數(shù)值分析建模方法

數(shù)值分析建模方法朱海龍目錄一、插值方法簡介二、擬合方法簡介三、利用編程解決問題四、建模實例一、插值方法簡介插值法是函數(shù)逼近的重要方法之一，有著廣泛的應(yīng)用。基本思想:就是利用函數(shù)f(x)在一些給定點的函數(shù)值(或其導(dǎo)數(shù)值)，建立一個簡單而又便于計算的函數(shù)(x)，使其近似的代替f(x).

插值法有很多種,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛頓(Newton)插值為代表的多項式插值最有特點,常用的插值還有Hermit插值,分段插值和樣條插值.缺少數(shù)據(jù)年份平均學(xué)費1989187.061990190.641991205.091992396.561993592.991994871.13年份平均學(xué)費19951064.0819961816.2519972312.5019982755.4819993548.3620004620.8220014620.8220024547.823520034676.195420044894.695420055092.08320065157.118缺少數(shù)據(jù)是用樣條插值函數(shù)求出來的高等教育學(xué)費問題探討插值法的特點：適用于數(shù)據(jù)量相對準確的數(shù)據(jù)MATLAB命令interp1一元插值interp2二元插值interp3三元插值spline樣條插值

yi=interp1(x,y,xi)%根據(jù)數(shù)據(jù)(x,y)給出xi的分段線性插值結(jié)果。舉例：

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]xi=-0.2:0.01:0.3yi=interp1(x,y,xi)plot(x,y,'o',xi,yi,'-')yi=interp1(x,y,xi,’spline’)yi=spline(x,y,xi)%使用三次樣條插值舉例：

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]xi=-0.2:0.01:0.3yi=interp1(x,y,xi,'spline')plot(x,y,'o',xi,yi,'-')yi=interp2(x,y,xi,’spline’)%使用二元三次樣條插值舉例：

x=0:4;y=[2:4]';z=[8281808284;7963616581;8484828586];xi=0:0.1:4;yi=[2:0.1:4]';zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline')mesh(xi,yi,zi)例已給sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用分段線性插值及樣條插值計算sin0.3367的值。解:由題意取x0=0.32x1=0.34x2=0.36y0=0.314567y1=0.333487y2=0.352274x=[0.32,0.34,0.36]y=[0.314567,0.333487,0.352274]x1=0.3367y1=interp1(x,y,x1)y2=interp1(x,y,x1,'spline')結(jié)果為y1=0.33036520000000,y2=0.33037436203750練習(xí):已測得某地大氣壓強隨高度變化的一組數(shù)據(jù)高度(m)0100300100015002000.壓強(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485

試用二次插值法求1200米處的壓強值.解答x=[0;100;300;1000;1500;2000]y=[0.9689;0.9322;0.8969;0.8515;0.7984;0.7485]x1=[1200]y1=interp1(x,y,x1)解得y1=0.83026000000000y2=interp1(x,y,x1,'spline')解得y２=0.83309476709771二、擬合方法簡介

插值法是使用插值多項式來逼近未知或復(fù)雜函數(shù)的，它要求插值函數(shù)與被插函數(shù)在插值節(jié)點上函數(shù)值相同，而在其他點上沒有要求。在非插值節(jié)點上有時函數(shù)值會相差很大。若要求在被插函數(shù)的定義區(qū)間上，所選近似函數(shù)都能與被插函數(shù)有較好的近似，就是最佳逼近問題。某種合成纖維的強度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應(yīng)拉伸倍數(shù)的記錄。提示：將拉伸倍數(shù)作為x,強度作為y,在座標紙上標出各點，可以發(fā)現(xiàn)什么?數(shù)據(jù)表格

從上圖中可以看出強度與拉伸倍數(shù)大致成線性關(guān)系，可用一條直線來表示兩者之間的關(guān)系。解：設(shè)y*=a+bxi

，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根據(jù)最小二乘原理，即使誤差的平方和達到最小，也就是令

nQ=∑δi2

i=1

為最小，即求使

(a,b)=

有最小值的a和b的值。擬合法的特點：適用于數(shù)據(jù)量相對不是太準確且相對數(shù)據(jù)量較大的數(shù)據(jù)MATLAB命令polyfit多項式擬合lsqcurvefit曲線擬合

P=polyfit(x,y,k)%用k次多項式擬合向量數(shù)據(jù)(x,y),返回多項式的降冪排列舉例：

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]p=polyfit(x,y,2)%得到二次擬合多項式解得p=1.7342-1.69591.0850xi=-0.2:0.01:0.3yi=polyval(p,xi)plot(x,y,'o',xi,yi,'-')c=lsqcurvefit(fun,c0,x,y)%fun為兩變量函數(shù)f(c,x),c0為參數(shù)c的近似值，作為迭代初值，(x,y)為數(shù)據(jù)向量。舉例：

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]

fun=inline('c(1)*exp(c(2)*x)','c','x')c=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y)解得c=1.0997-1.4923xi=-0.2:0.01:0.3yi=1.0997*(exp(-1.4923*xi))plot(x,y,'o',xi,yi,'-')例：電流通過2Ω電阻，用伏安法側(cè)得的電壓電流如表I(A)1246810V(V)1.83.78.212.015.820.2用最小二乘法處理數(shù)據(jù)。解答：x=[1 2 4 6 8 10]y=[1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2]p=polyfit(x,y,1)%得到一次擬合多項式xi=1:0.01:10yi=polyval(p,xi)plot(x,y,'o',xi,yi,'-')練習(xí)：美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)(以百萬為單位)

年179018001810182018301840185018601870188018901900人口3.95.37.29.612.917.123.231.438.662.976.0試估計1880年的人口？解答：x=[01020304050607080100110]y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.662.976.0]

fun=inline('c(1)*exp(c(2)*x)','c','x');c=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y);解得c=5.20690.0246x1=90y1=5.2069*(exp(0.0246*x1))解得y1=47.65(實際數(shù)據(jù)為50.2)

plot(x,y,'o',x1,y1,'rh')三、利用編程解決問題當(dāng)MATLAB中沒有現(xiàn)成的命令可以調(diào)用時，就必須自己進行編程進行研究說明。注：實際中很多問題確實需要自己編程處理。如2007年的乘公交看奧運的數(shù)學(xué)建模問題等等。下面我們將注重論述.四、建模實例第一題：2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目B題：乘公交，看奧運

我國人民翹首企盼的第29屆奧運會明年8月將在北京舉行，屆時有大量觀眾到現(xiàn)場觀看奧運比賽，其中大部分人將會乘坐公共交通工具（簡稱公交，包括公汽、地鐵等）出行。這些年來，城市的公交系統(tǒng)有了很大發(fā)展，北京市的公交線路已達800條以上，使得公眾的出行更加通暢、便利，但同時也面臨多條線路的選擇問題。針對市場需求，某公司準備研制開發(fā)一個解決公交線路選擇問題的自主查詢計算機系統(tǒng)。

為了設(shè)計這樣一個系統(tǒng)，其核心是線路選擇的模型與算法，應(yīng)該從實際情況出發(fā)考慮，滿足查詢者的各種不同需求。請你們解決如下問題：1、僅考慮公汽線路，給出任意兩公汽站點之間線路選擇問題的一般數(shù)學(xué)模型與算法。并根據(jù)附錄數(shù)據(jù)，利用你們的模型與算法，求出以下6對起始站→終到站之間的最佳路線（要有清晰的評價說明）。(1)、S3359→S1828(2)、S1557→S0481(3)、S0971→S0485(4)、S0008→S0073(5)、S0148→S0485(6)、S0087→S36762、同時考慮公汽與地鐵線路，解決以上問題。3、假設(shè)又知道所有站點之間的步行時間，請你給出任意兩站點之間線路選擇問題的數(shù)學(xué)模型?！靖戒?】基本參數(shù)設(shè)定相鄰公汽站平均行駛時間(包括停站時間)：3分鐘相鄰地鐵站平均行駛時間(包括停站時間)：2.5分鐘公汽換乘公汽平均耗時：5分鐘(其中步行時間2分鐘)地鐵換乘地鐵平均耗時：4分鐘(其中步行時間2分鐘)地鐵換乘公汽平均耗時：7分鐘(其中步行時間4分鐘)公汽換乘地鐵平均耗時：6分鐘(其中步行時間4分鐘)公汽票價：分為單一票價與分段計價兩種，標記于線路后；其中分段計價的票價為：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元地鐵票價：3元（無論地鐵線路間是否換乘）注：以上參數(shù)均為簡化問題而作的假設(shè)，未必與實際數(shù)據(jù)完全吻合。【附錄2】公交線路及相關(guān)信息（見數(shù)據(jù)文件B2007data.rar）解決思想：在廣度優(yōu)先搜索的基礎(chǔ)上，我們建立了問題一的數(shù)學(xué)模型：BusA為途徑A站的所有路線的集合，BusB為途徑B站的所有路線的集合。如果BusABusB，說明A到B站可以不用轉(zhuǎn)車就能到達。直接可以得到A，B站的直達路線。如果BusABusB，再依次從與BusA有公共站點的公交線路Bus（i為從A站轉(zhuǎn)乘i次可乘坐的公交路線，i=1,2…）中查找是否與BusB有公共路線，若存在則算法結(jié)束，若不存在則按此步驟繼續(xù)直到查找到為止。如果存在多種方案的轉(zhuǎn)乘次數(shù)相同，則依據(jù)次要目標費用最少和時間最短選取最佳路線。模型假設(shè)假設(shè)乘客都能搭上自己想要乘坐的公交車或地鐵；假設(shè)交通順暢，沒有擁堵現(xiàn)象；采用同一站點名的站點均認為是同一站點，沒有空間上的差異；假設(shè)公交車都按時發(fā)車、按時到達，乘客無需花費多余的時間等車；假設(shè)整個公交網(wǎng)絡(luò)是一個連通圖，任意兩個站點都有路可達；假設(shè)超過三次轉(zhuǎn)乘次數(shù)的路線被認為是不可達。符號說明Si編號為i的公交站點Li編號為i的公交路線Di編號為i的地鐵站T從源站到目的站花費的時間，單位為分鐘M從源站到目的站花費的金錢，單位為元BusA 途徑A站的所有路線的集合，A為站點名Line 公交及地鐵線路集合數(shù)據(jù)的處理excel中”數(shù)據(jù)/導(dǎo)入外部數(shù)據(jù)/導(dǎo)入數(shù)據(jù)“的使用excel中”編輯/定位/定位條件“的使用excel中”數(shù)據(jù)/篩選/自動篩選”的使用詳細題目及數(shù)據(jù)見附件１詳細解題步驟及程序見附件２第二題：據(jù)報載，2003年全國道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當(dāng)?shù)谋壤?。針對這種嚴重的道路交通情況，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》國家標準，新標準規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升為飲酒駕車（原標準是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升為醉酒駕車（原標準是大于或等于100毫克／百毫升）。大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢？請你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，并討論以下問題：1.對大李碰到的情況做出解釋；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內(nèi)駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：酒是在很短時間內(nèi)喝的；酒是在較長一段時間（比如2小時）內(nèi)喝的。3.怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高。4.根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？5.根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。參考數(shù)據(jù)1.人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中