第一章+三角形的證明（單元小結(jié)） 【備課精研 +高效課堂】 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （北師大版）

新課標(biāo)北師大版八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明單元復(fù)習(xí)本章知識(shí)架構(gòu)等腰三角形直角三角形線段的垂直平分線角平分線三角形的證明腰和底不相等等邊三角形全等三角形互逆命題與真假尺規(guī)作圖知識(shí)專題

本章所證明的命題大多與等腰三角形和直角三角形有關(guān)，主要包括哪些呢？1.等腰三角形（含等邊三角形）、直角三角形的性質(zhì)定理及判定定理；2.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理；3.角平分線的性質(zhì)定理及判定定理.知識(shí)專題一.與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的結(jié)論1.等腰三角形的性質(zhì)（4）頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”.（3）兩個(gè)底角相等，簡稱“等邊對(duì)等角”；（2）是軸對(duì)稱圖形，等腰三角形的頂角平分線（或底邊中線、底邊高線）所在的直線是它的對(duì)稱軸；（1）兩腰相等；知識(shí)專題2.等腰三角形的判定（1）有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊”）.說明：判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．知識(shí)專題3.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的三邊都相等；（2）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；（3）是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是三條高（或三條中線、三條角平分線）所在的直線;（4）任意角平分線、角對(duì)邊上的中線、對(duì)邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”.（5）在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.知識(shí)專題4.等邊三角形的判定（1）定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識(shí)專題說明：

在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；

若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來證明；

若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來證明.知識(shí)專題二.與直角三角形有關(guān)的結(jié)論1.直角三角形的性質(zhì)定理

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；知識(shí)專題2.直角三角形的判定定理（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.（3）如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（1）有一個(gè)角是90°的三角形叫做直角三角形；知識(shí)專題三.線段的垂直平分線1.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.2.逆定理：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.知識(shí)專題3.常見的基本作圖：(1)過已知點(diǎn)作已知直線的垂線；(2)作已知線段的垂直平分線．4.三角形的三邊的垂直平分線的性質(zhì)：

三角形的三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.知識(shí)專題四.角平分線的性質(zhì)與判定1.性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2.判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.3.三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)：三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.知識(shí)專題1．逆命題每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成結(jié)論，并將結(jié)論改成條件，便可以得到原命題的逆命題．五.命題和定理2．互逆命題在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．知識(shí)專題3．逆定理如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么，它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理．注意：每個(gè)命題都有逆命題，但一個(gè)定理不一定有逆定理．考點(diǎn)專練考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)例1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，則下列四個(gè)結(jié)論中：①AB上任一點(diǎn)與AC上任一點(diǎn)到D的距離相等；②AD上任一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2.正確的有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)C考點(diǎn)專練考點(diǎn)2等腰三角形的判定例2.將一副直角三角板如圖擺放，等腰直角三角板ABC的斜邊BC與含30°角的直角三角板DBE的直角邊BD長度相同，且斜邊BC與BE在同一直線上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD.求證：△CDO是等腰三角形．考點(diǎn)專練證明：∵

在△BDC中，BC＝BD，∴

∠BDC＝∠BCD.∵

∠DBE＝30°，∴

∠BDC＝∠BCD＝75°.∵

∠ACB＝45°，∴

∠DOC＝30°＋45°＝75°.∴

∠DOC＝∠BDC.∴

CD=CO.∴

△CDO是等腰三角形．考點(diǎn)專練考點(diǎn)3等邊三角形的性質(zhì)例3.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝________度。15考點(diǎn)專練考點(diǎn)4等邊三角形的判定例4.如圖，△ABC是等邊三角形，與BC邊平行的直線分別交AB和AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵

△ABC是等邊三角形，∴

∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵

DE∥BC，∴

∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．∴

∠ADE＝∠AED＝∠A＝60°．∴

△ADE是等邊三角形．考點(diǎn)專練考點(diǎn)5直角三角形例5.如圖，AB∥CD，△EFG的頂點(diǎn)F，G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠EFH＝20°，求∠EHB的度數(shù)．考點(diǎn)專練

考點(diǎn)專練考點(diǎn)6線段的垂直平分線例6.如圖，E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分別為C，D，連接CD，交OE于點(diǎn)F.求證：OE是CD的垂直平分線.考點(diǎn)專練證明：∵

E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，∴

DE＝CE.∵OE＝OE，∴

Rt△ODE≌Rt△OCE.∴

OD＝OC.∴

△DOC是等腰三角形．∵

OE是∠AOB的平分線，∴

OE是CD的垂直平分線．考點(diǎn)專練考點(diǎn)7角平分線的性質(zhì)與判定例7.

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，且DE＝DC.（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度數(shù)．考點(diǎn)專練解：(1)∵

DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴

點(diǎn)D在∠ABC的平分線上.∴

BD平分∠ABC.(2)∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°.∵BD平分∠ABC，∴∠