函數(shù)的奇偶性 - 拔高難度 -講義

函數(shù)的奇偶性知識(shí)講解一、幽數(shù)奇偶性的定義.奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果對于D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有-xeD,且f(-x)=-f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)..偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果對于D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-xeD，且f(-x)=f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù).二、奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)y=于。)是偶函數(shù)。y=于(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；.函數(shù)y=于。)是奇函數(shù)。y=于(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.三、判斷函數(shù)奇偶性的方法.定義法：首先判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)中心對稱．若不對稱，則為非奇非偶函數(shù)；若對稱，則再判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否為恒等式.定義的等價(jià)形式：f(x)土f(-x)=0,fx;=±1.f(-x).圖象法.性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D,D2,那么在它們的公共定義域D=D1^上奇士奇=奇，偶土偶=偶，奇x奇=偶，偶x偶=偶，奇x偶=奇；四、奇偶函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)具有奇偶性=其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；.函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)。y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；.函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)=y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱..奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．.若奇函數(shù)y=f（x）的定義域包含0,則f（0）=0.五、常見函數(shù)的奇偶性.正比例函數(shù)y=kx（k豐0）是奇函數(shù)；k.反比例函數(shù)y=-（k豐0）是奇函數(shù)；x.函數(shù)y=-+b（-豐0乃豐0）是非奇非偶函數(shù)；.函數(shù)y=ax2+c（a豐0）是偶函數(shù)；.常函數(shù)y=c是偶函數(shù)；k.對勾函數(shù)y=x+（k豐0）是奇函數(shù)；x經(jīng)典例題一，噢空題(共4小題)(2011?福建模擬)若函數(shù)f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)-g(x)=ex,則有f(x),g(x)的解析式分別為_,.【解答】解：???函數(shù)f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，則f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)又(x)-g(x)=ex,…①，f(-x)-g(-x)=e-x,.,?-f(x)-g(x)=e-x,…②TOC\o"1-5"\h\z由①②得，——故答案為：，——(2017?海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù).(1)則a=1(2)函數(shù)g(x)=f(x)--的值域?yàn)?-1,0)U(0,1).【解答】解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x))——,則有f(-x)=,若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則有,分析可得，a=1,(2)由(1)可得，a=1,則f(x)=,則g(x)=f(x)—=1,其中x/0,則g(-x)===-()=-g(x),則函數(shù)g(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)XT8時(shí)，g(x)-1,

即當(dāng)x〉0時(shí)，0<g(x)<1,???函數(shù)是奇函數(shù),?,?當(dāng)x<0時(shí)，-l<g(x)<0,綜上函數(shù)的值域?yàn)?-1,0)U(0,1),故答案為：L(-1,0)U(0,1),xx21>0恒成(2014春?杭州期中)若x￡2,8),不等式xx21>0恒成1111111ill立'則實(shí)數(shù)m的取值范圍是」十,十)【解答】解：2,8),二?不等式(m-m2)xx21>0可化為1111<1111令f(x)=11T，則1111U11—,7x^2,1.?.1111111—>0,11???f(x)在2,8)上單調(diào)遞增，1???f(x)在2,8)的最小值為f(2)1二?不等式(m-m2)xx21>0恒成立等價(jià)于liii111TT111TT解得一^<11故答案為：玲三，衛(wèi)把1.(2018?浙江模擬)若不等式2x2-(x-a)x-a-2三0對于任意x￡R恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是—-_【解答】解：令x-a=t,不等式2x2-(x-a)x-a-2三0對于任意x￡R恒成立，即為2(ta)2-2Ntt對一切實(shí)數(shù)t恒成立，當(dāng)t=0,可得a2N1；當(dāng)t>0時(shí)，2(ta)2-2Ntt即為t24at2a2-2三0恒成立，可得若對稱軸t=-2a<0,^aN0,且2a2-2三0,解得aN1；若t=-2a>0,即a<0,且-2a2-2<0,不符題意；當(dāng)t<0時(shí)，2(ta)2-2Ntt即為3t24at2a2-2三0恒成立，可得若對稱軸t=--a<0,即aN0,且三0,解得aN一；若t=—a>0,即a<0,且2a2-2三0,可得aW-1；綜上可得，原不等式恒成立時(shí)，aN一，可得a的最小值為一，故答案為：一.二，解答題(共13小題)已知函數(shù)f(x),當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x22x-1(1)若f(x)為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)在R上的解析式為?(2)若f(x)為R上的偶函數(shù)，則函數(shù)在R上的解析式為?【解答】解：(1)設(shè)x>0,則-x<0；:,當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x22x-1,，f(-x)=x2-2x-1,Vf(x)為R上的奇函數(shù)，???f(x)=-f(-x)=-x22x1,,〉???函數(shù)在R上的解析式f(x)=,；,<(2)設(shè)x>0,則-x<0；V當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x22x-1,，f(-x)=x2-2x-1,Af(x)為R上的偶函數(shù)，，f(x)=f(-x)=x2-2x-1,

且f(0)=f(-0)=-1,川川，???函數(shù)在R上的解析式f(x)=:,(2018?福州一模)已知函數(shù)f(x)=x2-x1.(1)求不等式f(x)三2x的解集；(8)上恒成立，求a的(2)若關(guān)于x的不等式f(x)--\8)上恒成立，求a的、取值范圍.【解答】解：(*/三。時(shí)〃f(x)=x2-x1三2x,解得：0<x<O4或x>O4，x<0時(shí)，f(x)=x2(x1產(chǎn)2人,解得：x<0,''f'''z-'綜上,x5-8，tHttu即I,8)；(2)f(x)三1a,x￡0,°°),(t故x2-x1三1a,故"1解得：-4WaW4.、Q?7.已知函數(shù)f(x)的定義域是(-8，0)u(0,8)，對定義域內(nèi)的任意m,n都有f(m?n)=f(m)f(n),且當(dāng)x>1時(shí)f(x)>0,f(2)=2，(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；(2)求證：f(x)在(0，8)上是增函數(shù)；(3)解不等式f(2x-1)<4.【解答】(1)證明：因?yàn)閷Χx域內(nèi)的任意m,n都有f(m?n)=f(m)f(n),所以，令m=n=1，貝Uf(1)=f(1)f(1),即f(1)=0；令m=n=-1,貝Uf(1)=f(-1)f(-1),即0=2f(-1),所以f(-1)=0．對定義域內(nèi)的任意m,取n=-1,有f(-m)=f(m)f(-1),即f(-m)=f(m),所以f(x)是偶函數(shù).(2)證明：設(shè)0<x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x1^)-f(X1)=f(X1)f(^)-f(x1)=f(^),因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)f(x)>0,且0>1,所以f(―)>0,人人即f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1).所以f(x)在(0,8)上是增函數(shù)；(3)解：由f(2)=2,得4=f(2)f(2)=f(2")=f(4),由(1),(2)得，f(2x-1)<4of(2x-1)<f(4)o0<2x-1<4,TOC\o"1-5"\h\zA/,A/*XXy解得-—<x<—,且x%匕XXXA/,A/*XXy所以不等式的解集為：x-—<x<—,且x%}.XXX8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,8),對任意正數(shù)x1,x2均有f(x1x2)=f(x1)ff(x2)．(I)請寫出一個(gè)這樣的函數(shù)f(x)；(II)若x>1時(shí)，f(x)>0,判斷f(x)在(0,8)上的單調(diào)性，并加以證明.你還能發(fā)現(xiàn)f(x)的其他性質(zhì)嗎？【解答】解：(I)???函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,8),對任意正數(shù)x1,x2均有f(x1x2)=f(x1)f(x2),???f(x)=0(x>0)就是這樣的函數(shù)(也可用f(x)=log2x).(II)類比對數(shù)函數(shù)提出猜想：f(x)在(0,8)上是增函數(shù).X證明：設(shè)0<x1<x2,則U>1,XxVx>1時(shí)，f(x)>0,X???f(—)>0,久“Af(x2)-f(xi)=f(xi^)=f(xi)+(/-f(xi)=f(守〉0,Af(x1)<f(x2),???f(x)在(0,8)上是增函數(shù)(證畢).f(x)還具有下列性質(zhì)：f(x)的圖象經(jīng)過(1,0)；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0.(A)6--18班已知函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)-f(y)=x(x2y1)成立，且f(1)=0.(1)求f(0)的值，及f(x)的解析式；(2)設(shè)條件P：當(dāng)久^久久久久時(shí)，不等式f(x)<5x1t恒成立；Q：設(shè)奇函數(shù)g(x)在-1,1上是增函數(shù)，且g(-1)=-1,當(dāng)ae-1,1時(shí)，g(x)Wt2-2at1對所有的xe-1,1恒成立.如果滿足P成立的實(shí)數(shù)t的集合記為A,滿足Q成立的實(shí)數(shù)t的集合記為B,求AA[rB.【解答】解：(1)令x=-1,y=1,則由已知f(0)-f(1)=-1(-121),Af(0)=-2…..(2分)令y=0,則Uf(x)-f(0)=x(x1),又???f(0)=-2,Af(x)=x2+x-2…..(4分)(2)不等式f(x)<5x1t即x2x-2<5x1t即t>x2-4x-3當(dāng)久-XXX久時(shí)，XXXXXXXXXXXXq,又t>x2-4x-3恒成立故xxxx病xXx.…(7分)依題意當(dāng)f(a)=I(b)時(shí)，t2-2atN0恒成立，可得te(-8,-2U0U2,8)…(10分)AB=(-8,-2U0U2,8),???CrB=(-2,0)U(0,2)….(11分)xAAACrB=xxx,xxxxx,xx…(12分)10.設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義域在R,并且滿足f(xy)=f(x)f(y),-，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求解不等由(x)f(2x)<2.【解答】解：(1)令x=y=0,則f(0)=f(0)f(0),??.f(0)=0(2)令y=-x,得f(0)=f(x)f(-x)=0,，f(-x)=-f(x),故函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)(3)f(x)是R上的增函數(shù)，證明如下：任取x1,x2eR,xFx2，則x2-x1>0Af(x2)-f(x1)=f(x2-x1x1)-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0Af(x1)<f(x2)故f(x)是R上的增函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z_,A_____A<_,又由y=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，得<-解之得<「故，-..函數(shù)f(x)滿足f(x2)=,求證：f(x)是周期函數(shù)，并求出它的一個(gè)周期.【解答】證明：???f(x4)=f((x2)2)==f(x),Af(x)是周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期.(a,b為常數(shù))是定.(2018春?大武口區(qū)校級期中)已知f(x)=義在(-1,1)上的奇函數(shù)，且(a,b為常數(shù))是定(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)并求值域;(3)求不等式f(2t-1)f(t)<0的解集.【解答】解：(1)由題意可得：|W(1「解得a=2,b=0,a.fzx面..1(x)="1.((((((f???x1<x2，???x1-x2<0???x1<x2，???x1-x2<0；(((((((((:-1<x1,x2<1,?.1-x1x2>0,.JA(III.f(x1)-f(x2)<0，???f(x1)<f(x2),???f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).???f(x)的值域?yàn)?-1,1).(3)Vf(2t-1)<-f(t)=f(-t),<<<<(2017秋?城關(guān)區(qū)校級期末)若f(x)是定義在(0,8)上的增函數(shù)，(((((((((((，且對一切x,y〉0,滿足,,：-、\\\\\\\\\\\(1)求f(1)的值；(2(2)若f(6)=1,解不等式8),【解答】解：(1)在f(F)=f(x)-f(y)中，f(x)定義在(0,8),令x=y=1,則有f(1)=f(1)-f(1),.f(1)=0.(2)Vf(6)=1,1???f(x3)-f(-)<2=f(6)f(6),1，f(3x9)-f(6)<f(6),111即f(——)<f(6).1???f(x)是(0,8)上的增函數(shù)，.孚〉1,?1孚〈1解得-3<x<9.即不等式的解集為(-3,9)(2017秋?思明區(qū)校級期中)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x2)=-f(x),當(dāng)x￡0,2時(shí)，f(x)=2x-x2(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x￡2,4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)…f(2016).【解答】(1)證明：If(x2)=-f(x),'?f(x4)=-f(x2)=f(x).??f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)解：??，x￡2,4,?一x￡-4,-2,?.4-x￡0,2,,f(4-x)=f(-x)=-f(x),?-f(x)=-x26x-8,又f(4-x)=f(-x)=-f(x),?-f(x)=-x26x-8,即f(x)=x2-6x8,x￡2,4.(3)解：???f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)=f(4)f(5)f(6)f(7)=...=f(2012)f(2013)f(2014)f(2015)=0,貝Uf(0)f(1)f(2)….f(2016)=f(2016)=f(0)=0.(2017秋?亭湖區(qū)校級月考)已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x都有f(x)=-f(x2),且當(dāng)x￡0,2時(shí)f(x)=x(x-2),(1)求f(-1),f(2.5)的值(2)寫出f(x)在-2,2上的解析式3(3)當(dāng)x￡-2,0時(shí)，求不等式f(x)>w的解集.【解答】解：(1)???f(x)=-f(x2),??.f(-1)=-f(1)=1.3f(2.5)=-f(0.5)=-.3TOC\o"1-5"\h\z(2)當(dāng)x￡-2,0時(shí)，x2￡0,2,，f(x)=-f(x2)=-(x2)(x2-2)=-x(x2).,，f(x)=3.3333333,3333V3(3)當(dāng)x￡-2,0時(shí)，f(x)=-x(x2)=-x2-2x,33由f(x)>^得-x2-2x>—,33解得：--<x<--.333??.當(dāng)xe-2,0時(shí)，求不等式f(*)>耳的解集為(下-刁).33333(2018春?金鳳區(qū)校級期末)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=——是奇函數(shù).(1)求a,b的值；(2)證明：函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)；(3)若對任意的teR,不等式f(t2-2t)f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范圍.【解答】解：(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(0)=0,即TTT=0，解得：b=1,f(-1)=-f(1),即三三二-三三解得：a=2證明：(2)由(1)得：f(x)=二二,設(shè)x1<x2,則f(xj-f(x)二二二-二二:_^^二_二二__,??y=2x在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)且函數(shù)值恒大于0,故—~-->0,_--->0,__--〉0.即f(x1)-f(x2)>0.??f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)；(3)由(2)知f(x)在(-8,8)上為減函數(shù).又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(t2-2t)f(2t2-k)<0,等價(jià)于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因?yàn)閒(x)為減函數(shù)，由上式可得：t2-2t>k-2t2.即對一切t￡R有：3t2-2t-k>0,從而判別式△=412k<0—k<-三所以k的取值范圍是k<-=.(2017秋?楊浦區(qū)校級期末)設(shè)集合M為下述條件的函數(shù)f(x)的集合:①定義域?yàn)镽;②對任意實(shí)數(shù)x1、x2(x1/x2),都有—三二一———Y———二.(1)判斷函數(shù)f(x)=x2是否為M中元素，并說明理由；(2)