山東省淄博市郭莊一貫制學(xué)校2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

山東省淄博市郭莊一貫制學(xué)校2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.4×5×6×…×n=（）A．A B．A C．A D．（n﹣4）!參考答案：A【考點(diǎn)】D4：排列及排列數(shù)公式．【分析】利用排列數(shù)公式直接求解．【解答】解：在A中，=n×（n﹣1）×…×6×5×4=4×5×6×…×n，故A正確；在B中，=n×（n﹣1）×…×6×5=5×6×…×n，故B錯(cuò)誤；在C中，=n×（n﹣1）×（n﹣2）×（n﹣3），故C錯(cuò)誤；在D中，（n﹣4）!=1×2×3×…×（n﹣1），故D錯(cuò)誤．故選：A．2.已知集合，集合，則A∩B=（

）A.{2,3} B.{－2} C.(－2,0) D.{－2,0}參考答案：D【分析】化簡集合B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B即可．【詳解】集合A＝{﹣2，0，2，3}，B＝{x|x2+2x≤0}＝{x|﹣2≤x≤0}，則A∩B＝{-2，0}．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡與交集的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．3.若“對任意的實(shí)數(shù)，不等式均成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）

參考答案：D4.已知，猜想的表達(dá)式為（）A. B.C. D.參考答案：B∵∴，即.∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.∴∴故選B.5.已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是：

（

）

A、雙曲線

B、雙曲線左支

C、一條射線

D、雙曲線右支參考答案：C6..若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與垂直,則=(

)A.2 B.0 C. D.參考答案：D【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，求出值從而得到切線的斜率，根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為-1建立等式關(guān)系，解之即可求出a的值，再根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象上求出b的值，從而求出所求.【詳解】，，即函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是，直線的斜率是，所以，解得.點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，，所以D選項(xiàng)是正確的.7.直線（a為實(shí)常數(shù)）的傾斜角的大小是(

)A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：D考點(diǎn)：直線的傾斜角．專題：計(jì)算題．分析：由已知中直線的方程，可以求直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，可以求出直線傾斜角的大?。獯穑航猓骸咧本€（a為實(shí)常數(shù)）的斜率為﹣令直線（a為實(shí)常數(shù)）的傾斜角為θ則tanθ=﹣解得θ=150°故選D點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的傾斜角，其中根據(jù)直線方程求出直線的斜率是解答本題的關(guān)鍵8.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與參考答案：D【分析】通過求定義域，可以判斷選項(xiàng)A，B的兩函數(shù)都不是同一函數(shù)，通過看解析式可以判斷選項(xiàng)C的兩函數(shù)不是同一函數(shù)，從而只能選D．【詳解】A．f（x）=x+1的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域不同，不是同一函數(shù)；B.的定義域?yàn)椋?，+∞），g（x）=x的定義域?yàn)镽，定義域不同，不是同一函數(shù)；C．f（x）=|x|，，解析式不同，不是同一函數(shù)；D．f（x）=x的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)镽，定義域和解析式都相同，是同一函數(shù)．故選：D．【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的定義，判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法：看定義域和解析式是否都相同．9.方程表示的曲線是（

）A．兩條互相垂直的直線

B．兩條射線

C．一條直線和一條射線

D．一個(gè)點(diǎn)參考答案：C10.命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是（

）

A.任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

B.任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C.存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D.存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，且f（0）=0則下列命題正確的是．（寫出所有正確命題的序號(hào)）①f（x）有極大值，沒有極小值；②設(shè)曲線f（x）上存在不同兩點(diǎn)A，B處的切線斜率均為k，則k的取值范圍是；③對任意x1，x2∈（2，+∞），都有恒成立；④當(dāng)a≠b時(shí)，方程f（a）=f（b）有且僅有兩對不同的實(shí)數(shù)解（a，b）滿足ea，eb均為整數(shù)．參考答案：①②③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由已知中函數(shù)f（x）滿足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，可得f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．【解答】解：①∵f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，∴f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，∴函數(shù)f（x）的極大值是f（1），沒有極小值；故①正確；②∵k=f′（x）=（1﹣x）e﹣x，∴f″（x）=e﹣x（x﹣2），令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2，∴f′（x）在（﹣∞，2）遞減，在（2，+∞）遞增，∴f′（x）最小值=f′（x）極小值=f′（2）=﹣，而x→∞時(shí)，f′（x）→0，∴k的取值范圍是；故②正確；③結(jié)合①②函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是凹函數(shù)，∴恒成立，故③正確；④當(dāng)a≠b時(shí)，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，則a∈（0，1），則ea∈（1，e），又有ea為整數(shù)．故ea=eb=2，同理a＞b時(shí)，也存在一對實(shí)數(shù)（a，b）使ea=eb=2，故有兩對不同的實(shí)數(shù)解（a，b）滿足ea，eb均為整數(shù)．故④正確；故答案為：①②③④12.已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為__________.參考答案：【分析】通過分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)化簡，從而得到答案.【詳解】由題意復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的實(shí)部為.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，實(shí)部的相關(guān)概念，難度不大.13.若，，，則a，b，c按從大到小的順序排列依次為______．參考答案：【分析】可看出，從而比較出a，b，c的大?。驹斀狻拷猓?，，；

．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性比較數(shù)的大小的方法．14.橢圓3x2+4y2=12的焦距為

．參考答案：2【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】將橢圓3x2+4y2=12的方程標(biāo)準(zhǔn)化，即可求得答案．【解答】解：∵3x2+4y2=12，∴+=1，設(shè)半焦距為c，則c2=4﹣3=1，∴c=1，2c=2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中各字母的幾何意義，屬于簡單題．15.已知a.b為正實(shí)數(shù)，則的大小關(guān)系為

。參考答案：略16.已知直線y=x+b與圓x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若?=0，則實(shí)數(shù)b的值為．參考答案：1或﹣4【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】將直線方程代入圓的方程，利用韋達(dá)定理，及以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，可得關(guān)于b的方程，即可求解，注意方程判別式的驗(yàn)證．【解答】解：由直線y=x+b與圓x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，消去y，得2x2+（2+2b）x+b2+4b﹣4=0①設(shè)直線l和圓C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是①的兩個(gè)根．∴x1x2=，x1+x2=﹣b﹣1．

②由題意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，即2x1x2+b（x1+x2）+b2=0③將②代入③得：b2+3b﹣4=0．

解得：b=1或b=﹣4，b=1時(shí)，方程為2x2+4x+1=0，判別式△=16﹣8＞0，滿足題意b=﹣4時(shí)，方程為2x2﹣6x﹣4=0，判別式△=36+32＞0，滿足題意所以滿足條件的b為：b=1或b=﹣4．故答案為1或﹣4．17.命題使的否定是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.參考答案：解析：（1）因?yàn)?,,所以,

即.當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí),方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,則使△=,即,即,

且,要使,

需使,即,所以,

即且,

即恒成立.所以又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓C:(1<R<2)相切于A1,由（2）知,

即

①,因?yàn)榕c軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,由（2）知得,即有唯一解則△=,

即,

②由①②得,

此時(shí)A,B重合為B1(x1,y1)點(diǎn),由

中,所以,,B1(x1,y1)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即當(dāng)時(shí)|A1B1|取得最大值,最大值為1.19.在一個(gè)不透明的箱子里裝有5個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5．甲先從箱子中摸出一個(gè)小球，記下球上所標(biāo)數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻后，乙從該箱子中摸出一個(gè)小球．（Ⅰ）若甲、乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同為平局），求甲獲勝的概率；（Ⅱ）若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，列舉出所有的基本事件，列舉出滿足條件的事件，根據(jù)古典概型的公式，得到結(jié)果．（2）根據(jù)古典概型公式算出兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6則甲獲勝，否則乙獲勝，把所得結(jié)果進(jìn)行比較，得到結(jié)論．【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字）表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的基本事件，則基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25個(gè)；（1）．則事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10個(gè)；則．）（2）．設(shè)：甲獲勝的事件為B，乙獲勝的事件為C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10個(gè)；則P（B）==所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．因?yàn)镻（B）≠P（C），所以這樣規(guī)定不公平．【點(diǎn)評】本題考查概率的意義和用列舉法來列舉出所有的事件數(shù)，本題解題的關(guān)鍵是不重不漏的列舉出所有的事件數(shù)．20.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（2，3），傾斜角為．（1）寫出直線l的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|?|PB|的值．參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）把曲線C的參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去θ，化為普通方程為x2+y2=16①，再依據(jù)條件求得直線l的參數(shù)方程．（2）把直線的參數(shù)方程代入①得，③，可得t1t2=﹣3，再由|PA|?|PB|=|t1||t2|=|t1t2|，求得結(jié)果．【解答】解：（1）把曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去θ，化為普通方程為x2+y2=16①，直線l的參數(shù)方程為②．（2）把②代入①得，③，設(shè)t1，t2是方程③的兩個(gè)實(shí)根，則t1t2=﹣3，所以|PA|?|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3．21.在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑為1．Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，O為極點(diǎn)．求圓C的極坐標(biāo)方程．參考答案：【考點(diǎn)】