04 第四節(jié) 全微分

第四節(jié)全微分我們已經(jīng)知道，二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)其中一個自變量固定時，因變量對另一個自變量的變化率.根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，可得f(x+Ax,y)-f(x,y)?f(x,y)Axxf(x,y+Ay)-f(x,y)?f(x,y)Ayy上面兩式左端分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏增量，而右端分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏微分.在實際問題中，有時需要研究多元函數(shù)中各個自變量都取得增量時因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問題.下面以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論.如果函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)Pr(x+Ax,y+Ay)為這鄰域內(nèi)的任意一點，則稱f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量Ax,Ay的全增量，記為Az，即Az=f(x+Ax,y+Ay)一f(x,y). (4.1)一般來說，計算全增量比較復(fù)雜.與一元函數(shù)的情形類似，我們也希望利用關(guān)于自變量增量Ax,Ay的線性函數(shù)來近似地代替函數(shù)的全增量Az，由此引入關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義.內(nèi)容分布圖示全微分的定義可微的充分條件全微分的定義可微的充分條件例3 ★例4可微的必要條件TOC\o"1-5"\h\z★例1 ★例2多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系全微分在近似計算中的應(yīng)用 ★例5絕對誤差與相對誤差 ★例6★內(nèi)容小結(jié) ★課堂練習(xí)★習(xí)題6-4★返回內(nèi)容提要：一、 微分的定義定義1如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay)―f(x,y)

可以表示為(4.2)Az=AAx+BAy+o(p),可以表示為(4.2)其中A,B不依賴于Ax,Ay而僅與x,y有關(guān),p=弋(Ax)2+(Ay)2,則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分，AAx+BAy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全微分，記為dz,即dz=AAx+BAy. (4.3)若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1(必要條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微分，則該函數(shù)在點(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)乞1必存在，且z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分dxdydz=Ax+ Ay. (4.4)dx dy我們知道，一元函數(shù)在某點可導(dǎo)是在該點可微的充分必要條件.但對于多元函數(shù)則不然.定理1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.由此可見，對于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微.因為函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況.但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：定理2(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)旦,比在點(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該dxQy點處可微分.三、 微分的計算dz=空dx+空dy.Qx Qy(4.5)習(xí)慣上，常將自變量的增量Ax、Ay分別記為dx、dy，并分別稱為自變量的微分.這dz=空dx+空dy.Qx Qy(4.5)上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分可表為(4.6)Qu Qu Qu(4.6)du=dx+dy+dz.Qx Qy Qz四、全微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)二兀函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)f(x,y), f(x,y)連續(xù)，且xyIAx1,1AyI都較小時，則根據(jù)全微分定義，有Az-dz即 Az-f(x,y)Ax+f(x,y)Ay.xy由Az=f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)，即可得到二兀函數(shù)的全微分近似計算公式f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)+f(x,y)Ax+f(x,y)Ay(4.7)xy例題選講：全微分的計算例1(講義例1)求函數(shù)z=4xy3+5x2y6的全微分.例2計算函數(shù)z=exy在點(2,1)處的全微分.例3(講義例3)求函數(shù)u eyz的全微分.2例4求函數(shù)u=xyz的偏導(dǎo)數(shù)和全微分.例5(講義例4)計算(1.04)2.02的近似值.例6測得矩形盒的邊長為75cm、60cm、以及40cm,且可能的最大測量誤差為0.2cm.試用全微分估計利用這些測量值計算盒子體積時可能帶來的最大誤差.課堂練習(xí)x2