直梁的有限元分析

有限元法FiniteElementAnalysis內容有限元法的直接剛度法1直梁的有限元分析要求了解：單元、節(jié)點的概念理解：梁單元節(jié)點內力、節(jié)點載荷的概念梁單元剛度矩陣的概念掌握：梁單元剛度矩陣的建立辦法利用節(jié)點平衡組裝整體剛度作業(yè)超靜定懸臂梁的有限元分析2有限元分析的基本思想

整體離散標準單元分析單元組裝整體求解復雜工程結構如何離散？

分析什么？

如何組裝？

求解什么？

復雜結構離散化途經(jīng)

自然離散逼近離散單元

直梁的離散化直梁的單元分析直梁的整體組裝本節(jié)提要一個例題：MDCBAZ已知E、I、Z、M,AB=BC=CD=L,IAC=2I,ICD=I求:(1)A、D端約束反力；

(2)C處的撓度和轉角。Ansys演示…E=3.0e11I=6.5e-7,A=6.8e-4L=1,M=720,Z=3000

一、直梁的有限元模型

211節(jié)點：1，2單元編號1223節(jié)點：2，32單元編號433節(jié)點：3，43單元編號節(jié)點(node):1,2,3,4單元(element):1,2,3ZM4321123Z劃分單元的原則（設置節(jié)點的原則）幾何形狀發(fā)生改變處外載荷規(guī)律發(fā)生改變處（含約束）邊界點計算關心的位置單元尺寸要均勻M4321123

二、單元分析單元節(jié)點位移向量：jefifji單元變形：梁單元上每個節(jié)點的節(jié)點位移分量有2個：撓度和轉角，一般規(guī)定，向上為正，逆時針為正。

二、單元分析M4321123ijeqimiqjmj截面法：單元節(jié)點內力向量：梁在外力作用下，橫截面上的內力有2個：剪力、彎矩。所以，梁單元上每個節(jié)點的節(jié)點力有2個，用、來表示，規(guī)定：向上為正，逆時針為正。

梁單元上每個節(jié)點的節(jié)點載荷有2個：橫向力和力偶，一般規(guī)定，向上為正，逆時針為正。寫成列陣形式見式（2-5），表示節(jié)點的節(jié)點載荷。

同理：

（2-6）

二、單元分析（2-5）

節(jié)點力和節(jié)點載荷的區(qū)別：節(jié)點力是單元和節(jié)點之間的作用力，如果取整個結構為研究對象，節(jié)點力是內力；而節(jié)點載荷是結構在節(jié)點上所受到的外載荷或等效移置到節(jié)點上的外載荷。結構的節(jié)點載荷列陣為：

二、單元分析（2-7）

二、單元分析jeqimiqjmj單元受力：jefifji單元變形：力與變形的關系：由小變形、線彈性假設，得線性函數(shù)：

二、單元分析線性函數(shù)：矩陣表達：梁單元剛度矩陣Ke

二、單元分析單元剛度方程：符號名稱：

：單元節(jié)點內力向量：單元節(jié)點位移向量：單元剛度矩陣

二、單元分析:剛度矩陣元素的力學含義考察a11,

a21,a31,a41的含義，令a11：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生撓度為1，轉角為0的節(jié)點內力qi大小a21，a31，a41?ij

二、單元分析:剛度矩陣元素的力學含義a11a21a31a41的計算：a11：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生撓度為1，轉角為0的節(jié)點內力qi大小a21：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生撓度為1，轉角為0的節(jié)點內力mi大小ijqimi求單元剛度矩陣的第一列元素，由材料力學懸臂梁彎曲變形公式及疊加原理，可得：（2-13）

其中，、為單獨作用所產生的位移，、為單獨作用所產生的位移。

ijqimi

節(jié)點i的節(jié)點力

可得到，，，（2-14）

（2-15）

解方程（2-15）得：

（2-16）對梁單元分析受力，如圖所示，列平衡方程（2-17）

單元j的節(jié)點力解方程（2-17）得

（2-18）

ij考察a12,

a22,a32,a42的含義，令：a12：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生轉角為1，撓度為0的節(jié)點內力qi大小a22，a32，a42?

二、單元分析:剛度矩陣元素的力學含義

二、單元分析:剛度矩陣元素的力學含義a12a22a32a42的計算：a12：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生轉角為1，撓度為0的節(jié)點內力qi大小a22：固定j節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生轉角為1，撓度為0的節(jié)點內力mi大小由材料力學知識對懸臂梁分析，可得ijqimi對梁單元分析受力，列平衡方程，解得：

二、單元分析單元剛度矩陣的具體表達對稱矩陣

二、單元分析單元分析小結：單元變形分析單元內力分析單元剛度方程單元分析的任務：單元內力用單元變形表達

三、單元組裝利用單元分析技術，對各單元有：單元1：21q11m11q21m211單元2：32q22m22q32m322單元3：43q33m33q43m433

三、單元組裝組裝原理：位移協(xié)調條件節(jié)點平衡條件位移協(xié)調條件：各單元共享節(jié)點位移相等

三、單元組裝節(jié)點平衡條件：各節(jié)點滿足平衡條件M4321123節(jié)點1Z1M1m11q11節(jié)點2節(jié)點4Z4M4m43q43Z2M2m22q22q21m21Z3M3m33q33q32m32節(jié)點3節(jié)點1Z1M1m11q11節(jié)點1平衡方程：節(jié)點2平衡方程：Z2M2m22q22q21m21同理，可列出節(jié)點3、4平衡方程。節(jié)點4Z4M4m43q43Z3M3m33q33q32m32節(jié)點3整體剛度方程

將節(jié)點1、2、3、4的平衡方程整合為一個矩陣方程結構整體剛度方程

其中，為整個結構的節(jié)點載荷向量（外載、約束力）

為整個結構的節(jié)點位移向量

為結構的整體剛度矩陣，也稱總剛度矩陣對稱，稀疏，奇異，主對角元恒正

整體剛度矩陣具有下列性質和特點：對稱性：。奇異性：，不存在，這是因為尚未加入邊界約束條件之前，整個系統(tǒng)可以作剛體運動，因而位移不是唯一的。只有加入邊界約束條件后，約束了結構的剛體位移，才能使成為正定矩陣，從而得到位移的唯一解。稀疏性：整體剛度矩陣中非零的元素往往分布在對角線主元素的鄰近，呈狹長的帶狀分布，這是因為任一節(jié)點只與圍繞它的相連的單元發(fā)生聯(lián)系，而其他單元的節(jié)點位移不會引起該節(jié)點處的節(jié)點力，所以整體剛度矩陣的每一行中會有大量的零元素。結構的節(jié)點數(shù)越多，整體剛度矩陣的這個特點就越明顯。主對角線上的元素恒為正。疊加法形成整體剛度矩陣的具體步驟如下：

1）將單元剛度矩陣寫成分塊形式

（2-32）其中：——單元號；、——單元的兩節(jié)點的編號；——單元在節(jié)點的節(jié)點力向量；——節(jié)點的節(jié)點位移向量；——單元上，節(jié)點單位位移在節(jié)點引起的節(jié)點力向量。

1號單元： （2-33）

2號單元： （2-34）

3號單元： （2-35）2）將整體剛度矩陣寫成分塊形式（分塊矩陣的階數(shù)等于結構的節(jié)點數(shù)）

（2-36）3）疊加形成整體剛度矩陣 （2-37）四、總體剛度方程的求解力的邊界條件位移邊界條件四、總體剛度方程的求解對稱，稀疏，非奇異，主對角元恒正

五、回代求解未知載荷求解得解將節(jié)點位移代入各節(jié)點平衡方程，求得未知外載荷。節(jié)點位移向量本節(jié)課小結有限元法求直梁基本過程第一步，對直梁進行離散化，劃分為有限個單元。第二步，對各結點和單元進行編碼。第三步，進行單元分析，形成單元剛度矩陣。第四步，進行整體分析，形成整體剛度矩陣。第五步，引入邊界條件。邊界條件的引入可以使問題具有解的唯一性。第六步，求解方程組，計算結構的整體結點位移。第七步，求單元內力，未知外載荷。

作業(yè)MCBAZ3、已知E、I、Z、M,AB=BC=L有限元法求:(1)A、B端約束反力；

(2)C處的撓度和轉角。1、自學教材第2章，了解有限元過程基本概念2、理解教材第2章內容與本節(jié)課內容的關系

舉例例：如圖2.7（a）所示梁，已知、、、，求截面的轉角及約束力。（a）直梁模型圖2.7直梁常見幾種載荷移置解：（1）劃分單元，對單元和節(jié)點進行編號，如圖2.7(b)所示(b)直梁的有限元分析模型圖2.7（2）分析每一個單元，得到單元剛度矩陣，并寫成分塊形式。直梁單元剛度矩陣的公式前面已求得，由此可以得出1號單元和2號單元的單元剛度矩陣和（2-1）

（2-2）（3）疊加法形成整體剛度矩陣。

（2-3）

（4）求解有限元基本方程。有限元基本方程為：