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第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用【教材·知識梳理】

1.兩個向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,則______就是a與b的夾角,記作<a,b>

設θ是a與b的夾角,則θ的取值范圍是________________θ=0°或θ=180°?_____,________?a⊥b∠AOB0°≤θ≤180°a∥bθ=90°2.向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)①如果e是單位向量,則a·e=e·a=__________________________;

②a⊥b?_______;③a·a=____,|a|=④cos<a,b>=(__________);⑤|a·b|___|a||b|.|a|cosθ(θ是a與e的夾角)a·b=0|a|2|a||b|≠0≤(3)數(shù)量積的運算律①交換律:a·b=_____;②分配律:(a+b)·c=__________;③對λ∈R,λ(a·b)=_________=_________.(4)數(shù)量積的坐標運算設a=(a1,a2),b=(b1,b2),則①a·b=________;②a⊥b?__________;③|a|=__________;④cos<a,b>=b·aa·c+b·c(λa)·ba·(λb)a1b1+a2b2a1b1+a2b2=0【常用結(jié)論】(1)兩向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且a與b不共線.(2)兩向量a與b的夾角為鈍角?a·b<0且a與b不共線.(3)|a|cosθ(|b|cosθ)(θ是a與b的夾角)叫做向量a在b(b在a)方向上的投影.(4)(a±b)2=a2±2a·b+b2.(5)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(6)a與b同向時,a·b=|a||b|.(7)a與b反向時,a·b=-|a||b|.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩個向量的夾角的范圍是. (

)(2)一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量. (

)(3)a·b>0,則a與b的夾角為銳角;a·b<0,則a與b的夾角為鈍角. (

)(4)兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量. (

)提示:(1)×.由兩個向量夾角的定義可知:兩個向量夾角的范圍為(2)√.因為向量a在b方向上的投影|a|cosθ,它是一個實數(shù)值.(3)×.因為a·b>0,則a與b的夾角為銳角或零角;a·b<0,則a與b的夾角為鈍角或平角.(4)√.由向量的數(shù)量積,向量的加法、減法、數(shù)乘運算的定義可知,兩個向量的數(shù)量積結(jié)果為一實數(shù),兩個向量的和或差結(jié)果為向量,向量的數(shù)乘運算結(jié)果為向量.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1對“向量a在b方向上的投影”理解不準確考點一、T32數(shù)——向量與形——幾何關系之間不能靈活轉(zhuǎn)化考點二、T23混淆向量平行、垂直的等價條件考點三、角度3【教材·基礎自測】1.(必修4P128自測與評估T5改編)設a=(5,-7),b=(-6,t),若a·b=-2,則t的值為 (

)

A.-4

B.4

C.

D.-【解析】選A.因為a·b=5×(-6)-7t=-2,所以t=-4.2.(必修4P128自測與評估T4改編)已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6,則a與b的夾角θ為 (

)

【解析】選D.cosθ=,又0≤θ≤π,則θ=3.(必修4P108例1改編)已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角θ=120°,則向量b在向量a方向上的投影為________.

【解析】b在a方向上的投影為|b|cosθ=4×cos120°=-2.答案:-24.(必修4P115習題2-3AT6改編)在圓O中,長度為的弦AB不經(jīng)過圓心,則的值為________.

【解析】設向量的夾角為θ,則答案:1

【核心素養(yǎng)】數(shù)學運算——向量與三角變換的綜合

【素養(yǎng)詮釋】數(shù)學運算是根據(jù)法則、公式進行變形的正確運算,根據(jù)問題的條件尋找與設計合理、簡潔的運算途徑,它包括:分析運算條件、探究運算公式、確定運算程序.與向量數(shù)量積有關運算求解能力應關注以下三點:(1)平面向量數(shù)量積的定義及運算公式.(2)明確是哪兩個向量的數(shù)量積.(3)能建立平面直角坐標系的盡量建立坐標系.【典例】(2017·江蘇高考)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值.(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.【素養(yǎng)立意】

向量數(shù)量積與三角恒等變換,三角函數(shù)圖象與性質(zhì)結(jié)合,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【解析】(1)因為a∥b,所以3sinx=-cosx,又cosx≠0,所以tanx=-,因為x∈[0,π],所以x=.

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