（新課改地區(qū)）2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：第二章函數(shù)及其應(yīng)用2.3函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性【教材·知識梳理】1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有___________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于____對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有____________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于_____對稱f(-x)=f(x)y軸f(-x)=-f(x)原點(diǎn)2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有____________，就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中_____________的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)存在一個(gè)最小【常用結(jié)論】1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=，則T=2a(a>0).(3)若f(x+a)=，則T=2a(a>0).【知識點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn). (

)(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件. (

)(3)若T是函數(shù)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)的周期. (

)(4)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱. (

)(5)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱.(

)提示:(1)×.奇函數(shù)只有在原點(diǎn)有定義時(shí)才過原點(diǎn),而偶函數(shù)不管在原點(diǎn)有無定義,都不一定過原點(diǎn).(2)√.因?yàn)楹瘮?shù)具有奇偶性,所以定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱,而定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)不一定具有奇偶性.(3)√.由周期函數(shù)的定義可知正確.(4)√.因?yàn)閥=f(x+a)為偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a)=f(a-x),可知x=a為對稱軸.(5)√.由于y=f(x+b)的圖象關(guān)于(0,0)對稱,根據(jù)圖象平移變換,知y=f(x)的圖象關(guān)于(b,0)對稱,正確.【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號易錯(cuò)警示典題索引1奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱考點(diǎn)一、T12忽略奇偶函數(shù)定義中任意一個(gè)自變量考點(diǎn)一、T43周期性與軸對稱所對應(yīng)解析式的差別考點(diǎn)二、T34分段函數(shù)奇偶性的解析式考點(diǎn)三、角度1【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修1P48例1改編)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 (

)

A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x【解析】選D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).其余A、B、C選項(xiàng)均不滿足f(-x)=f(x).2.(必修1P49練習(xí)AT1改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 (

)A.y=x2sinx B.y=x2cosxC.y=|lnx|

D.y=2-x【解析】選B.根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,A選項(xiàng)為奇函數(shù);B選項(xiàng)為偶函數(shù);C選項(xiàng)定義域?yàn)?0,+∞),不具有奇偶性;D選項(xiàng)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).3.(必修1P43練習(xí)AT1改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)x∈[-1,1)時(shí),f(x)=則f=________.

【解析】f=f=-4×+2=1.答案:14.(必修1P53習(xí)題2-1AT9改編)已知定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log2x-3x,則f(-1)=______.

【解析】因?yàn)閒(1)=log21-3=-3,又f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=3.答案:3解題新思維活用奇函數(shù)最值性質(zhì),抽象函數(shù)的對稱性解題

【結(jié)論】1.奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數(shù)f(x)在D上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,則f(0)=0.2.抽象函數(shù)的對稱性已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,特別地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱.(3)若方程y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)的圖象關(guān)于(a,b)對稱.

典例1.設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=________.

【解析】顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)==1+,設(shè)g(x)=,則g(-x)=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案:22.函數(shù)y=f(x)對任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2020)+f(2021)+f(2022)的值為________.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對稱,所以f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4.所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4,所以f(2020)+f(2022)=-f(2018)+f(2018+4)=-f(2018)+f(2018)=0,所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.答案:4【遷移應(yīng)用】對于函數(shù)f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),選取a,b,c的一組值計(jì)算f(1)