2018高等數(shù)學(xué)B(上)復(fù)習(xí)資料

華南理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院《高等數(shù)學(xué)（上）》指導(dǎo)一、判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域可否同樣1、f(x)lnx2與f(x)2lnx可否表示同一個(gè)函數(shù)？2、f(x)|x|與f(x)x2表示同一個(gè)函數(shù)二、常有的等價(jià)無(wú)量小及等價(jià)無(wú)量小替代原理常有的等價(jià)無(wú)量小：x0時(shí),x~sinx~tanx~arcsinx~arctanxx~ln(1x)~ex-11cosx~1x2,1x1~1x22無(wú)量小替代原理：在求極限過(guò)程中，無(wú)量小的因子可以用相應(yīng)的等價(jià)無(wú)量小替代例題：sin33x1、limx2？x0解：當(dāng)x0，sin3x~3x，精選原式=lim(3x)3lim27x0x0x2x02、limsin3x？x0x解：原式=lim3x3x0x1-cosx？3、limx2x0解：當(dāng)x0，1-cosx~1x221x21原式=lim22x0x24、limln(13x)？x0x解：當(dāng)x0，ln(1+3x)~3x原式=.lim3x3.x0x5、lime2x1？x0x精選解：當(dāng)x0，e2x1~2x原式=.lim2x2.x0x三、多項(xiàng)式之比的極限limx0，limx211，lim3x2x22x3xxx3xx3xx四、可導(dǎo)與連續(xù)等的關(guān)系1、若f(x)在x0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在,則f(x)在x0點(diǎn)連續(xù).、2.若x0是f(x)的駐點(diǎn)，則它不必然是f(x)的極小值點(diǎn).五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（填空題）(x0)：表示曲線yf(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線斜率曲線..yf(x)..在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線方程為：yf(x0)f(x0)(xx0)曲線yf(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的法線方程為：yf(x0)1(xx0)f(x0)例題：精選1、曲線y4x在點(diǎn)M(2,3)的切線的斜率．4x解：y(4x)'(4x)(4x)(4x)x2(4x)2x282(4x)2x2、曲線cosx在點(diǎn)M(0,1)處的切線方程．2yex(cosx)'excosx(ex)解：yx0x2(e)x0sinxexcosxex1(ex)2x0cosx因此曲線y在點(diǎn)M(0,1)處的切線方程為：xey1(x0)，即xy103、曲線y1在點(diǎn)M(1,1)處的切線方程．3x2解：y2x352x133x1因此曲線y1在點(diǎn)M(1,1)處的切線方程為：3x2y12(x1)，即2x3y503精選六、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒ㄒ?guī)：yf(u),ug(x)yf[g(x)]:dydydudxdudx或y(x)f(u)g(x).微分：dyf(x)dx例題：1、設(shè)yx21，則y'？解：y'1x21x2x12211x22、設(shè)ysinx2，則y'？解：y'cosx2x2'2xcosx23、設(shè)y2sinx，則dy？解：y'2sinxln2sinx'2sinxcosxln2則dy2sinxcosxln2dx、設(shè)x，則dy？4ysine精選解：y'cosexex'excosex因此dyxcosxeedx5、設(shè)yex2，則dy？（答案：2xex2dx）七、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求極值例題：1、求yxlnx的單調(diào)區(qū)間和極值．解：定義域x(0,)令ylnx10，求出駐點(diǎn)xe1x(0,e1)e1(e1,)y-0+y單調(diào)減極小值點(diǎn)單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e1]，單調(diào)遞加區(qū)間為(e1,)極小值為y(1)1．ee2、求yxex的單調(diào)區(qū)間和極值．解：定義域x(,)令yexxex(1x)ex0，求出駐點(diǎn)x1精選x(,1)1(1,)y+0-y單調(diào)增極大值點(diǎn)單調(diào)減函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[1,)，單調(diào)遞加區(qū)間為(,1)，極大值為y(1)e1．3、求函數(shù).f(x)ex2.的單調(diào)區(qū)間和極值．解：定義域x(,)令f(x)2xex2，得x0x(,0)0(0,)y+0-y單調(diào)增極大值點(diǎn)單調(diào)減單調(diào)遞加區(qū)間：(,0)，單調(diào)遞減區(qū)間：(0,)，極大值為f(0)1．4、求函數(shù)f(x)1x3x的極值．答案：極小值為y(1)2，332極大值為y(1)3八、隱函數(shù)求導(dǎo)精選例題：1、求由方程exsinyxy20所確立的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dy．dx解：方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得：excosyy(y22xygy)0即y

y2excosy2xy2、求由方程ycos(xy)所確立的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dy．dx解：方程兩邊同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)，得：ysin(xy)(1y)即sin(xy)yy)1sin(x3、求由方程ysin(xy)所確立的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dy．答案：dycos(xy)dxdx1cos(xy)精選4、求由方程xylnxlny0所確立的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dy．答案：dyydxdxx九、洛必達(dá)法規(guī)求極限，注意結(jié)合等價(jià)無(wú)量小替代原理例題：1、求極限lim11ex1sinxx0解：原式limsinx(ex1)(ex1)sinxx0limsinx(ex1).當(dāng)x0時(shí)，sinx~x,ex1~x.x0x2limcosxexx02xsinxexlimx0212xsinx02、求極限limtan3x0x0精選解：原式=limxsinx當(dāng)x0時(shí)，tanx~xx0x3lim1cosx3x2x01x21=lim2當(dāng)x時(shí)，x23x2x0216x03、求limex1（答案：1）x0x202十、湊微分法求不定積分（或定積分）簡(jiǎn)單湊微分問(wèn)題：e2xdx，sin4xdx，cos5xdx,lnxdlnx一般的湊微分問(wèn)題：xdx，x23x2dx，1x21sinxdx，lnxdxcosxx例題：1、xdx1x2解：注意到(1x2)2x精選原式=11x2d1x2參照公式1dx2xC21xx2112C2、x23x2dx解：注意到(23x2)6x原式=123x2d(23x2)參照公式xdx2x23C631(2-3x2)3C93、sinxdx1cosx解：注意到(1cosx)sinx原式=11d(1cosx)參照公式1dxln|x|Ccosxx=ln|1cosx|C4、e5xdx解：原式=e5xd(5x)參照公式exdxexC=e5xC精選5、cos5xdx解：原式1cos5xd(5x)參照公式cosxdxsinxC51sin5xC56、sin3xdx解：原式1sin3xd(3x)參照公式sinxdxcosxC3cos3xC十一、不定積分的分部積分法（或定積分）諸如xsinxdx，xcosxdx，xexdx，xexdx，xlnxdx，可采納分部積分法分部積分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)例題：、求不定積分xsinxdx．1解xsinxdxxd(cosx)xcosx(cosx)dx精選xcosxcosxdxxcosxsinxC2、求不定積分xexdx解xexdxxdexxexexdxxexexC、求不定積分xlnxdx3解xlnxdx12)lnxd(x21x2lnx1x2dlnx221x2lnx1xdx221x2lnx1x2C24十二、定積分的觀點(diǎn)及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)：定積分的幾何意義，奇偶對(duì)稱性等例題：精選1、定積分ax3ex2dx等于．a(chǎn)解：由于x3ex2是x的奇函數(shù)，因此原式=02、定積分ax2sin3xdx等于．a(chǎn)解：由于x2sin3x是x的奇函數(shù)，因此原式=0定積分x2sinx等于．3、1x2dx解：由于x2sinx是x的奇函數(shù)，因此原式=01x2十三、變上限積分函數(shù)求導(dǎo)變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(x)''(x)f(x)gaf(t)dtF(x)x3(C)f(t)dt,則F'(x)a解F'(x)f(x3)g(x3)'＝3x2f(x3)例題：x341、設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)f(t)dt，則F(x)a（C）．精選A．f(x)B．f(x3)C．3x2f(x3)D．3x2f(x)x2，則2、設(shè)f(x)arctantdtf(x)2xarctanx．1x3，則f(x)3、設(shè)0sintdtsinx．3f(x)十四、湊微分法求定積分（或不定積分）思想與不定積分近似例題：11、0x2x31dx解：注意到(x31)3x2原式11x31d(x31)參照公式xdx2x23C303=21(x31)390(221)十五、定積分的分部積分法（或不定積分）思想與不定積分近似精選例題：1、求定積分2xsinxdx．0解2xsinxdx2xd(cosx)00xcosx22(cosx)dx00cosxdx0sinx0212、求定積分1xexdx011解xexdxxdex00xex11exdx00(e2e

11

e1

10十六、求平面圖形面積知識(shí)點(diǎn)：X型積分地域的面積求法型積分地域的面積求法經(jīng)過(guò)作輔助線將已知地域化為若干個(gè)X型或Y型精選積分地域的面積求法例題：、求由ylnx、x0，yln2及yln7所圍成的封閉圖1形的面積．解：由ylnx得x