談解析幾何教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)幾點(diǎn)有效途徑

談解析幾何教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)幾點(diǎn)有效途徑

Summary：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明確運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。它是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一。歷年高考中的三角函數(shù)題，數(shù)列，立體幾何題，解析幾何題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題，都要求考生有一定的運(yùn)算能力。而如今學(xué)生運(yùn)算能力差已成為困擾我們的一大問(wèn)題，本文以解析幾何教學(xué)中如何突破運(yùn)算難關(guān)，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)為例，談幾點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的有效途徑，愿與大家分享。Keys：數(shù)學(xué)運(yùn)算；核心素養(yǎng)；解析幾何在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題；能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣；形成一絲不茍，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。解析幾何變量多、運(yùn)算量大，是評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要題型。下面，本人結(jié)合自己解析幾何教學(xué)案例和教學(xué)反思，談?wù)剶?shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)在解析幾何教學(xué)中滲透的幾條有效途徑。一、明晰概念，夯實(shí)運(yùn)算根基現(xiàn)行高中教學(xué)改革和教學(xué)考試考查中對(duì)于概念的理解和把握越來(lái)越引起廣泛的重視。根深之樹(shù)不易折，泉深之水不會(huì)涸。準(zhǔn)確理解概念是取得數(shù)學(xué)運(yùn)算成功的重要根基，而學(xué)生許多錯(cuò)誤的原因主要是概念理解出錯(cuò)，或者概念理解不全。因此在課堂上就需要把概念講清講透，通過(guò)舉一反三，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解。例1：方程所表示的曲線是（）圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線解：觀察式子左邊與兩點(diǎn)間距離公式有關(guān)，式子右邊與點(diǎn)到直線的距離公式有關(guān)，可以將該式轉(zhuǎn)化為：翻譯為：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離相等。又定點(diǎn)在定直線外，確定該曲線為拋物線。選D。評(píng)注：看到代數(shù)式不要盲目的化簡(jiǎn)，根據(jù)已學(xué)的公式，學(xué)會(huì)式子的變形，充分挖掘代數(shù)式的幾何意義，讀懂式子。例2：已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為2，則點(diǎn)的軌跡是（）A.雙曲線的一支B.雙曲線C.兩條射線D.一條射線解析：不滿(mǎn)足雙曲線定義，所以是一條射線。選D。評(píng)注：注重圓錐曲線的概念解析和辨析，鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)知識(shí)，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，教師點(diǎn)評(píng)，幫助學(xué)生理清概念的來(lái)龍去脈，內(nèi)涵外延，理清脈絡(luò)體系，奠定運(yùn)算的基礎(chǔ)。二、一題多解，提供運(yùn)算通途一題多解是提高學(xué)生運(yùn)算水平和運(yùn)算能力的有效途徑，在課堂上若能借助于學(xué)生的思維對(duì)一些問(wèn)題進(jìn)行多解研討和研究，就可以有效拓展學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解。例3：已知直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求直線的方程。思路一：方程組法思路二：點(diǎn)參數(shù)法思路三：動(dòng)點(diǎn)參數(shù)法評(píng)注：解決解析幾何很多問(wèn)題通常有兩種方法，引進(jìn)“線”參數(shù)，或者引進(jìn)“點(diǎn)”參數(shù)。一題多解既可以加深學(xué)生對(duì)于解析幾何常用解法的應(yīng)用，也有利于讓學(xué)生體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于解決數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題中的普通性和通用性。三、優(yōu)化策略，提升運(yùn)算速度運(yùn)算策略是取得運(yùn)算成功的重要條件，好比作戰(zhàn)中的參謀部，可以為運(yùn)算提供最直接最有效的運(yùn)算方向和運(yùn)算步驟，運(yùn)算的基本要求是“算則對(duì)”，發(fā)展要求是“少算且對(duì)”，最高境界是“不算而對(duì)”。如何在“算對(duì)”的基礎(chǔ)上“少算”甚至“不算”，優(yōu)化運(yùn)算策略，其重要性不言而喻。例4：已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，求的最小值。解1：利用兩點(diǎn)間距離公式，設(shè)圓上一點(diǎn)，評(píng)注：直接計(jì)算難度很大，利用該式的幾何意義即：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方，問(wèn)題輕松而解。關(guān)注代數(shù)式的幾何意義，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升速度。解2：在中，為定值，所以當(dāng)最小時(shí)，有最小值。評(píng)注：關(guān)注涉及圖形的幾何性質(zhì)，利用幾何性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，構(gòu)建幾何意義下的代數(shù)運(yùn)算，可以峰回路轉(zhuǎn)，巧妙解題。例5：如圖，設(shè)橢圓（1）求直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用表示）；（2）若任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.解析：若需滿(mǎn)足題目條件，只需當(dāng)臨界情況，即半徑時(shí)，橢圓完整在圓內(nèi)，否則只需半徑再大一點(diǎn)就會(huì)有4個(gè)交點(diǎn).取相同y時(shí)，即所當(dāng)時(shí)，離心率評(píng)注：優(yōu)化運(yùn)算的策略，考慮特殊位置。轉(zhuǎn)化化歸，明確運(yùn)算方向在弄清問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系，對(duì)問(wèn)題的核心、類(lèi)型、解法有一個(gè)最初定向，但是在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中我們會(huì)遇到障礙，需要減化運(yùn)算過(guò)程，優(yōu)化運(yùn)算環(huán)節(jié)，靈活地變換各種運(yùn)算方法，將未知問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題。所以運(yùn)算過(guò)程中很多學(xué)生必須經(jīng)歷“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳岸花明又一村”的解題心路。例6：如圖：是拋物線（為正常數(shù)，）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)，且求證：直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)是否存在直線，使得若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由。解析：評(píng)注：解決解析幾何很多問(wèn)題可以利用方程的思想，“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)方法，從而進(jìn)行“整體代換”，最后得到運(yùn)算的結(jié)果。但是往往得到了式子跟韋達(dá)定理不匹配，或者多個(gè)參數(shù)不能整體代換，達(dá)到消參的目的，所以往往通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，對(duì)式子進(jìn)行變形，直到可以“整體代換”。四、強(qiáng)化計(jì)算，突破運(yùn)算難關(guān)計(jì)算是數(shù)學(xué)運(yùn)算不可逾越的基本功，提高計(jì)算能力首先要避免計(jì)算上的錯(cuò)誤，而課堂又是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力的重要場(chǎng)地，在課堂上若能重視運(yùn)算過(guò)程的體驗(yàn)，重視運(yùn)算障礙的分析，重視運(yùn)算方法和算理的分析，教師在課堂中應(yīng)重視運(yùn)算過(guò)程的演示，舍得留出時(shí)間，放手讓學(xué)生運(yùn)算，對(duì)于提高學(xué)生的計(jì)算能力和糾正計(jì)算常見(jiàn)錯(cuò)誤十分有效。結(jié)束語(yǔ)乍看不起眼的“運(yùn)算”是不少同學(xué)的“弱項(xiàng)”，運(yùn)算錯(cuò)誤則是試卷上的“硬傷”。解析幾何運(yùn)算能力的提升是一個(gè)循序漸進(jìn)，螺旋上升的過(guò)程。教師需要不斷的探索和改變教學(xué)方法，發(fā)揮教師應(yīng)有的示范性和引領(lǐng)性。如教師在板書(shū)時(shí)既要講知識(shí)也要指導(dǎo)學(xué)生如何計(jì)算，教給學(xué)生基本的方法，有針對(duì)性地給一些訓(xùn)練計(jì)算能力的練習(xí)題，要求他們要心算，也要筆算，即使是草稿也要整潔，因?yàn)椴莞宀皇恰傲什荨?。要求學(xué)生思想上重視，行動(dòng)上落實(shí)，習(xí)慣上強(qiáng)化，做到“有目標(biāo)、能堅(jiān)持”，那么突破運(yùn)算難關(guān)，提升核心素養(yǎng)亦是指日可待。正所謂靜待花開(kāi)，芬芳自來(lái)。Reference:徐樹(shù)旺.一類(lèi)圓錐曲線課本題的探究與拓展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：2015第1-2期（上旬）：53-55.陳玉娟.例談高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)——從課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的維度［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)：2016第8期任偉芳.為培育核心素養(yǎng)凸顯概念教學(xué)過(guò)程而設(shè)計(jì)--對(duì)“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”一課的點(diǎn)評(píng)［M］.陜西師范大學(xué)出版