第七節(jié)二階常系數(shù)非線性微分方程

第七節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方y(tǒng)pyqyf

.應(yīng)齊次方程的通解的方法，因此，本節(jié)要解決的問題是如何求得方程(7.1)的一個(gè)特解y*方程(7.1)f(xf(x(7.1)的特解仍是非常的，這里只就f(x)的兩種常見的情形進(jìn)行討論1．f(x)Pm

是xmPm(x)a0xma1xm1am1xam2f(xPm(x)excosxPm(x)exsinx，其中，是常數(shù)，Pm(xx的一個(gè)m次分布圖★f(x)Pm ★例★例 ★例 ★例★例 ★例★f(x)

(x)excosx

(x)exsinxm★例 ★例 ★例m★例 ★例★內(nèi)容小 ★課堂練7—內(nèi)容要f(xPm(x)exf(xPm(x)ex時(shí)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(7.1)y*xkQm

的特解，其中Qm(xPm(x)同次（m次）的多項(xiàng)式，而k按的重?cái)?shù)（即若k0；若sk取為s）.二、f(x)Pm(x)excosxPm(x)exsinx型

ypyqyPm(x)excosxypyqyPm(x)ex

由公式知道，Pm(x)excosx和Pm(x)exsinx分別Pm(x)e(i)xPm(x)ex(cosxiypyqyPm(x)e(i)x 這個(gè)方程的特解的求法在上一段中已經(jīng)討論過.假定已經(jīng)求出方程(7.7)的一個(gè)特解，則根據(jù)方程(7.7)的指數(shù)函數(shù)e(ix中的i(0)所以i.因此方程(7.7)my*xkQ(x)e(i)m

0上述結(jié)論可推廣到n(7.8)k是特征方程含根i的重復(fù)次數(shù).例題選f(xPm(x)ex

2解 因3不是特征方程r25r60的根,故方程具有特解形式：y*b0e3x因2是特征方程r25r60的單根,故方程具有特解形式:y*x(b0xb1)e2x因1是特征方程r22r10y*x2(b0x2b1xb22（E02）y2y3y3x1的一個(gè)特解解f(xPm(x)exPm(x)3x1,對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r22r30,特征根為r11,r2由于0y*b0x

3b0x2b03b13x3b0

b0比較系數(shù)得

1解得

1y*x133（E03）y3y2yxe2x的通解解題設(shè)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r23r20特征根為r11,r2于是，該齊次方程的通解為YC1xC2e2x因2y*x(b0xb1代入題設(shè)方程,得2bx

x比較等式兩端同次冪的系數(shù),得

1,

* 2

x(x1)e.yCexCe2xx(1x 4yyxex的通解解特征方程為r210特征根為r1i,r2

YC1cosxC2sin觀察可得

yyxy*x,yyexy*1ex y*y*y*x1ex yC1cosx

sinxx1ex.25y2yy(6x24)exx1的特解解r22r10r1r21由第六節(jié)定4知,題設(shè)方程的特解是下列兩個(gè)方程的特解的和:y2yy(6x2y2yyx

1因特征方程有重根r1所以設(shè)方程(1)1

y*(b0x2b1xb2)x2ex將其代入方程(1并消去ex12bx26bx2b6x24即

1,b0,

y*1 2

于是得特解

(x2)xe.2又因特征方程有重根r1所以設(shè)方程(2)的特解為y*Ax22A1,B3得特解y*x2 *1 2yy1

(x2)x2

x6y3y3yyex的通解 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r33r23r10,特征根r1r2r3Y(C1xC2xC3x2由于1y*b0exb1 yYy*(CCxCx2)ex1ex. 7yy4sinx的通解解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根為r1,2iYC1cosxC2sinyyi是單根,故設(shè)y*Axeix代入上式得2Ai4Ay*2ixeix2xsinxi(2xcosx),y*2xcosyC1cosxC2sinx2xcosf(xPm(x)excosxPm(x)exsinx8（E04）yyxcos2x的通解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根為r1,2i,故對(duì)應(yīng)齊次方程的通YC1cosxC2sinyy2iy*AxB)e2ix4Ai3B0,3A1A1,B4 y*1x4ie2ix1x4i(cos2xisin 9

91xcos2x4sin2xi4cos2x1xsin2x y1xcos2x4sin yCcosxCsinx1xcos2x4sin 9y(xxy(x)1[6sin2x

y(0)0y(x

yy6sin2xyy3(1特征方程為r210特征根為r1i,r2i對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為YC1cosxC2sinf(x)33cos2xf1(xf2x),且i2i不是特征根，根據(jù)非齊次y*y*y*abcos2xcsin 代入方程定出a3,b1,c0yC1cosxC2sinxcos2xx0y(0)

y(0)

y(01x0y(01,y(0

y(0)定出C13,C21y(x)sinx3cosxcos2x例 求以y(C1C2xx2)e2x(其中C1,C2為任意常數(shù))為通解的線性微分方程解法 y2y(C22x)e2x

y2y2e2x2(C2

由式(1)知(C22x)e2xy2y代入(2)y2y2e2x2yy4y4y解法2 因y(C1C2x)e2x,由解的結(jié)構(gòu)知所求方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，對(duì)應(yīng)齊次線性方程有兩個(gè)特解e2x,xe2x,故有二重特征根r1r22,于是特征方程(r2)20r24r40y4y4yy4y4yf(xx2e2x為其解,f(x)(x2e2x)4(x2e2x)4x2e2x2e2x

y4y4y11ye2xx1)exyaybycex的一個(gè)特解,試確定常數(shù)a,b與c及該方程的通解解法 將ye2x(x1)ex代入原方程(42ab)e2x(32ab)ex(1ab)xexcex

42ab0,32abc,1aby3y2yexyC1e2xC2ex解法 將已知方程的特解改寫為ye2xexxexerx型的,如e2x是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,ex由項(xiàng)是Cexxex或(x1)ex是原非齊次方程的解,故ex也是對(duì)應(yīng)齊次方程的解(即r1也是(r2)(r