異的k-1項，并設這k-1項的和為S.0由題意，得S+a,S+a都是k的倍數(shù)，即S+a=pk,S+a=qk(p,qeZ)0s0t0s0t因此a-a=(p-q)kst即數(shù)列中任意兩項的差a-a都是k的倍數(shù)，其中ke{2,3,,N-1}.st因此所求數(shù)列因此所求數(shù)列A的任意兩項之差都是2,3,,N-1的公倍數(shù).9分綜上可得：數(shù)列綜上可得：數(shù)列A的所有元素之和的最大值為12873.13分如果數(shù)列A的項數(shù)超過8,那么a-a,a-a，…,a-a均為2,3,4,567的倍數(shù)，TOC\o"1-5"\h\z213287即a—a,a—a,,a—a均為420的倍數(shù)(注：420為2,3,4,567的最小公倍213287數(shù)），數(shù)）所以a—a—(a—a)+(a—a)++(a—a)>420x7—294081213287所以a>2940+a>2940，這與a*<2019矛盾，81N因此數(shù)列A至多有7項.11分如果數(shù)列A的項數(shù)為7,那么a—a,a—a,,a—a均為2,3,4,5,6的倍數(shù)，213276即a—a,a—a,,a—a均為60的倍數(shù)(注：60為2,3,4,5,6的最小公倍數(shù))，213276又因為a<2019，且a<a<a<<a71237所以a<2019—60，a<2019—2X60，■，a<2019-6x60651所以a+a++a<2019+(2019—60)++(2019—6x60)—12873.167當且僅當a—2019—60(7—i)—1599+60(其中i—1,2,,7)時，z+a++ai167取到最大值12873.……驗證知此數(shù)列為“k階平衡數(shù)列”，其中kg{2,3,,N}.如果數(shù)列A的項數(shù)小于或等于6，由a<2019，得數(shù)列A中所有項之和小于或等N于2019x6—12114.11石景山】20.（本小題13分）將1至n石景山】20.（本小題13分）將1至n2這n2個自然數(shù)隨機填入nn方格的n2個方格中，每個方格恰填一個數(shù)（n〉2,nN*）?對于同行或同列的每一對數(shù)，都計算較大數(shù)與較小數(shù)的比值，在這n2(n1）個比值中的最小值，稱為這一填數(shù)法的“特征值”．(I)(II)若n2，請寫出一種填數(shù)法，并計算此填數(shù)法的“特征值”；n1當n3時，請寫出一種填數(shù)法，使得此填數(shù)法的“特征值”為；n(III)求證：對任意一個填數(shù)法，其“特征值”不大于口20.（本題13分）解：（I）解：（I）4???3分???7分4???3分???7分不妨設A為任意