三角形四心與向量典型問題分析

三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學(xué)“平面向量”（必修4第二章）的學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面，我們又以向量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題。在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題時(shí)，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算問題，最后將運(yùn)算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用向量相關(guān)知識(shí)，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)。既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì)，又體會(huì)了向量帶來的巧妙獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感。一、“重心”的向量風(fēng)采【命題1】已知是所在平面上的一點(diǎn)，若，則是的重心．如圖⑴.MM圖⑵圖⑵圖⑴【命題2】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過的重心.【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，如圖⑵.二、“垂心”的向量風(fēng)采【命題3】是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的垂心．【解析】由，得，即，所以．同理可證，．∴是的垂心．如圖⑶.圖⑷圖⑷圖⑶【命題4】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心．【解析】由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心，如圖⑷.三、“內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】已知為所在平面上的一點(diǎn)，且，，．若，則是的內(nèi)心．圖⑹圖⑹圖⑸【解析】∵，，則由題意得，∵，∴．∵與分別為和方向上的單位向量，∴與平分線共線，即平分．同理可證：平分，平分．從而是的內(nèi)心，如圖⑸.【命題6】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心．【解析】由題意得，∴當(dāng)時(shí)，表示的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，如圖⑹.四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的外心．圖⑺圖⑺圖⑻【解析】若，則，∴，則是的外心，如圖⑺。【命題7】已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的外心?！窘馕觥坑捎谶^的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示垂直于的向量（注