d1-10連續(xù)函數(shù)性質(zhì)習題課

第十節(jié)一、最值定理二、介值定理

三、連續(xù)與間斷小結(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第一章

注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.一、最值定理定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:設(shè)則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點

,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束推論.

由定理1可知有證:

設(shè)上有界.二、介值定理定理2.

(零點定理)至少有一點且使機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(證明略)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.定理3.(介值定理)設(shè)且則對A

與B

之間的任一數(shù)C,一點證:

作輔助函數(shù)則且故由零點定理知,至少有一點使即推論:使至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.證明方程一個根.證:顯然又故據(jù)零點定理,至少存在一點使即說明:內(nèi)必有方程的根;取的中點內(nèi)必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在區(qū)間內(nèi)至少有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則則上連續(xù),且恒為正,例2.

設(shè)在對任意的必存在一點證:使令,則使故由零點定理知,存在即當時,取或,則有證明:小結(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)在上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當時,使必存在上有界;在在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.

任給一張面積為A

的紙片(如圖),證明必可將它思考與練習一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理可知:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明至少存在使提示:

令則易證2.

設(shè)一點習題課目錄上頁下頁返回結(jié)束三、連續(xù)與間斷小結(jié)1.函數(shù)連續(xù)的等價形式有2.函數(shù)間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束有界定理;最值定理;零點定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例1.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例2.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示:閱讀與練習且對任意實數(shù)證明f(x)

對一切

x

都連續(xù)

.P73題5機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:P73題5.

證明:若令則給定當時,有又根據(jù)有界性定理,,使取則在內(nèi)連續(xù),存在,則必在內(nèi)有界.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

確定常數(shù)a,b,

使解:原式故于是而機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

當時,是的幾階無窮小?解:

設(shè)其為的階無窮小,則因故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束閱讀與練習1.求的間斷點,并判別其類型.解:

x=–1為第一類可去間斷點

x=1為第二類無窮間斷點

x=0為第一類跳躍間斷點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

2.

求解:原式=1(2000考研)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

作業(yè)P73題2;3;4；P743(2),(3);8(1),(4),(5);9;10;11;12機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.求解