第一章測(cè)試技術(shù)

第一章信號(hào)及其描述§1.1信號(hào)的分類與描述§1.2周期信號(hào)與離散頻譜§1.3瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜§1.4隨機(jī)信號(hào)HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院§1.1信號(hào)的分類與描述

信號(hào)的分類主要是依據(jù)信號(hào)波形特征來(lái)劃分的，在介紹信號(hào)分類前，先建立信號(hào)波形的概念。信號(hào)波形：被測(cè)信號(hào)幅值隨時(shí)間的變化歷程稱為信號(hào)波形。波形

為深入了解信號(hào)的物理實(shí)質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究是非常必要的，HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院信號(hào)波形圖：用被測(cè)物理量的強(qiáng)度（幅值）作為縱坐標(biāo)，用時(shí)間做橫坐標(biāo)，記錄被測(cè)物理量隨時(shí)間的變化情況。描述信號(hào)的常用方法（1）函數(shù)表達(dá)式f(t)

（2）波形“信號(hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用單邊指數(shù)信號(hào)函數(shù)表達(dá)式單邊指數(shù)信號(hào)波形圖1t0f(t)HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院§1.1信號(hào)的分類與描述一、信號(hào)的分類

從不同角度觀察信號(hào)，有如下分類方法：

1、按信號(hào)的規(guī)律分類

2、按函數(shù)性質(zhì)分類

3、按信號(hào)能量分類HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院1、按信號(hào)的規(guī)律分類是一種不能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)其未來(lái)瞬時(shí)值，也無(wú)法用數(shù)學(xué)關(guān)系方程描述的信號(hào)。比如:汽車奔馳時(shí)的振動(dòng)、飛機(jī)在大氣流中的浮動(dòng)、樹(shù)葉隨風(fēng)飄動(dòng)等。若信號(hào)可以表示為一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，因而可確定其任何時(shí)刻的量值，例如x(t)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院1、按信號(hào)的規(guī)律分類確定性信號(hào)中那些不具有周期重復(fù)性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)，它又由準(zhǔn)周期信號(hào)和瞬變非周期信號(hào)組成。按一定時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)，無(wú)始無(wú)終的信號(hào)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院1、按信號(hào)的規(guī)律分類由兩種以上的周期信號(hào)合成的，但其組成成分間無(wú)法找到公共周期，因而無(wú)法按某一時(shí)間間隔周而復(fù)始出現(xiàn)。除準(zhǔn)周期信號(hào)外其它的非周期信號(hào)，是一些或在一定時(shí)間區(qū)間存在，或隨著時(shí)間增長(zhǎng)衰減至零的信號(hào)，稱瞬變非周期信號(hào)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院(1)周期信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式：最簡(jiǎn)單常用的周期信號(hào)為簡(jiǎn)諧信號(hào)，其表達(dá)式為：——角頻率,——初相位,——頻率.（n=1、2、3……）n為任意整數(shù),——周期HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院例如，單自由度振動(dòng)系統(tǒng)作無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，其位移x(t)就是簡(jiǎn)諧信號(hào)；可用下式來(lái)確定質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)位置周期角頻率周期信號(hào)特點(diǎn):理論上任一周期信號(hào)均可看作無(wú)窮個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)之和HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械系統(tǒng)中，回轉(zhuǎn)體不平衡引起的振動(dòng)，往往也是一種周期性運(yùn)動(dòng)。例如，下圖是某鋼廠減速機(jī)上測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)波形(測(cè)點(diǎn)3)，可以近似地看作為周期信號(hào)。某鋼廠減速機(jī)振動(dòng)測(cè)點(diǎn)布置圖

某鋼廠減速機(jī)測(cè)點(diǎn)3振動(dòng)信號(hào)波形HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院(2)非周期信號(hào)

瞬變非周期信號(hào):例如錘子的敲擊力、承載纜繩斷裂時(shí)的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱爐中溫度的變化過(guò)程等，下圖是帶阻尼的單自由度振動(dòng)模型在脈沖力作用下的響應(yīng)。準(zhǔn)周期信號(hào):

是由有限個(gè)周期信號(hào)合成，但各周期信號(hào)的頻率之間不是公倍數(shù)關(guān)系，不存在公共周期，也即，其頻率比不是有理數(shù)，其合成信號(hào)不滿足周期信號(hào)條件。例如：這種信號(hào)往往出現(xiàn)于通信、振動(dòng)系統(tǒng)，應(yīng)用于機(jī)械轉(zhuǎn)子振動(dòng)分析、齒輪噪聲分析、語(yǔ)音分析等場(chǎng)合。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的周期信號(hào)，是無(wú)始無(wú)終地重復(fù)著某一變化規(guī)律的信號(hào)。實(shí)際應(yīng)用中，周期信號(hào)只是指在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)按照某一規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。實(shí)際上周期信號(hào)與非周期信號(hào)之間沒(méi)有絕對(duì)的差別，當(dāng)周期信號(hào)xT(t)的周期T無(wú)限增大時(shí)，則此信號(hào)就轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)x(t)。即注意：HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（3）非確定性信號(hào)非確定性信號(hào)：不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，其幅值、相位變化是不可預(yù)知的，所描述的物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過(guò)程。例如，汽車奔馳時(shí)所產(chǎn)生的振動(dòng)、飛機(jī)在大氣流中的浮動(dòng)、樹(shù)葉隨風(fēng)飄蕩、環(huán)境噪聲等。下圖為加工過(guò)程中螺紋車床主軸受環(huán)境影響的振動(dòng)信號(hào)波形。然而，必須指出的是，實(shí)際物理過(guò)程往往是很復(fù)雜的，既無(wú)理想的確定性，也無(wú)理想的非確定性，而是相互參雜的。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2、按函數(shù)性質(zhì)分:連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)

分類依據(jù)：自變量（即時(shí)間t）是連續(xù)的還是離散的。對(duì)于連續(xù)信號(hào)：自變量和幅值均為連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)；自變量是連續(xù)、但幅值為離散的信號(hào)，則稱為量化信號(hào)。

對(duì)于離散信號(hào)：信號(hào)的自變量及幅值均為離散的，則稱為數(shù)字信號(hào)；信號(hào)的自變量為離散值、但其幅值為連續(xù)值時(shí)，則稱該信號(hào)為被采樣信號(hào)。

HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院信號(hào)按函數(shù)性質(zhì)區(qū)分的四種形式

HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3、按能量性質(zhì)分能量信號(hào)和功率信號(hào)（1）能量信號(hào)

在非電量測(cè)量中，把信號(hào)的平方對(duì)其時(shí)間的積分稱為信號(hào)能量，當(dāng)滿足則認(rèn)為信號(hào)的能量是有限的，稱該信號(hào)為能量有限信號(hào)。簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。矩形脈沖、衰減指數(shù)信號(hào)等均屬這類信號(hào)。

例如：時(shí)，HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（2）功率信號(hào)若信號(hào)在區(qū)間的能量是無(wú)限值，但它在有限區(qū)間的平均功率是有限值這種信號(hào)稱為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)例如：簡(jiǎn)諧信號(hào)HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院二、信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述1、時(shí)域描述：以時(shí)間為獨(dú)立變量來(lái)表示信號(hào)。描述信號(hào)幅值隨時(shí)間的變化關(guān)系。

例：x(t)或2、頻域描述：以頻率為獨(dú)立變量來(lái)表示信號(hào)。描述信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)及各個(gè)頻率成分上的幅值和相位關(guān)系。ω0ωA0例：X(ω)、X(f)

或HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院信號(hào)頻譜X(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。時(shí)間幅值頻率時(shí)域分析頻域分析HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院若該周期方波用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，即得：上式說(shuō)明該周期方波是由一系列幅值和頻率不等，相位角為0的正弦信號(hào)疊加而成。例如：圖示是一個(gè)周期方波信號(hào)的時(shí)域描述。根據(jù)這個(gè)波形圖，我們可以寫(xiě)出其函數(shù)表達(dá)式。n=1、3、5…,信號(hào)合成示例HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院信號(hào)的頻譜在信號(hào)分析中，將組成信號(hào)的各頻率成分找出來(lái)，按序排列，得出信號(hào)的頻譜。若以頻率為橫坐標(biāo)，分別以幅值或相位為縱坐標(biāo)，即得到信號(hào)幅頻譜和相頻譜。頻譜表示了信號(hào)的各頻率成分，以及各頻率成分的幅值和相位。信號(hào)的幅頻譜和相頻譜：HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院信號(hào)的頻率特性，可用信號(hào)的頻譜來(lái)表示。在頻譜中，包含了信號(hào)的全部信息量。頻帶：復(fù)雜信號(hào)頻譜中各分量的頻率理論上可擴(kuò)展至無(wú)限，但因原始信號(hào)的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)，在工程應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率范圍稱為該信號(hào)的頻帶。在頻域上分析信號(hào)的方法稱為頻域分析。注意：HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院頻域分析應(yīng)用

在生活中也有許多應(yīng)用頻域分析的場(chǎng)合，例如可以用頻譜分析儀來(lái)對(duì)電子琴校音，看各琴鍵產(chǎn)生的音的頻率是不是準(zhǔn)確等等。

頻域分析主要用于識(shí)別信號(hào)中的周期分量，是信號(hào)分析中最常用的一種手段。案例：在齒輪箱故障診斷通過(guò)齒輪箱振動(dòng)信號(hào)頻譜分析，確定最大頻率分量，然后根據(jù)機(jī)床轉(zhuǎn)速和傳動(dòng)鏈，找出故障齒輪。案例：螺旋漿設(shè)計(jì)可以通過(guò)頻譜分析確定螺旋漿的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速，確定螺旋漿轉(zhuǎn)速工作范圍。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

圖中結(jié)論：任何信號(hào)都有相應(yīng)于時(shí)域波形的確定性頻率結(jié)構(gòu)即頻譜，信號(hào)在時(shí)域上有所變化，必然引起其頻譜發(fā)生相應(yīng)的變化。例：HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院§1.2周期信號(hào)與離散頻譜周期信號(hào)是經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后可以重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)，滿足條件x(t)=x(t+nT)

周期信號(hào)的重要特征：它們可以表示成無(wú)窮多個(gè)正弦和余弦函數(shù)之和。這個(gè)正弦和余弦函數(shù)的系列稱為傅里葉級(jí)數(shù)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院一、傅里葉級(jí)數(shù)定義二、傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（周期信號(hào)的頻域分析）三、周期信號(hào)的時(shí)域波形分析§1.2周期信號(hào)與離散頻譜HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院一、傅里葉級(jí)數(shù)定義傅里葉級(jí)數(shù)：描述周期信號(hào)的基本數(shù)學(xué)工具，通過(guò)它可以把周期信號(hào)展開(kāi)成無(wú)窮多個(gè)正弦或余弦函數(shù)之和。它有兩種表達(dá)形式：三角函數(shù)展開(kāi)式、復(fù)指函數(shù)展開(kāi)式。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院二、傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)式1、三角函數(shù)展開(kāi)式（條件）①在一個(gè)周期內(nèi)，具有有限個(gè)極大值和極小值②在一個(gè)周期內(nèi)有連續(xù)或有限個(gè)間斷點(diǎn)③函數(shù)的絕對(duì)可積其中：，(n＝1、2、3……)T0――周期，T0=2π/ω0；ω0――周期信號(hào)角頻率，又稱基頻；f0=ω

0

/2πHTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式表明，任意一個(gè)周期信號(hào)都可以認(rèn)為由兩種基本信號(hào)所組成。一類是由a0描述的直流分量、一類是由許多正交的、幅值分別以an、bn描述的、頻率各為基頻及其整數(shù)倍的余弦和正弦分量（即諧波）的迭加而成的。因此傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)了組成周期信號(hào)各分量的頻率結(jié)構(gòu)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，或令則，HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院從式可見(jiàn)，周期信號(hào)是由一個(gè)或幾個(gè)、乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的諧波疊加而成的。以角頻率ω為橫坐標(biāo)，幅值A(chǔ)n或相角Φn為縱坐標(biāo)作圖，則分別得其幅頻譜和相頻譜圖。由于n是整數(shù)序列，各頻率成分都是ω0的整倍數(shù)，通常把ω0稱為基頻．把成分稱為n次諧波。相鄰頻率間存在間隔，因而譜線是離散的，信號(hào)的譜線只會(huì)出現(xiàn)在等離散頻率點(diǎn)上，周期信號(hào)的頻譜為離散頻譜。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院(二)、復(fù)指函數(shù)展開(kāi)式引用數(shù)學(xué)上的歐拉公式，并將歐拉公式代入三角函數(shù)展開(kāi)式得：

令，，則其中HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院則，n＝1,2,3……例如：ωAnAω0ω0-ω000A/2Cn單邊譜雙邊譜ωHTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院例：周期方波頻譜圖HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：1離散性：周期信號(hào)的頻譜是離散的，每一條譜線代表一諧波分量。2諧波性：周期信號(hào)頻譜中的譜線只能出現(xiàn)在基頻的整數(shù)倍處。3收斂性：各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相角。工程中常見(jiàn)的周期信號(hào)其諧波幅值總的趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增加而減小的。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

4、小結(jié)

周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性

傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義：把一個(gè)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看作許多不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院注意：因?yàn)橹C波的幅度總趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增高而減少的，信號(hào)的能量主要集中在低頻分量，所以諧波次數(shù)信號(hào)的頻寬也可以根據(jù)信號(hào)的時(shí)域波形粗略地確定。對(duì)于有突變的信號(hào)（如周期方波信號(hào)），其頻帶寬度較寬，可取其基頻的10倍為頻寬，對(duì)于無(wú)突變的信號(hào)（如三角形波信號(hào)），信號(hào)變化較緩，頻寬較窄，可取基頻的3倍為頻寬。過(guò)高的那些分量所占能量很少，高階分量可忽略不計(jì)。那么應(yīng)當(dāng)取多少項(xiàng)合適呢?工程上提出了一個(gè)信號(hào)頻帶寬度的概念。信號(hào)頻寬的大小與允許誤差的大小有關(guān)，通常把頻譜中幅值下降到最大幅值的1/10時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率作為信號(hào)的頻寬，稱為1/10法則。在選擇測(cè)量?jī)x器時(shí)，測(cè)量?jī)x器的工作頻率范圍必須大于被測(cè)信號(hào)的頻寬，否則將會(huì)引起信號(hào)失真，造成較大的測(cè)量誤差。因此，在設(shè)計(jì)或選用測(cè)試儀器前必須了解被測(cè)信號(hào)的頻帶寬度。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院例：判斷說(shuō)法是否正確

同周期的三角形波和方波相比，在同樣的波形測(cè)試精度要求下，對(duì)測(cè)試裝置的通頻帶寬的要求要窄一些?！探忉專汗こ躺铣Ｒ?jiàn)的周期信號(hào)，其諧波分量的幅值總是隨著諧波次數(shù)的增加而減小，因此，在實(shí)際工程測(cè)試中，沒(méi)必要取那些高次的諧波分量。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院三、周期信號(hào)的強(qiáng)度描述（時(shí)域波形分析）信號(hào)的時(shí)域波形分析是最常用的信號(hào)分析手段，用示波器、萬(wàn)用表等普通儀器直接顯示信號(hào)波形，讀取特征參數(shù)。1、信號(hào)波形圖

2、周期T，頻率f=1/T3、峰值xP（指波形上與零線的最大偏離值）

：4、峰-峰值xp-p（指信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)最大幅值與最小幅值之差）tAT

Pxp-p機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)峰值在實(shí)際應(yīng)用中有它的價(jià)值。對(duì)信號(hào)的峰值應(yīng)該有足夠的估計(jì)，以便確定測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍，不至于產(chǎn)生削波的現(xiàn)象，從而能真實(shí)地反映被測(cè)信號(hào)的最大值。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院4、均值均值

表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值。0At均值：反映了信號(hào)變化的中心趨勢(shì)，也稱之為直流分量。機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)周期信號(hào)全波整流后的均值就是信號(hào)的絕對(duì)均值。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院工程測(cè)量中儀器的表頭示值就是信號(hào)的有效值。信號(hào)的均方值根

，又稱為有效值(RMS)，也是信號(hào)平均能量的一種表達(dá)。

有效值的平方——均方值就是信號(hào)的平均功率，即：5、有效值HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院6、方差方差：反映了信號(hào)繞均值的波動(dòng)程度。信號(hào)x(t)的方差定義為：

大方差

小方差

機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院信號(hào)的峰值、絕對(duì)值和有效值的檢測(cè)，可以用三值電壓表和普通的電工儀表來(lái)測(cè)量；各單項(xiàng)值也可以根據(jù)需要用不同的儀表來(lái)測(cè)量，如示波器、直流電壓表等。實(shí)測(cè)時(shí)：HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院信號(hào)的時(shí)域波形分析

機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院7、波形分析的應(yīng)用(1)、信號(hào)類型識(shí)別(2)、信號(hào)基本參數(shù)識(shí)別Pp-pHTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院§1.3瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜一、準(zhǔn)周期信號(hào)及其頻譜

離散圖例：合成準(zhǔn)周期信號(hào)的周期成分之頻率比是無(wú)理數(shù)，多個(gè)獨(dú)立振源激勵(lì)起某對(duì)象的振動(dòng)多屬這種信號(hào)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院例HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院二、瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜周期信號(hào)頻譜（離散頻譜）

瞬變非周期信號(hào)（，連續(xù)頻譜）

HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院在數(shù)學(xué)上，上式稱為傅里葉積分式。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

代入兩式后，使公式簡(jiǎn)化為：

當(dāng)以在上式括號(hào)內(nèi)對(duì)時(shí)間t積分之后，僅是角頻率ω的函數(shù)，記做X(ω)，則HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院注意：X(f)稱為頻譜密度函數(shù)。一般是頻率f的復(fù)變函數(shù)，可用實(shí)、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式表示：一般瞬變非周期信號(hào)的頻譜具有連續(xù)性、密度性和收斂性等特性。與周期信號(hào)相似，非周期信號(hào)也可以分解為許多不同頻率分量的諧波和，所不同的是，由于非周期信號(hào)的周期T∞，基頻fdf，它包含了從零到無(wú)窮大的所有頻率分量，各頻率分量的幅值為X(f)df，這是無(wú)窮小量，所以頻譜不能再用幅值表示，而必須用幅值密度函數(shù)描述。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院例如：求矩形窗函數(shù)的頻譜解：其頻譜為，由于代入上式得HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院由矩形窗函數(shù)的頻譜可以得出如下結(jié)論：（1）如果矩形窗寬度很大，信號(hào)的能量將大部分集中在低頻段[圖a]。（2）當(dāng)窗函數(shù)寬度不斷增大，在極限情況下，T→∞,窗信號(hào)變成直流信號(hào)，頻譜函數(shù)成為頻率為0的一條直線[圖b]。（3）當(dāng)窗函數(shù)寬度減少時(shí)，頻譜中的高頻分量增加，信號(hào)頻帶寬度增大[圖c]。（4）對(duì)于無(wú)限窄的窗函數(shù)，即窗函數(shù)的發(fā)生時(shí)間趨于零，其頻譜函數(shù)變成一條平行于軸的直線，并擴(kuò)展到全部頻率范圍，信號(hào)的頻帶寬度趨于無(wú)限大[圖d]。圖矩形窗函數(shù)寬度與頻譜的關(guān)系對(duì)瞬變非周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，信號(hào)頻寬可以取頻譜圖中第一次過(guò)零點(diǎn)的頻率。因此，在選擇測(cè)量?jī)x器時(shí)，如果被測(cè)信號(hào)是一個(gè)窄的窗函數(shù)，那么測(cè)量?jī)x器就必須有較寬的工作頻率范圍。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院三、傅里葉變化的性質(zhì)1、線性疊加性2、對(duì)稱性3、時(shí)間尺度改變性4、時(shí)移特性5、頻移特性6、卷積特性7、微分和積分特性HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院1、線性疊加性質(zhì)傅里葉變換是一種線性運(yùn)算，滿足線性疊加性質(zhì)。也即，在處理多個(gè)疊加信號(hào)的傅里葉變換時(shí)，可對(duì)其組成項(xiàng)逐項(xiàng)進(jìn)行變換，然后用相加的方法得到其總的傅里葉變換值。如下式：HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡(jiǎn)化+HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2、對(duì)稱性利用已知的傅里葉變換方法可方便地得出相應(yīng)的變換對(duì)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3、時(shí)間尺度改變性信號(hào)時(shí)域波形被壓縮或擴(kuò)展，則對(duì)應(yīng)的頻譜要擴(kuò)展或壓縮。傅里葉變換的尺度特性對(duì)于測(cè)試系統(tǒng)的分析是很有幫助的。例如，把記錄磁帶慢錄快放，即為時(shí)間尺度的壓縮，這樣可提高處理信號(hào)的效率，但所得到的播放信號(hào)頻帶就會(huì)加寬。若后處理設(shè)備，如放大器、濾波器等的通頻帶不夠，就會(huì)導(dǎo)致失真。反之，快錄慢放，則播放信號(hào)的帶寬變窄，對(duì)后續(xù)處理設(shè)備的通頻帶要求降低，但信號(hào)處理效率也隨之降低。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院例：選擇記錄磁帶快錄慢放，則放演信號(hào)的頻譜帶寬()。A.變窄，幅值壓低B.擴(kuò)展，幅值壓低C.擴(kuò)展，幅值增高D.變窄，幅值增高解釋：根據(jù)傅里葉變換的時(shí)間尺度改變性DHTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院4、時(shí)移特性信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)間軸左移(或右移)t0,其頻譜函數(shù)乘以因子，幅頻不變,相頻改變。即：

（應(yīng)用：測(cè)試幅頻譜時(shí)，可不考慮測(cè)試時(shí)間起點(diǎn)）HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院5、頻移特性信號(hào)的頻譜沿頻率軸左移(或右移),等效于在時(shí)域信號(hào)乘以。等于將信號(hào)頻譜平移。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院卷積特性：時(shí)域中信號(hào)卷積，對(duì)應(yīng)著頻域乘積；而時(shí)域中的信號(hào)乘積,對(duì)應(yīng)著頻域卷積。即：6、卷積特性HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院7、微分和積分特性信號(hào)在時(shí)域中的微分對(duì)應(yīng)于其頻譜在頻域中乘以算子。即：在振動(dòng)測(cè)試中，如果測(cè)得振動(dòng)系統(tǒng)的位移、速度或加速度中的任一參數(shù)，應(yīng)用微分、積分特性就可以獲得其他參數(shù)的頻譜。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院四、幾種典型信號(hào)的頻譜1、矩形窗函數(shù)

1）一個(gè)在時(shí)域有限區(qū)間有值的信號(hào)，其頻譜延伸至無(wú)窮頻率。

2）若在時(shí)域截取信號(hào)的一段記錄長(zhǎng)度，則相當(dāng)于原信號(hào)和矩形窗函數(shù)的乘積，因而所得頻譜將是原信號(hào)和sinc函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的、頻率無(wú)限延伸的頻譜。

3）矩形窗函數(shù)頻譜的特點(diǎn)（主瓣、旁瓣、頻譜圖形等）HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院解釋：若在時(shí)域截取信號(hào)的一段記錄長(zhǎng)度，則相當(dāng)于原信號(hào)和矩形窗函數(shù)的乘積，因而所得頻譜將是原信號(hào)和sinc函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的、頻率無(wú)限延伸的頻譜。例如：則：，，HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2、脈沖函數(shù)及其頻譜

1）定義極值定義：面積定義：圖形描述：在工程上一般用一個(gè)強(qiáng)度為1的有向線段表示該函數(shù)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2）特性：HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3）頻譜δ函數(shù)具有等強(qiáng)度、無(wú)限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜”。δ函數(shù)是偶函數(shù)，即HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)和時(shí)移、頻移特性，可以得到下列傅立葉變換對(duì)：HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3、正余弦函數(shù)（諧波信號(hào)）的頻譜密度函數(shù)

HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院4、周期單位脈沖序列函數(shù)（采樣函數(shù)）的頻譜HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院§1.4隨機(jī)信號(hào)一、概述樣本函數(shù)：對(duì)隨機(jī)信號(hào)按時(shí)間歷程所作的各次長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)記錄，記作。隨機(jī)過(guò)程：在同一試驗(yàn)條件下，全部樣本函數(shù)的集合(總體)就是隨機(jī)過(guò)程，記作即樣本記錄：在有限時(shí)間區(qū)域上的樣本函數(shù)。隨機(jī)信號(hào)是非確定性信號(hào)，具有隨機(jī)性，每次觀測(cè)的結(jié)果都不盡相同，任一觀測(cè)值只是在其變動(dòng)范圍中可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，因此不能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)描述。但其變動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？梢杂酶怕屎徒y(tǒng)計(jì)的方法來(lái)描述信號(hào)。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院時(shí)間平均是按單個(gè)樣本的時(shí)間歷程進(jìn)行平均的計(jì)算。集合平均是某時(shí)刻對(duì)所有樣本函數(shù)的觀測(cè)值求平均的計(jì)算。隨機(jī)過(guò)程的各種平均值，如均值、方差、均方值和均方根值等，是按集合平均來(lái)計(jì)算的。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時(shí)間變化而改變的隨機(jī)過(guò)程。否則就是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中任取一個(gè)樣本函數(shù)，其時(shí)間平均參數(shù)與所有樣本函數(shù)在某時(shí)刻的集合平均參數(shù)一致。一般工程上遇到的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程大多數(shù)是各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程。有的信號(hào)雖不是嚴(yán)格的各態(tài)歷經(jīng)，但也可作為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程來(lái)處理。

隨機(jī)過(guò)程的各種統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)，如均值、方差、均方值和均方根值等，是按集合平均來(lái)計(jì)算的。事實(shí)上，一般的隨機(jī)過(guò)程需要有足夠多的樣本來(lái)描述它，而要進(jìn)行大量的觀測(cè)來(lái)獲得足夠多的樣本函數(shù)是非常困難的、甚至是不可實(shí)現(xiàn)的。因此，實(shí)際測(cè)試中常以一個(gè)或幾個(gè)有限長(zhǎng)度的樣本記錄來(lái)推斷、估計(jì)被測(cè)對(duì)象的整個(gè)隨機(jī)過(guò)程，以其時(shí)間平均代替集合平均。HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院要完整地描述一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程，理論上要有無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間記錄。但實(shí)際上這是不可能的。通常用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)以下三個(gè)方面進(jìn)行數(shù)學(xué)描述：（1）幅值域描述:均值、均方值、方差、概率密度函數(shù)等。（2）時(shí)間域描述:自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)。（3）頻率域描述:自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù)。二、隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院(二)

隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

1.均值（反映直流分量）

X(t)——各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的樣本記錄T——樣本記錄時(shí)間

工程實(shí)際用估計(jì)值（采用直流電壓表實(shí)現(xiàn)）

對(duì)時(shí)間平均

HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2.方差（反映交流分量）

反映了隨機(jī)變量對(duì)均值的分散程度，其正平方根成為標(biāo)準(zhǔn)偏差

工程實(shí)際用估計(jì)值HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3.均方值（反映信號(hào)的強(qiáng)度或平均功率）

其正平方根稱為有效值

工程實(shí)際用估計(jì)值（采用均方電壓表實(shí)現(xiàn)測(cè)試）

均值、方差、均方值三者關(guān)系為：

HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院對(duì)于集合平均式中M——樣本記錄總數(shù)，

——樣本記錄序號(hào)，

——觀察時(shí)刻HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

㈡概率密度函數(shù)以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個(gè)幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。它反映了信號(hào)落在不同幅值強(qiáng)度區(qū)域內(nèi)的概率情況。概率密度函數(shù)定義式為：概率密度函數(shù)提供了隨機(jī)信號(hào)沿幅值域分布的信息，是隨機(jī)信號(hào)的主要特性參數(shù)之一。不同的信號(hào)具有不同的概率密度函數(shù)圖形，可以借此來(lái)識(shí)別信號(hào)的性質(zhì)。式中

表示瞬時(shí)值落在增量△x范圍內(nèi)可能出現(xiàn)的概率；Tx=△t1+△t2+....，表示信號(hào)瞬時(shí)值落在(x，x+△x)區(qū)間的時(shí)間，T為觀測(cè)時(shí)間段長(zhǎng)度，所求得的概率密度函數(shù)

p(x)是信號(hào)x(t)的幅值x的函數(shù)。而有限時(shí)間記錄T內(nèi)的概率密度函數(shù)也可由下式估計(jì):HTTP://MECH.ZZU.EDU.CN鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院四種隨機(jī)信號(hào)的概率密度函數(shù)

a、正弦信號(hào)（初始相角為隨機(jī)量）b、正弦信號(hào)