2022年全國(guó)甲卷文科高考數(shù)學(xué)壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專練)

年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）壓軸真題解讀11．已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查橢圓方程的求解，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)【答案】B【解析】因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.【規(guī)律總結(jié)】根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法有：(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．(3)橢圓系方程①與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1共焦點(diǎn)的橢圓系為eq\f(x2,a2－k)＋eq\f(y2,b2－k)＝1(k<b2)．②與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有共同的離心率的橢圓系為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(λ>0)．12．已知，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)比較大小【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.【解后反思】1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時(shí)，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.16．已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．【命題意圖】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用【答案】##【解析】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.【易錯(cuò)】忽視基本不等式成立的條件20．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【命題意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)【解析】(1)由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；(2)，則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)椋实娜≈捣秶鸀?21．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【命題意圖】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力【解析】(1)拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；(2)設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.【感悟升華】圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何方法，即通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)變量的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．壓軸模擬專練1．（2022山東青島二中高三模擬）首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競(jìng)賽場(chǎng)館，它的設(shè)計(jì)創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動(dòng)，被形象地稱為雪飛天．中國(guó)選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺(tái)和男子單板滑雪大跳臺(tái)比賽的金牌．雪飛天的助滑道可以看成一個(gè)線段和一段圓弧組成，如圖所示.假設(shè)圓弧所在圓的方程為，若某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，故,所以直線所在的方程為：，代入，解得或（舍，離y軸較遠(yuǎn)的點(diǎn)），所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于起跳后的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在軸上的拋物線的一部分，故設(shè)拋物線方程為：，則，則由M點(diǎn)處切線斜率為1可得，，又，解得，所以該拋物線的軌跡方程為，即，故選：C.2．（2022遼寧本溪高級(jí)中學(xué)高三模擬）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，則橢圓方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4得，解得，設(shè)，直線l方程為，，，則，，由得，，即，所以①，又P在橢圓上，所以，即，代入①式得，即，因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，所以該式恒成立與無關(guān)，所以，解得，所以所求橢圓方程為．故選：D．3．（2022湖北襄陽(yáng)五中高三模擬）設(shè)．則a，b，c大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，故；，故；假設(shè)，有，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，則，所以成立，；故．故選：A．4．（2022浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬）比較，，的大?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù),則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，即.故選：D.5．（2022江蘇鹽城高三模擬）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，，若的邊BC的中點(diǎn)為D，則中線AD的長(zhǎng)度的取值范圍為________【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以所以，又，所以解法一：因?yàn)殇J角，所以解法二：銳角的外接圓中，弦BC對(duì)應(yīng)劣弧所對(duì)圓周角為，點(diǎn)A在弦BC對(duì)應(yīng)的優(yōu)弧上如圖，當(dāng)為時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)，當(dāng)頂點(diǎn)A在處時(shí)，為等邊三角形，AD過圓心.則．所以AD的長(zhǎng)度的取值范圍為．故答案為：6．（2022福建泉州七中高三模擬）銳角中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，有，且，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?所以，所以.所以.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以,所以.所以，即.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得：由正弦定理得：，.所以.因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所以，所?即在中，由兩邊之和大于第三邊，所以.綜上所述：.故答案為：7．（2022山東滕州一中高三模擬）已知函數(shù)，.(1)若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，.因?yàn)榍€與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，所以.則，解得.(2)由題意，，設(shè).①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以在上無零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，令，得．當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以在上無零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，符號(hào)變化如下，0+↘極小值↗所以.當(dāng)，即時(shí)，，所以，所以在上無零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，由，，所以至少存在一個(gè)零點(diǎn)，所以至少存在一個(gè)零點(diǎn).綜上，若無零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.(3)當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋畡t．由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立.此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞減.此時(shí)不是極小值點(diǎn)．即時(shí)，不合題意．綜上，滿足條件的的取值范圍為．8．已知函數(shù)，.(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍．【解析】(1)，則，其中，由題意可得，即，解得．(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，由，可得；由，可得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，則，由可得；由可得或.此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；④當(dāng)時(shí)，則，由可得；由可得或.此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.(3)對(duì)任意，均存在，使得，所以，當(dāng)時(shí)，有．在的最大值．由（2）知：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，所以，，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，由，知，所以，，則，則.綜上所述的取值范圍是．9．（2022遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn).(1)求橢圓及拋物線的方程；(2)如圖，過作直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)（P在Q的左側(cè)），點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證直線過定點(diǎn)N；并求當(dāng)l的傾斜角為時(shí)，點(diǎn)M到直線距離d的取值范圍.【解析】(1)由題意得，因?yàn)殡x心率為，∴，，∴,∴橢圓，，所以拋物線.(2)設(shè)，則，，∵，∴，同理可得，把代入l得，所以，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)l的傾斜為時(shí)，∴∴∴且，∴，，令則，，∵在上單調(diào)遞減，∴.10．（2022山東青州一中高三模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為E上位于第一象限的點(diǎn)，．(1)求拋物線E的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)拋物線在點(diǎn)P處的切線為直線l，直線與拋物線E交于M，N