決策理論與方法之多屬性決策

《決策理論與方法》第九章多屬性決策第九章多屬性決策第二節(jié)確定權的常用方法第三節(jié)加權和法第五節(jié)TOPSIS法第二節(jié)確定權的常用方法一、權的概念二、常用的確定各屬性權的方法（一）最小二乘法（二）本征向量法三、最底層目標權重的計算簡單回顧目標間不可公度：各目標沒有統(tǒng)一的衡量標準或計量單位，因而難以進行比較。目標間的矛盾性：如果采用一種方案去改進某一目標的值，很可能會使另一目標的值變壞。為什么要引入權？多目標決策問題的特點也是求解的難點在于目標間的矛盾性和各目標的屬性值不可公度，求解多屬性決策問題同樣需要解決這兩個難點。其中不可公度性可通過屬性矩陣的規(guī)范化得到部分解決,但這些規(guī)范化方法無法反映目標的重要性。因此，引入權的概念，以衡量目標的重要性。屬性矩陣的規(guī)范化：就是對決策數(shù)據(jù)進行預處理。主要有6種方法，即線性變換、標準0-1變換、最優(yōu)值為給定區(qū)間時的變換、向量規(guī)范法、原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理、專家打分數(shù)據(jù)的預處理。為什么要引入權？

一、權的概念

權是目標重要性的度量,即衡量目標重要性的手段。權這一概念包含并反映下列幾重因素：①決策人對目標的重視程度②各目標屬性值的差異程度③各目標屬性值的可靠程度權應當綜合反映三種因素的作用，而且通過權，可以通過各種方法將多目標決策問題化為單目標問題求解。

一、權的概念

如前所述，權是目標重要性的數(shù)量化表示；但在目標較多時，決策人往往難于直接確定每個目標的權重。因此，通常的做法是讓決策人首先把各目標作成對比較，這種比較可能不準確，也可能不一致。例如，決策人雖然認為第一個目標的重要性是第二個目標重要性的3倍，第二個目標的重要性是第三個目標重要性的2倍，但他并不認為第一個目標的重要性是第三個目標重要性的6倍。因此，需要用一定的方法把目標間的成對比較結果聚合起來確定一組權，常用的有最小二乘法、本征向量法。

二、常用的確定各屬性權的方法

——最小二乘法

首先由決策人把目標的重要性作成對比較，設有n個目標，則需比較次。把第個目標對第個目標的相對重要性記為，并認為，這就是屬性的權和屬性的權之比的近似值，個目標成對比較的結果為矩陣A。

（9.8）二、常用的的確定各屬屬性權的方方法———最小二二乘法若決策人能能夠準確估計，，則有：：（9.9））且（（9.10）（9.11）二、常用的的確定各屬屬性權的方方法———最小二二乘法若決策人對對的的估估計不準確，則上列各各式中的等等號應為近近似號。這這時可用最最小二乘法法求即解：（9.12）受約束于：：二、常用的的確定各屬屬性權的方方法———最小二二乘法用拉格朗日日乘法解這這一有約束束純量優(yōu)化化問題，則則拉格朗日日函數(shù)為對求求偏偏導數(shù)，并并令其為0，得個個代代數(shù)方程：：（9.13）由式（9.13）及及共共個個方方程，其中中有及共共個個變變量，因此此可以求得得二、常用的的確定各屬屬性權的方方法———最小二二乘法式9.13的推導：：找出含的的項：對求偏導二、常用的的確定各屬屬性權的方方法———本征向向量法由式（9.8），得得即式中是是單位矩矩陣，如果果目標重要要性判斷矩矩陣A中的的值估計準準確，上式嚴格等等于0(n維0向量量)，如果果A的估計計不夠準確確，則A中中元素的小的攝攝動意味味著本征值的小的攝攝動，從從而有（（9.14）是矩陣A的的最大本本征值。。由（9.14）式可可以求得得本征向向量即權向量這這種方法法稱為本本征向量量法。二、常用用的確定定各屬性性權的方方法———本征征向量法法與最小二二乘法類類似，使使用這種種方法同同樣需要要求得矩矩陣A，為了了便于比比較第i個個目標對對第j個目目標的相相對重要要性，即即給出的的值，，Saaty根根據(jù)一般般人的認認知習慣慣和判斷斷能力給給出了屬屬性間相相對重要要性等級級表，見見表9.9，，利用該該表取的的值，，方法雖雖粗略，，但有一一定的實實用價值值。二、常用用的確定定各屬性性權的方方法———本征征向量法法在用該法法確定權權時，可可以用來來度量A中中各元素素的估計的的一致性性。為此此引入一一致性指指標CI：（9.15）CI與與與表9.10所給給同階矩矩陣的隨隨機指標標RI之比稱稱為一致致性比率CR，，即CR=CI/RI（（9.16）比率CR可用用來判定定矩陣A能能否被接接受。若若CR>0.1，，說明A中各各元素的的估計一一致性太太差,應應重新估估計。若若CR<0.1，，則可認認為A中各各元素的的估計基基本一致致,這時時可以用(9.14)式求得得,作作為n個目目標的權權。二、常用用的確定定各屬性性權的方方法———本征征向量法法由CR=0.1和和表9.10中的的RI值,用用式(9.15)和式式(9.16)可以求求得與n相相應的臨臨界本征征值：由上式算算得的見見表9.10。一旦旦從矩陣陣A求求得最最大本征征值大大于，，說明明決策人人所給出出的矩陣陣A中中各元素素的的一一致性太太差，不不能通過過一致性性檢驗，，需要決決策人仔仔細斟酌酌，調(diào)整整矩陣A中中元素的的值后后重新計計算，，直到到小小于為為止。。三、最底底層目標標權重的的計算比較復雜雜的多屬屬性決策策問題的的目標往往往具有有層次結結構。根根據(jù)不不同層次次的目標標間的關關系，可可以把多多層次的的目標體體系分成成兩類。。一種是是樹狀結結構，如如圖9.2(a)所所示，另另一種是是網(wǎng)狀結結構，如如圖9.2(b)所所示。下面分別別介紹這這兩種結結構的最最低層權權重的設設定方法法。三、最底底層目標標權重計計算—樹樹狀結構構對于樹狀狀結構的的目標體體系，只只要自上上而下，，即由樹樹干向樹梢，，求樹杈杈各枝相相對于樹樹杈的權權，如圖圖9.2(a)所示示的系統(tǒng)，，首先用用第二分分節(jié)介紹紹的方法法確定第第二層中中的三個目標B、、C、、D相相對總目目標A的權權且且使；其次確確定與第第二層各各目標相相關聯(lián)的的第三層層目標的權權，共三三組，使使直直到最最低層目目標相對上一一層次目目標的各各組權全全部設定定為止。。在求出上上述各組組權后，，只要將將上一層層次目標標的權與與該目標相關關的下一一層目標標的權相相乘即得得下一層層目標關關于總目標的權權。例如如目標H關關于總目目標的權權，，這樣依次次進行即即可獲得得最低層層各目標標相對于于總目標標的權。。三、最底底層目標標權重計計算—網(wǎng)網(wǎng)狀結構構對網(wǎng)狀結結構目標標體系，，可用下下述遞推推方法求求最低層層次各目目標的權權。設多目標標決策問問題的目目標共有有k+1級級，其中中第k-1、、k和和k+1級級如圖圖9.3所所示，我我們構構造一個個“第第k+1級的的某個元元素對對k-1級級的某個個元素z的的優(yōu)先函函數(shù)”（（優(yōu)先先函數(shù)表表示第k+1級中中各元素素對對第k-1級級中的的元素z的的相對的的重要即即優(yōu)先性性），我我們將此此函數(shù)記記作，，則三、最底底層目標標權重計計算—網(wǎng)網(wǎng)狀結構構（9.17）顯然，這這就是用用對對z的的總要性性乘乘以對對的的重要要性去衡量對對于z的優(yōu)先性。。三、最底層目目標權重計算算—網(wǎng)狀結構構如果令（（9.18）則（9.19））即（9.20））可以記作：（（9.21））三、最底層目目標權重計算算—網(wǎng)狀結構構第三節(jié)加權權和法一、一般加權權和法二、字典序法法三、層次分析析法（AHP）一、一般加權權和法加權和法的求求解步驟很簡簡單：①屬性表規(guī)范范化，得②確定各指標標的權系數(shù)，，③令（（9.23）根據(jù)指標的的大小排排出方案的的優(yōu)劣。示例用用加權和法法求解例9.2—研研究生院試評評估。為了取得經(jīng)驗驗，先選5所所研究生院收收集有關數(shù)據(jù)據(jù)資料進行了了試評估。表表9.3中所所給出的是為為了介紹各種種數(shù)據(jù)預處理理方法的需要要而選的幾種種典型屬性和和經(jīng)過調(diào)整了了數(shù)據(jù)。一、一般加權權和法對例9.2中的屬性性值表9.3，其中屬屬性2用用式（9.5）進行數(shù)據(jù)預處處理，其他他屬性用線性性變換作數(shù)據(jù)據(jù)預處理；設決策人設定定各屬性權重重分別為0.2,0.3,0.4,0.1，則則可得各屬性的處理理結果及加權權和，，如表9.11-1所示。一、一般加權權和法由上表知，方方案集X中中的各方案案排序為。而方案之之所所以能比優(yōu)優(yōu)，是是因為屬性1遠比方案案優(yōu)優(yōu)；若用式(9.7)對對屬性1作作處理，所得結果果見表9.11-2，，這時方案比比優(yōu)優(yōu)。一、一般加權權和法一、一般加權權和法加權和法，包包括評分打點點，由于其簡簡單、明了、、直觀，是人人們最經(jīng)常使使用的多目標標評價方法。。采用加權和和法的關鍵在在于確定指標標體系并設定定各最低層指指標的權系數(shù)數(shù)：有了指標標體系就可以以設法利用統(tǒng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)或專專家打分給出出屬性值表，，有了權系數(shù)數(shù)，具體的計計算和排序就就十分簡單了了。正因為此此，以往的各各種實際評估估過程中總要要把相當大的的精力和時間間用在確定指指標體系和設設定權上。一、一般加權權和法使用加權和法法意味著承認認如下假設：：①指標體系系為樹狀結構構，即每個下下級指標只與與一個上級級指標相關聯(lián)聯(lián)②每個屬性性的邊際價值值是線性的(優(yōu)劣與屬性性值大小成比比例)每兩個個屬性都是相互互價值獨立的的；③屬性間的的完全可補償償性：一個方方案的某屬性性無論多差都都可用其他屬性來補償。。事實上，這些些假設往往都都不成立。首先，指標體系通通常是網(wǎng)狀的，即至少有有一個下級指指標同時與二二個或二個以以上的上級指指標相關聯(lián)。其次，屬性的邊際際價值的線性性常常是局部部的，甚至有有最優(yōu)值為給定區(qū)間間或點的情況況存在，屬性性間的價值獨獨立性條件也也極難滿足，至少是是極難驗證其其滿足。至于屬性間的的可補償性通通常只是部分的、有條條件的。因此，使用加加權和法要認認識到加權和和法本身存在的種種局局限性并采取取相應的補救救措施，這樣樣加權和法才才不失為一種簡明而而有效的多目目標評價方法法。二、字典序法法字典序法是在在（（符號號?表示遠遠遠大于）時的的加權和法，，即某個目標標特特別重要,它與重要性性處于第二位位的目標相比比重要得多，，重要性處于于第二位的目目標又比重要要性處于第三三位的目標重重要得多………。實質上，字典典序法是單目目標決策,首首先只根根據(jù)最重要目目標的屬性值值的優(yōu)劣來判判斷方案集X中各方案案的優(yōu)劣；只只有當兩個或或多個方案的的最重要目標標的屬性值相相同時，再比比較它們的第第二重要的目目標的屬性值值；如此繼續(xù)續(xù)，直到排定定所有方案的的優(yōu)劣次序為為止。這種決策方法法雖然看起來來并無道理，，但是它與實實際生活中某某些人的決策策方式很接近近，因為有些些人傾向于在在最重要的目目標得到滿足足之后再去考考慮重要性較較差的目標。。例如許多家家庭主婦在選選購家用電器器時用的就是是字典序法。。顯然，這種方方法不適于重重大問題的決決策。二、字典序法法例不粘性（0.6）價格（0.3）重量（0.1）A0.60.70.3B0.60.50.4C0.30.20.7方案屬性（權重）三、層次分析析法層次分析法的的求解步驟如如下：第一步由決決策人利用表表9.9構構造矩陣A。第二步用本本征向量法求求和和。。第三步矩陣陣A的一一致性檢驗。。若最大本征征值大大于表9.10中給給出的同階矩陣陣相應的時時不能通通過一致性檢檢驗,應重新新估計矩陣A直到小小于通通過一一致性檢驗時時，求的有有效效。第四步方案案排序。①各備選方方案在各目標標下屬性值已已知時,可可以根據(jù)指指標的大小排出方案i(i=1,…,m)的優(yōu)劣劣。②各備選方方案在各目標標下屬性值難難以量化時,可以通通過在各目標下優(yōu)劣的的兩兩比較(仍利用表9.9)求求得每個目標標下各方案的優(yōu)先性（（亦即權重）），再計算各各方案的總體體優(yōu)先性（即總總權重重）,根根據(jù)據(jù)總體體優(yōu)先先性的的大小小排出出方案案的優(yōu)優(yōu)劣。。三、層層次分分析法法例9.3設設某某高校校擬從從三個個候選選人中中選一一人擔擔任中中層領領導，，候選選人的的優(yōu)劣劣用六六個屬屬性去去衡量量，這這六個個屬性性是：：①健健康狀狀況②②業(yè)務務知識識③書書面表表達能能力④④口才才⑤道道德水水平和和⑥工工作作作風。。關于于這六六個屬屬性的的重要要性，，有關關部門門設定定的屬屬性重重要性性矩陣陣A為為三、層層次分分析法法①②②③③④④⑤⑥⑥①②②③③④④⑤⑤⑥⑥三、層層次分分析法法用本征征向量量法可可以求求得矩矩陣A的的最最大本本征值值。。但但是，，求要要解解n次次方程程，當當時時計計算比比較麻麻煩，，可以以用近近似算算法。。例例如Saaty給給出出了求求近近似值值的方方法，，這這種近近似算算法的的精度度相當當高，，誤差差在數(shù)數(shù)量級級。Saaty給給出的的求的的近似似算法法如下下：①A中中每行行元素素連乘乘并開開n次次方：：（9.24）②求權重重：（9.25）三、層層次分分析法法③A中每列列元素素求和和：④計算算的的值：：（9.26）用上述述近似似算法法求得得例9.3中中矩矩陣A的的小于6階階矩矩陣的的臨界界值，，可以以通過過一致致性檢檢驗，這這時的的本征征向量量為三、層層次分分析法法三、層層次分分析法法三階矩矩陣的的=3.116，，由表表9.12可可知知書面面表達達能力力和工工作作作風這這兩個個屬性性的比比較矩矩陣不不能通通過一一致性性檢驗驗。由由決策策部門門討論論后調(diào)調(diào)整如如下：：③書面表表達能能力④工作作作風三、層層次分分析法法這兩個個新的的比較較矩陣陣的最最大本本征值值分分別別為3.0328與與3.0213，，均小小于3.116，，通過過一致致性檢檢驗。。六個個屬性性的本本征向向量構構成如如下的的決策策矩陣陣：健康狀狀況業(yè)業(yè)務知知識書書面表表達口口才道道德水水平工工作作作風由知知，，應選擇擇候選選人X擔任任該職職務。。第五節(jié)節(jié)TOPSIS法法一、TOPSIS法法的求求解思思路二、TOPSIS法的的算法法步驟驟三、示示例一、TOPSIS法法的求求解思思路TOPSIS是是逼逼近理理想解解的排排序方方法的的英文文縮略略。它它借助助多屬屬性問問題的的理想解解和負理想想解給方案案集X中中各各方案案排序序。設一個個多屬屬性決決策問問題備備選方方案集集為衡量方方案優(yōu)優(yōu)劣的的屬性性向量量為；；這這時方案集集X中中的每每個方方案的的n個個屬性性值構構成的向量量是，，它作作為n維空空間中中的一一個點，，能惟惟一地地表征征方案案一、TOPSIS法法的求求解思思路理想解解是一個個方案案集X中中并并不存存在的的虛擬擬的最最佳方方案，，它的的每個個屬性性值都都是決決策矩矩陣中中該屬屬性的的最好好的值值；而而負理想想解則是虛虛擬的的最差差方案案，它它的每每個屬屬性值值都是是決策策矩陣陣中該該屬性性的最最差的的值。。在n維空空間中中將方方案集集X中中的各各備選選方案案與與理理想解解和負理理想解解的的距距離進進行比比較，，既靠靠近理