數值分析建模方法

數值分析建模方法朱海龍目錄一、插值方法簡介二、擬合方法簡介三、利用編程解決問題四、建模實例一、插值方法簡介插值法是函數逼近的重要方法之一，有著廣泛的應用?；舅枷?就是利用函數f(x)在一些給定點的函數值(或其導數值)，建立一個簡單而又便于計算的函數(x)，使其近似的代替f(x).

插值法有很多種,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛頓(Newton)插值為代表的多項式插值最有特點,常用的插值還有Hermit插值,分段插值和樣條插值.缺少數據年份平均學費1989187.061990190.641991205.091992396.561993592.991994871.13年份平均學費19951064.0819961816.2519972312.5019982755.4819993548.3620004620.8220014620.8220024547.823520034676.195420044894.695420055092.08320065157.118缺少數據是用樣條插值函數求出來的高等教育學費問題探討插值法的特點：適用于數據量相對準確的數據MATLAB命令interp1一元插值interp2二元插值interp3三元插值spline樣條插值

yi=interp1(x,y,xi)%根據數據(x,y)給出xi的分段線性插值結果。舉例：

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]xi=-0.2:0.01:0.3yi=interp1(x,y,xi)plot(x,y,'o',xi,yi,'-')yi=interp1(x,y,xi,’spline’)yi=spline(x,y,xi)%使用三次樣條插值舉例：

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]xi=-0.2:0.01:0.3yi=interp1(x,y,xi,'spline')plot(x,y,'o',xi,yi,'-')yi=interp2(x,y,xi,’spline’)%使用二元三次樣條插值舉例：

x=0:4;y=[2:4]';z=[8281808284;7963616581;8484828586];xi=0:0.1:4;yi=[2:0.1:4]';zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline')mesh(xi,yi,zi)例已給sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用分段線性插值及樣條插值計算sin0.3367的值。解:由題意取x0=0.32x1=0.34x2=0.36y0=0.314567y1=0.333487y2=0.352274x=[0.32,0.34,0.36]y=[0.314567,0.333487,0.352274]x1=0.3367y1=interp1(x,y,x1)y2=interp1(x,y,x1,'spline')結果為y1=0.33036520000000,y2=0.33037436203750練習:已測得某地大氣壓強隨高度變化的一組數據高度(m)0100300100015002000.壓強(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485

試用二次插值法求1200米處的壓強值.解答x=[0;100;300;1000;1500;2000]y=[0.9689;0.9322;0.8969;0.8515;0.7984;0.7485]x1=[1200]y1=interp1(x,y,x1)解得y1=0.83026000000000y2=interp1(x,y,x1,'spline')解得y２=0.83309476709771二、擬合方法簡介

插值法是使用插值多項式來逼近未知或復雜函數的，它要求插值函數與被插函數在插值節(jié)點上函數值相同，而在其他點上沒有要求。在非插值節(jié)點上有時函數值會相差很大。若要求在被插函數的定義區(qū)間上，所選近似函數都能與被插函數有較好的近似，就是最佳逼近問題。某種合成纖維的強度與其拉伸倍數有直接關系，下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應拉伸倍數的記錄。提示：將拉伸倍數作為x,強度作為y,在座標紙上標出各點，可以發(fā)現什么?數據表格

從上圖中可以看出強度與拉伸倍數大致成線性關系，可用一條直線來表示兩者之間的關系。解：設y*=a+bxi

，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根據最小二乘原理，即使誤差的平方和達到最小，也就是令

nQ=∑δi2

i=1

為最小，即求使

(a,b)=

有最小值的a和b的值。擬合法的特點：適用于數據量相對不是太準確且相對數據量較大的數據MATLAB命令polyfit多項式擬合lsqcurvefit曲線擬合

P=polyfit(x,y,k)%用k次多項式擬合向量數據(x,y),返回多項式的降冪排列舉例：

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]p=polyfit(x,y,2)%得到二次擬合多項式解得p=1.7342-1.69591.0850xi=-0.2:0.01:0.3yi=polyval(p,xi)plot(x,y,'o',xi,yi,'-')c=lsqcurvefit(fun,c0,x,y)%fun為兩變量函數f(c,x),c0為參數c的近似值，作為迭代初值，(x,y)為數據向量。舉例：

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]

fun=inline('c(1)*exp(c(2)*x)','c','x')c=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y)解得c=1.0997-1.4923xi=-0.2:0.01:0.3yi=1.0997*(exp(-1.4923*xi))plot(x,y,'o',xi,yi,'-')例：電流通過2Ω電阻，用伏安法側得的電壓電流如表I(A)1246810V(V)1.83.78.212.015.820.2用最小二乘法處理數據。解答：x=[1 2 4 6 8 10]y=[1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2]p=polyfit(x,y,1)%得到一次擬合多項式xi=1:0.01:10yi=polyval(p,xi)plot(x,y,'o',xi,yi,'-')練習：美國人口統(tǒng)計數據(以百萬為單位)

年179018001810182018301840185018601870188018901900人口3.95.37.29.612.917.123.231.438.662.976.0試估計1880年的人口？解答：x=[01020304050607080100110]y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.662.976.0]

fun=inline('c(1)*exp(c(2)*x)','c','x');c=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y);解得c=5.20690.0246x1=90y1=5.2069*(exp(0.0246*x1))解得y1=47.65(實際數據為50.2)

plot(x,y,'o',x1,y1,'rh')三、利用編程解決問題當MATLAB中沒有現成的命令可以調用時，就必須自己進行編程進行研究說明。注：實際中很多問題確實需要自己編程處理。如2007年的乘公交看奧運的數學建模問題等等。下面我們將注重論述.四、建模實例第一題：2007高教社杯全國大學生數學建模競賽題目B題：乘公交，看奧運

我國人民翹首企盼的第29屆奧運會明年8月將在北京舉行，屆時有大量觀眾到現場觀看奧運比賽，其中大部分人將會乘坐公共交通工具（簡稱公交，包括公汽、地鐵等）出行。這些年來，城市的公交系統(tǒng)有了很大發(fā)展，北京市的公交線路已達800條以上，使得公眾的出行更加通暢、便利，但同時也面臨多條線路的選擇問題。針對市場需求，某公司準備研制開發(fā)一個解決公交線路選擇問題的自主查詢計算機系統(tǒng)。

為了設計這樣一個系統(tǒng)，其核心是線路選擇的模型與算法，應該從實際情況出發(fā)考慮，滿足查詢者的各種不同需求。請你們解決如下問題：1、僅考慮公汽線路，給出任意兩公汽站點之間線路選擇問題的一般數學模型與算法。并根據附錄數據，利用你們的模型與算法，求出以下6對起始站→終到站之間的最佳路線（要有清晰的評價說明）。(1)、S3359→S1828(2)、S1557→S0481(3)、S0971→S0485(4)、S0008→S0073(5)、S0148→S0485(6)、S0087→S36762、同時考慮公汽與地鐵線路，解決以上問題。3、假設又知道所有站點之間的步行時間，請你給出任意兩站點之間線路選擇問題的數學模型?！靖戒?】基本參數設定相鄰公汽站平均行駛時間(包括停站時間)：3分鐘相鄰地鐵站平均行駛時間(包括停站時間)：2.5分鐘公汽換乘公汽平均耗時：5分鐘(其中步行時間2分鐘)地鐵換乘地鐵平均耗時：4分鐘(其中步行時間2分鐘)地鐵換乘公汽平均耗時：7分鐘(其中步行時間4分鐘)公汽換乘地鐵平均耗時：6分鐘(其中步行時間4分鐘)公汽票價：分為單一票價與分段計價兩種，標記于線路后；其中分段計價的票價為：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元地鐵票價：3元（無論地鐵線路間是否換乘）注：以上參數均為簡化問題而作的假設，未必與實際數據完全吻合。【附錄2】公交線路及相關信息（見數據文件B2007data.rar）解決思想：在廣度優(yōu)先搜索的基礎上，我們建立了問題一的數學模型：BusA為途徑A站的所有路線的集合，BusB為途徑B站的所有路線的集合。如果BusABusB，說明A到B站可以不用轉車就能到達。直接可以得到A，B站的直達路線。如果BusABusB，再依次從與BusA有公共站點的公交線路Bus（i為從A站轉乘i次可乘坐的公交路線，i=1,2…）中查找是否與BusB有公共路線，若存在則算法結束，若不存在則按此步驟繼續(xù)直到查找到為止。如果存在多種方案的轉乘次數相同，則依據次要目標費用最少和時間最短選取最佳路線。模型假設假設乘客都能搭上自己想要乘坐的公交車或地鐵；假設交通順暢，沒有擁堵現象；采用同一站點名的站點均認為是同一站點，沒有空間上的差異；假設公交車都按時發(fā)車、按時到達，乘客無需花費多余的時間等車；假設整個公交網絡是一個連通圖，任意兩個站點都有路可達；假設超過三次轉乘次數的路線被認為是不可達。符號說明Si編號為i的公交站點Li編號為i的公交路線Di編號為i的地鐵站T從源站到目的站花費的時間，單位為分鐘M從源站到目的站花費的金錢，單位為元BusA 途徑A站的所有路線的集合，A為站點名Line 公交及地鐵線路集合數據的處理excel中”數據/導入外部數據/導入數據“的使用excel中”編輯/定位/定位條件“的使用excel中”數據/篩選/自動篩選”的使用詳細題目及數據見附件１詳細解題步驟及程序見附件２第二題：據報載，2003年全國道路交通事故死亡人數為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當的比例。針對這種嚴重的道路交通情況，國家質量監(jiān)督檢驗檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》國家標準，新標準規(guī)定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升為飲酒駕車（原標準是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升為醉酒駕車（原標準是大于或等于100毫克／百毫升）。大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結果會不一樣呢？請你參考下面給出的數據（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數學模型，并討論以下問題：1.對大李碰到的情況做出解釋；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：酒是在很短時間內喝的；酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。3.怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高。4.根據你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？5.根據你做的模型并結合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。參考數據1.人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中