函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日一.三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性在高等數(shù)學學習當中，接觸兩類基函數(shù)：

函數(shù)在一點的性質

周期函數(shù)(整體性質)Fourier級數(shù)三角級數(shù)表達周期函數(shù)第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日諧波分析稱為三角級數(shù).簡單的周期運動

:復雜的周期運動

:得級數(shù)(一)三角級數(shù)表達周期函數(shù)第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日1757年,法國數(shù)學家克萊羅在研究太陽引起的攝動時,大膽地采用了三角級數(shù)表示函數(shù):1759年,拉格朗日在對聲學的研究中使用了三角級數(shù).1777年,歐拉在天文學的研究中,用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角函數(shù)時的系數(shù).也就是現(xiàn)今教科書中傅立葉級數(shù)的系數(shù).第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日

在歷史上,三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程

1753年.丹貝努利首先提出將弦振動方程的解表示為是分不開的.三角級數(shù)的形式,這為傅立葉級數(shù)題奠定了物理基礎,促進了它的發(fā)展.

1822年,傅立葉在?熱的解析理論?一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情形采用的三角級數(shù)方法進行加工處理,發(fā)展成一般理論.傅立葉指出:可以展開成級數(shù)第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日其中~第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在機動目錄上頁下頁返回結束(二)、三角函數(shù)系的正交性第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在機動目錄上頁下頁返回結束第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:2.展開的條件是什么?且能展開成三角級數(shù)第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日(利用正交性)第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日(利用正交性)第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日傅里葉系數(shù)第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日代入傅里葉系數(shù)的三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)問題:在什么條件下函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù)?狄利克雷于1829年第一次對于傅立葉級數(shù)的收斂性給出了嚴格的證明.得到了現(xiàn)今教科書中的所謂狄利克雷判定準則.第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日定理(收斂定理,展開定理)設

f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x

為間斷點其中(證明略

)為f(x)的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點注意:

函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.簡介目錄上頁下頁返回結束第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日則有則有有既第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日例1.

設

f(x)是周期為2

的周期函數(shù),它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).

機動目錄上頁下頁返回結束第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結束第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1)

根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.機動目錄上頁下頁返回結束第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日

不同頻率正弦波逐個疊加成方波物理意義第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日傅里葉級數(shù)展開式的意義——函數(shù)的整體逼近.第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例2第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日非周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)并且滿足收斂定理的條件，可利用周期的延拓展開成傅里葉級數(shù)，第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法其它機動目錄上頁下頁返回結束第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日例3.

將函數(shù)級數(shù).則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),機動目錄上頁下頁返回結束第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結束第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日物理意義不同頻率余弦波逐個疊加成鋸齒波第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日利用此傅氏展開式求幾個特殊的級數(shù)的和第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日例4.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù).解:延拓成以2為周期的函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結束第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日例5解第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日

三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù)

1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日證奇函數(shù)同理可證(2)．偶函數(shù)證畢第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日定義第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例１第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日和函數(shù)圖象第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日觀察兩函數(shù)圖形第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日2.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成機動目錄上頁下頁返回結束第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日例1.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).

解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,機動目錄上頁下頁返回結束第四十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日注意:在端點x=0,,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束因此得

f(x)=x+1的值不同.

第四十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日第四十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日再求余弦級數(shù).將則有作,偶周期延拓機動目錄上頁下頁返回結束第五十頁，共五十三頁，2022年，8月28日說明:

令

x=0

可得即