2021年上海高三數(shù)學二模分類匯編：數(shù)列與極限

2（2021虹口二模）.limn-83n—13（2021嘉定二模）.已知等差數(shù)歹U｛%｝滿足a2=3a4—8,—,則Ulim(a+a+???+27 n-81 23（2021閔行二模）.—,則Ulim(a+a+???+27 n-81 2113（2021徐匯二模）.等比數(shù)列｛an｝（nEN*",若a2=16，『2,則A二——4（2021奉賢二模）.已知各項為正的等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S，若a+a—a2=0,n n 576則S= 115（2021崇明二模）.已知lim（1—x）n=0，則實數(shù)%的取值范圍是 n-86（2021寶山二模）.設(shè)無窮等比數(shù)列｛xn｝的公比為m，若lim（x6+x7+???+xn）=x4,則m=7（2021長寧二模）.在公差不為零的等差數(shù)列U｛an｝中，a3是彳與a9的等比中項，則a+a+,?,+aa98（20218（2021嘉定二模）.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且滿足S-an=4，則limS=1 _nn n-88（2021黃浦二模）.無窮等比數(shù)列｛a｝（neN*,aeR）的前n項和為S，且limS=2,n n nnn-8則首項a1的取值范圍是TOC\o"1-5"\h\z8（2021奉賢二模）.設(shè)S為正數(shù)列｛a｝的前n項和，S=qS+S,q>1,對任意的n>1,n n n+1 n1neN均有Sn+1<4an,則q的取值為8（2021普陀二模）.設(shè)無窮等比數(shù)列｛aj的前n項和為S〃，若a=1,且lim（S+SJ=3,n n n-8 n則公比q=38（2021靜安二模）.已知桶A中盛有2升水，桶B中盛有1升水，現(xiàn)將桶A中的水的;和0 0 041桶B中的水的;倒入桶A中，再將桶A與桶B中剩余的水倒入桶B中；然后將桶A中的0 4 1 00 1 131水的二和桶B中的水的;倒入桶A中，再將桶A與桶B中剩余的水倒入桶B中；若如此41 4 2 11 2中的水多 an-Sn,則繼續(xù)操作下去，則桶^（neN*）中的水比桶B代（neN*）9（2021長寧二模）.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn中的水多 an-Sn,則limn-+8limn-+8a1( 1 +…+ 19（2021金山二模）.若首項為1、公比為彳的無窮等比數(shù)列的各項和為S,S表示該數(shù)列3nnT91 2的前n項和，則lim（S+S++S—nS）的值為nT91 212（2021松江二模）.在數(shù)列｛a.｝中，a=3，a=1+a?a?a??…a，記T為數(shù)列｛'｝n 1 n+1 123 n n an的前n項和，則limT=nnT912（2021閔行二模）.已知數(shù)列｛an｝（neN*）滿足a=1a-aI+Ia-aI+…+Ia-aI（n>2），且a=1，a=a（a>1），貝Ua1+a2+a3+…+a24=（結(jié)果用含a的式子表示）12（2021虹口二模）.在數(shù)列｛a｝中，對任意neN*,a=k,當且僅當2k<n<2k+1,keN*,nn若滿足am+a2m+a4m+a8m+a16m>52，貝|m的最小值為（2021楊浦二模）.已知數(shù)列｛an｝是無窮等比數(shù)列，若a1<a2<0,則數(shù)列｛an｝的前n項和S（ ）nA.無最大值，有最小值 B.有最大值，有最小值C.有最大值，無最小值 D.無最大值，無最小值（2021崇明二模）.數(shù)列｛a｝滿足a=2，則”對任意的p,reN*,都有a=aa”n 1 p+r prTOC\o"1-5"\h\z是“｛an｝為等比數(shù)列”的（ ）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件（2021浦東二模）.數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,a1=m，且對任意的neN*都有an+an討=2n+1,則下列三個命題中，所有真命題的序號是（ ）①存在實數(shù)m，使得｛an｝為等差數(shù)列；②存在實數(shù)m，使得｛an｝為等比數(shù)列；③若存在keN*，使得Sk=Sk+1=55，則實數(shù)m唯一；A.① B.①② C.①③ D.①②③16（2021徐匯二模）.已知｛an｝是公差為d（d>0）的等差數(shù)列，若存在實數(shù)%1,%2,%fsin%+sin%+sin%+…+sin%=0…，％0滿足方程組1 .1,2. ,3 . ,9 ，則d的最小值為9 Iasin%+asin%+asin%+…+asin%=251 12 23 3 9 9A.B.C.D.A.B.C.D.(1)u￡Z((1)u￡Z(i=1,2，…,10)；(2)點(u5,2u2+u8)在函數(shù)y=4x的圖像上；(3)向量a=(1,u1)與b=(3,uio)互相平行；23TOC\o"1-5"\h\zu-u與-^―的等差中項為—(i=1,2,-,9)；那么，這樣的數(shù)列u,u，…，i+1 iu-u 2 1 2i+1 i tu10的個數(shù)為( ) TA.78 B.80 C.82 D.9020(2021金山二模).在數(shù)列｛a｝中，已知a1=2，a1a=2a-a1(n￡N*).(1)證明：數(shù)歹U｛工-1｝為等比數(shù)列；an求使得S>1.999的整數(shù)n的最小值;n(2)記b=anan+1，數(shù)列｛b｝的前n項和為求使得S>1.999的整數(shù)n的最小值;n(3)是否存在正整數(shù)m、n、k,且m<n<k，使得(3)是否存在正整數(shù)m、n、k,求出m、n、k的值；若不存在，請說明理由.20(2021靜安二模).將正奇數(shù)1,3,5,7……按上小下大、左小右大的原則排成如下的數(shù)陣，已知由上往下數(shù)，從第2行開始，每一行所有的正整數(shù)的個數(shù)都是上一行的2倍，設(shè)ajj(i,j￡N*)是位于這個數(shù)陣中第i行(從上往下數(shù))、第j列(從左往右數(shù))的數(shù).(1)設(shè)bn=an1(n￡N*)，求數(shù)列｛bn｝的通項公式；(2)若am:2021,求m、n的值；mn T(3)若記這個數(shù)陣中第n行各數(shù)的和為S，數(shù)列｛S｝的前n項和為T,求極限limRn n n neSn的值.21(2021松江二模).對于至少有三項的實數(shù)列｛an｝，若對任意的n(n￡N*,n>3),都存在S、2(其中s中t,s,t￡N*,s<n,t<n),使得a=a-a成立，則稱數(shù)列｛a｝具有性質(zhì)P. nSt n(1)分別判斷數(shù)列1、2、3、4和數(shù)列-1、0、1、2是否具有性質(zhì)P，請說明理由；(2)已知數(shù)列｛an｝是公差為d(d〉0)的等差數(shù)列，若bn=sinan,且數(shù)列｛an｝和｛bn｝都具有性質(zhì)P，求公差d的最小值；(3)已知數(shù)列cn=ln-aI-b(其中a中b,a,b￡N*),試探求數(shù)列｛cn｝具有性質(zhì)P的充要條件.

neN*.21（2021楊浦二模）.已知無窮數(shù)列｛q｝與無窮數(shù)列｛neN*.①ae{0,1,2},neN*:②?=(―1)n-Ia——aI,n b 2n4n+1n記數(shù)列{bn}的前n項積為Tn.第1行1第2行35第3片791113(1)若a(1)若a=b=1，a=0，a—1,（2）是否存在a1、a2、a3、a4，使得b1、bb3、b4成等差數(shù)列？若存在，請寫出一組a1、a2、a3、a4，若不存在，請說明理由;（3）若b1—1,求T2021的最大值.21（202121（2021長寧二模）.數(shù)列｛an｝滿足：a1―1，aeN*，n且對任意neN*，都有a<a1（2）設(shè)d―a1—a，求證：對任意neN*，都有d豐1；(3(3)求數(shù)列｛a｝的通項公式a.21（2021青浦二模）.已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，且a2—5，a8—23，數(shù)列｛bn｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，b1—2，且對任意正整數(shù)s、t都有bs+t―b?bt成立.（1）求數(shù)列｛an｝、｛bn｝的通項公式；（2）求證：數(shù)列｛bn｝中有無窮多項在數(shù)列｛an｝中；（3）是否存在二次函數(shù)f（%）和實數(shù)a，使得a、f（a）、f（f（a））、f（f（f（a）））為數(shù)列｛bn｝中連續(xù)4項？若存在，請寫出一個滿足條件的f（%）的解析式和對應(yīng)的實數(shù)a的值；若不存在，說明理由.21（2021浦東二模）.已知無窮實數(shù)列｛。｝（neN*），若存在M>0，使得對任意ngN*,nIal<M恒成立，則稱｛a｝為有界數(shù)列：記b=1a—aI（i=1,2,3，…,n-1），若存在T>0,n n i i+1 i使得對任意n>2，ngN*，b1+b2+b3+…+bn1<T恒成立，則稱｛an｝為有界變差數(shù)列.1（1）已知無窮數(shù)列｛an｝的通項公式為an=晟，ngN*，判斷｛an｝是否為有界數(shù)列，是否為有界變差數(shù)列，并說明理由；（2）已知首項a1=1,公比為實數(shù)q的等比數(shù)列｛,｝為有界變差數(shù)列，求q的取值范圍；（3）已知兩個單調(diào)遞增的無窮數(shù)列｛4｝和｛en｝都為有界數(shù)列，記fn=dn-en,ngN*，證明：數(shù)列｛f｝為有界變差數(shù)列.n21（2021閔行二模）.對于有限集S=｛a1,a2M3,…,a1,a｝（meN*，m>3），如果存在函數(shù)f（x）（f（x）=x除外），其圖像在區(qū)間D上是一段連續(xù)曲線，且滿足f（S）=S，其中f（S）=｛f（x）IxgS,S之D｝，那么稱這個函數(shù)f（x）是P變換，集合S是P集合，數(shù)列a1，a2，a3，???，a1，a是P數(shù)列.例如，S=｛1,2,3｝是P集合，此時函數(shù)f（x）=4-x是P變換，數(shù)列1、2、3或3、2、1等都是P數(shù)列.（1）判斷數(shù)列1、2、5、8、9是否是P數(shù)列？說明理由；（2）若各項均為正數(shù)的遞增數(shù)列Han｝（1<n<2021，neN*）是P數(shù)列，若P變換f（x）=9，求a?a??…a的值；x 1 2 2021（3）元素都是正數(shù)的有限集S=｛a1,a2,a3,…,am1,am｝（meN*，m>3），若a<aj，總有agS，其中1<i,j<m，試判斷集合S是否是P集合？請說明理由.ai21（2021寶山二模）.若數(shù)列滿足：從第二項起的每一項不小于它的前一項的九（九gR）倍，則稱該數(shù)列具有性質(zhì)PQ）.（1）已知數(shù)列-1，2-x，3-x具有性質(zhì)P（4），求實數(shù)x的取值范圍；（2）刪除數(shù)列31，32，…，3n，…中的第3項，第6項，…，第3n項，…，余下的項

按原來順序組成一個新數(shù)列匕｝,且數(shù)列｛)｝的前n項和為Tn,若數(shù)列｛Tn｝具有性質(zhì)P"),試求實數(shù)九的最大值；(3)記Zui=u+u+u+…+u(m(=N)，如果a>0(k=1,2,…,2021)，證i=m明：“嬰a>1”的充要條件是“存在數(shù)列｛x｝具有性質(zhì)P(1)，且同時滿足以下三個條件：knk=1(I)數(shù)列｛xn｝的各項均為正數(shù)，且互異；(II)存在常數(shù)A>0，使得數(shù)列｛xn｝收斂于A；(III)x一x=藝ax-Zax(n=1,2,…，這里x=0)”.n n-1 kn+k k+1n+k 0k=1 k=021(2021崇明二模).對于數(shù)列｛an｝，定義｛Aan｝為數(shù)列｛an｝的差分數(shù)列，其中Aan=an+1-an,ngN*，如果對任意的ngN*，都有Aan+1>Aan,則稱數(shù)列｛an｝為差分增數(shù)列.(1)已知數(shù)列1,2,4,x,16,24為差分增數(shù)列，求實數(shù)x的取值范圍；(2)已知數(shù)列｛an｝為差分增數(shù)列，且4=a2=1,anGN*，若ak=2021,求非零自然數(shù)k的最大值；(3)已知項數(shù)為2k的數(shù)列U｛log3an｝(n=1,2,3.??,2k)是差分增數(shù)列，且所有項的和等于k，證明:akak+1<3.21(2021虹口二模).若數(shù)列U｛an｝滿足“對任意正整數(shù)i、j,i豐j,都存在正整數(shù)k,使得ak=a「aj”，則稱數(shù)歹ij｛an｝具有“性質(zhì)P”.(1)判斷各項均等于a的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說明理由；(2)若公比為2的無窮等比數(shù)列｛an｝具有“性質(zhì)P”，求首項a1的值；a>ann-1,a豐a，設(shè)a=a,a<an+1na>ann-1,a豐a，設(shè)a=a,a<an+1n1nn-1a滿足aa=aa，求a；21(2021奉賢二模).設(shè)數(shù)列{a}滿足：a=]an+ksinann n+1[a+kcosaa=b.、一5九(1)設(shè)b=--,k=一8，若數(shù)列的前四項a、a、a.、6 123(2)已知k>0,n>4,ngN，當ag(0,—),bg(0,—),a<b時，判斷數(shù)列ij{a}22 n

是否能成等差數(shù)列，請說明理由；7（3）設(shè)a=4,b=7,k=1,求證：對一切的n>1,ngN，均有a〈一九.n221（2021嘉定二模）.已知數(shù)列｛an｝滿足：a1=1,Ian+1—an1=p”,ngN*,Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和.（1（1）若｛an｝是遞增數(shù)列，且3a1、4a2、

（2）已知〃=1，且｛a｝是遞增數(shù)列，

3 2n—15a成等差數(shù)列，求p的值；3｛a2n｝是遞減數(shù)列，求數(shù)列｛an｝的通項公式;（3）已知p=1,對于給定的正整數(shù)n，試探究是否存在一個滿足條件的數(shù)列｛a｝，使得nSn=n，若存在，寫出一個滿足條件的數(shù)列｛an｝；若不存在，請說明理由.2K2021普陀二模）.記實數(shù)a、b中的較大者為max{a,b},例如max{1,2}=2,max{1,1}=1,對于無窮數(shù)列｛a｝，記c^=max｛a2k1,a2k｝（kgN*）,若對于任意的kgN*,均有ck1<c/則稱數(shù)列｛a｝為“趨勢遞減數(shù)列”.n（1）根據(jù)下列所給的通項公式，分別判斷數(shù)列｛an｝是否為“趨勢遞減數(shù)列”，說明理由；n①a=（--）n:②a=sin—；n2 n 2（2）設(shè)首項為1的等差數(shù)列｛bn｝的前n項和為Sn,公差為d，且數(shù)列｛Sn｝為“趨勢遞減數(shù)列”，求d的取值范圍；（3）若數(shù)列｛4｝滿足d1、d2均為正實數(shù)，且dn+2=Idn-dn.J求證：｛dn｝為“趨勢遞減數(shù)列”的充要條件為｛d｝的項中沒有0.n21（2021黃浦二模）.定義：符號max｛x1,x2,x3｝表示實數(shù)X1、x2、\中最大的一個數(shù)；min｛x1,x2,x3｝表示x1、x2、x3中最小的一個數(shù)，如max｛-2,2,1.2｝=2,min｛-2,2｝=-2.設(shè)K是一個給定的正整數(shù)（K>3）,數(shù)列｛an｝共有K項，記A.=m