2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)全國(guó)卷2試題和答案解析

..2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．作答時(shí),務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．A． B． C． D．2．已知集合,則中元素的個(gè)數(shù)為A．9 B．8 C．5 D．43．函數(shù)的圖像大致為4．已知向量,滿足,,則A．4 B．3 C．2 D．05．雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為A． B． C．D．6．在中,,,,則A． B． C．D．7．為計(jì)算,設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入A．B．C．D．8．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是"每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和",如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是A．B．C．D．9．在長(zhǎng)方體中,,,則異面直線與所成角的余弦值為A．B．C．D．10．若在是減函數(shù),則的最大值是A．B．C．D．11．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足．若,則A．B．0 C．2 D．5012．已知,是橢圓的左、右焦點(diǎn),是的左頂點(diǎn),點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的離心率為B．C．D．二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分．13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．14．若滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_________．15．已知,,則__________．16．已知圓錐的頂點(diǎn)為,母線,所成角的余弦值為,與圓錐底面所成角為45°,若的面積為,則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23為選考題,考生根據(jù)要求作答．學(xué)科*網(wǎng)〔一必考題：共60分。17．〔12分記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,．〔1求的通項(xiàng)公式；〔2求,并求的最小值．18．〔12分下圖是某地區(qū)20XX至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額〔單位：億元的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)20XX至2016年的數(shù)據(jù)〔時(shí)間變量的值依次為建立模型①：；根據(jù)20XX至2016年的數(shù)據(jù)〔時(shí)間變量的值依次為建立模型②：．〔1分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；〔2你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由．19．〔12分設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)且斜率為的直線與交于,兩點(diǎn),．〔1求的方程；學(xué)科&網(wǎng)〔2求過(guò)點(diǎn),且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．20．〔12分如圖,在三棱錐中,,,為的中點(diǎn)．〔1證明：平面；〔2若點(diǎn)在棱上,且二面角為,求與平面所成角的正弦值．21．〔12分已知函數(shù)．〔1若,證明：當(dāng)時(shí),；〔2若在只有一個(gè)零點(diǎn),求．〔二選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]〔10分在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為〔為參數(shù),直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)．〔1求和的直角坐標(biāo)方程；〔2若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的斜率．23．[選修4－5：不等式選講]〔10分設(shè)函數(shù)．〔1當(dāng)時(shí),求不等式的解集；〔2若,求的取值范圍．2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D二、填空題13． 14．9 15． 16．三、解答題17．解：〔1設(shè)的公差為d,由題意得．由得d=2．所以的通項(xiàng)公式為．〔2由〔1得．所以當(dāng)n=4時(shí),取得最小值,最小值為?16．18．解：〔1利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為<億元>．利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為<億元>．〔2利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．理由如下：〔ⅰ從折線圖可以看出,20XX至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線上下．這說(shuō)明利用20XX至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)．20XX相對(duì)20XX的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,20XX至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說(shuō)明從20XX開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用20XX至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述20XX以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．學(xué)科*網(wǎng)〔ⅱ從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理．說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．19．解：〔1由題意得,l的方程為．設(shè),由得．,故．所以．由題設(shè)知,解得〔舍去,．因此l的方程為．〔2由〔1得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以AB的垂直平分線方程為,即．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為,則解得或因此所求圓的方程為或．20．解：〔1因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,且．連結(jié)．因?yàn)?所以為等腰直角三角形,且,．由知．由知平面．〔2如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得取平面的法向量．設(shè),則．設(shè)平面的法向量為．由得,可取,所以．由已知可得．所以．解得〔舍去,．所以．又,所以．所以與平面所成角的正弦值為．21．解：〔1當(dāng)時(shí),等價(jià)于．設(shè)函數(shù),則．當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減．而,故當(dāng)時(shí),,即．〔2設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．〔i當(dāng)時(shí),,沒(méi)有零點(diǎn)；〔ii當(dāng)時(shí),．當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若,即,在沒(méi)有零點(diǎn)；②若,即,在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若,即,由于,所以在有一個(gè)零點(diǎn),由〔1知,當(dāng)時(shí),,所以．故在有一個(gè)零點(diǎn),因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上,在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),．22．解：〔1曲線的直角坐標(biāo)方程為．當(dāng)時(shí),的直角坐標(biāo)方程為,當(dāng)時(shí),