2023年九年級中考數(shù)學(xué)頻考點突破 圓的切線證明（含解析）

2023年中考數(shù)學(xué)頻考點突破--圓的切線證明1．如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AC于點E，過點E作AB的垂線交AB于點F，交CB的延長線于點G，且∠ABG=2∠C．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）若tanC=12，AC=8，求⊙O2．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經(jīng)過B，M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑．（1）求證：AE與⊙O相切；（2）當(dāng)BC=4，AC=6，求⊙O的半徑．3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，點P是半徑OB上一動點（不與O，B重合），過點P作射線l⊥AB，分別交弦BC，BC于D、E兩點，在射線l上取點F，使FC＝FD．（1）求證：FC是⊙O的切線；（2）當(dāng)點E是BC的中點時，①若∠BAC＝60°，判斷以O(shè)，B，E，C為頂點的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；②若ACBC=34，且AB＝4．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，且∠BCD（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）⊙O的半徑為3，CD=4，求BD5．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，BC.OE∥BC交AC于E，過點A作⊙O的切線交OE的延長線于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點F.（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，直接寫出線段CF的長.6．如圖所示，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓O，分別與BC、AB相交于點D、E，連接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，CD＝32，求劣弧BD的長；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的長．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交邊AC于點E，點D在邊AB上，以BD為直徑作⊙O經(jīng)過點E，交BC邊于點F.（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BD＝8，∠A＝30°，求陰影部分的面積.8．如圖，點M在矩形ABCD的邊AD延長線上，以AM為直徑作⊙O交AC于點F，點E在CD邊上，且EC=EF.（1）求證∶EF是⊙O的切線;（2）若cos∠CAD=35，AF=6，MD=2，求FC的長9．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線交AB于點E，交AC的延長線于點F．（1）求證：DE⊥AB；（2）若tan∠BDE=12，CF=3，求DF10．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D，AE⊥DC，垂足為E，F(xiàn)是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．11．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，且∠BCD＝∠A.（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，CD＝4，求BD的長.12．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，CE⊥AB于點E，D是直徑AB延長線上一點，且∠A＝∠BCD.（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝10，tan∠BCE＝12，求BD的長13．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC于點F，點E是BF的中點，連接BE并延長交AC于點D，若∠CBD（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，cos∠BAC=2514．如圖，已知：射線PO與⊙O交于A、B兩點，PC、PD分別切⊙O于點C、D．（1）請寫出兩個不同類型的正確結(jié)論；（2）若CD=12，tan∠CPO=12，求PO15．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，點E在AC上，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過點D．（1）求證：①BC是⊙O的切線；②CD（2）若點F是劣弧AD的中點，且CE＝3，試求陰影部分的面積．16．已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC邊上，且BD=BA，過點B畫AD的垂線交AC于點O，以O(shè)為圓心，AO為半徑畫圓．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為8，tan∠C=43，求線段AB的長，sin∠ADB

答案解析部分1．【答案】（1）解：如圖：連接OE，BE∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A∴∠C=∠A∴BC=AB，∵BC是直徑∴∠CEB=90°，且AB=BC∴CE=AE，且CO=OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半徑∴EG是⊙O的切線（2）解：∵AC=8，∴CE=AE=4∵tanC=BECE=∴BE=2∴BC=CE2∴CO=5即⊙O半徑為5【知識點】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OE，BE，由題意易證∠C=∠A；由直徑所對的圓周角是直角可得∠CEB=90°，在根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AE=CE，于是由三角形的中位線定理可得OE∥AB，結(jié)合已知可得EG⊥OE，由切線的判定可得EG是⊙O的切線；

（2）由題意根據(jù)tanC=BECE可求得BE的長，再由勾股定理可求得BC的長，則半徑CO=122．【答案】（1）解：證明：連接OM，則∠OMB=∠OBM=∠MBE又∵AB=AC，AE是角平分線，∴AE⊥BC，∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，∴AE與⊙O相切（2）解：由AE與⊙O相切，AE⊥BC∴OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴OMBE=AOAB∵BC=4∴BE=2，AB=6，即r【知識點】平行線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）連接OM，根據(jù)角平分線的定義及等邊對等角得出∠OMB=∠OBM=∠MBE，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出AE⊥BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和及等量代換得出∠AMO=90°，從而得出結(jié)論AE與⊙O相切；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)定理及平行線的判定方法得出OM∥BC，根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所截得的三角形與原三角形相似得△AOM∽△ABE；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出OM∶BE=AO∶AB;從而得出關(guān)于圓的半徑的方程，求解即可。3．【答案】（1）證明：連接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∵FC＝FD∴∠FCD＝∠FDC∵∠FDC＝∠BDP∴∠OCB+∠FCD＝90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接OC，OE，BE，CE，①以O(shè)，B，E，C為頂點的四邊形是菱形．理由如下：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵點E是BC的中點，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均為等邊三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC，∴四邊形BOCE是菱形；②∵ACBC=34，設(shè)AC＝3k，BC＝4k（由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵點E是BC的中點，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∴12OE×BH＝12OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝由勾股定理得OP＝OE2-P【知識點】切線的判定；四邊形的綜合【解析】【分析】（1）先求出∠OBC+∠BDP＝90°，再求出∠OCB+∠FCD＝90°，最后求解即可；

（2）①先求出△BOE，△OCE均為等邊三角形，再證明求解即可；

②先求出（3k）2+（4k）2＝202，再求出OE⊥BC，BH＝CH＝8，最后利用勾股定理計算求解即可。4．【答案】（1）證明：連接OC．∵AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切線．（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD=OC2+∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2【知識點】勾股定理；圓周角定理；切線的判定【解析】【分析】（1）連接OC，由AB是⊙O的直徑可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切線；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，進而可得出BD的長．5．【答案】（1）證明：連接OC，∵OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC，由垂徑定理得OD垂直平分AC，∴DA＝DC，∵DO＝DO，OC＝OA，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴∠DAO＝∠OCD，∵DA為⊙O的切線，OA是半徑，∴∠DAO＝90°，∴∠OCD＝∠DAO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵OB＝OC，∴△BOC是等邊三角形，∴∠FOC＝60°，又∵AB＝4，∴OB＝OC＝OA＝2，在Rt△COF中，tan∠FOC＝CFOC=∴CF＝23.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；切線的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OEA＝∠ACB，由圓周角定理得到∠OEA＝∠ACB＝90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，證明△ADO≌△CDO（SSS），得出∠DAO＝∠OCD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠DAO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到結(jié)論；

（2）證明△BOC是等邊三角形，得出∠BOC＝60°，解直角三角形即可得到結(jié)論.6．【答案】（1）證明：如圖1，連接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴AD＝2CD＝3，∠DAB＝30°，∴AD＝3OD，∴OD＝3，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的長＝120π×3180＝（3）解：如圖2，連接DE，∵BE是直徑，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴ACBD=∴設(shè)CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴DEAC=∴3x2∴x＝12∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝AC2+BC2∵DE∥AC，∴AEAB=∴AE＝52【知識點】切線的判定；弧長的計算；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）如圖1，連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)可證∠B＝∠ODB＝∠CAD，由直角三角形的性質(zhì)可求∠ADO＝90°，可得結(jié)論；

（2）分別求出OD的長度和∠DOB的度數(shù)，再由弧長公式可求解；

（3）通過證明△ACD∽△BDE，可得ACBD=CDDE=23，設(shè)CD＝2x，DE＝3x，由平行線的性質(zhì)可求x7．【答案】（1）證明：連接OE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：連接OF.∵BD是⊙O的直徑，BD＝8，∴OE＝4，∵∠AEO＝90°，∠A＝30°，∴AO＝2OE＝8，∴AE＝AO2-OE2＝43，∠AOE＝60°，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝12AB＝6，AC＝AB2-BC∴CE＝AC﹣AE＝23.∵OB＝OF，∠ABC＝60°，∴△OBF是等邊三角形.∴∠FOB＝60°，BF＝OF＝4，∴CF＝6﹣4＝2，∠EOF＝180°－60°－60°＝60°.∴S梯形OECF＝12（2＋4）×23＝63∴S扇形EOF＝60π×∴S陰影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF＝63﹣83【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；切線的判定；扇形面積的計算【解析】【分析】（1）連接OE.利用等腰三角形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)證明OE∥BC，可得∠AEO＝∠C，證明OE⊥AC，從而可得結(jié)論；（2）連接OF.由BD是⊙O的直徑，BD＝8，分別求解AO＝2OE＝8，AE＝AO2-OE2＝43，∠AOE＝60°，AB＝12，再求解BC＝12AB＝6，AC＝63，CE＝23.再證明△OBF是等邊三角形.可得∠FOB＝60°，BF＝OF＝4，求解CF＝2，∠EOF＝60°.再利用S陰影部分＝S梯形8．【答案】（1）解：證明：連接OF，∵在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°∵EC=EF，∴∠EFC=∠DCA，∵OF=OA，∴∠OFA=∠CAD，∴∠EFC+∠OFA=90°，∴∠OFE=90°，即EF⊥OF，又OF是⊙O半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）連接MF，∵AM是直徑，∴∠AFM=90°，在Rt△AMF中，cos∠CAD=AF∴AF=6，6AM=35∵MD=2，∴AD=8，在Rt△ACD中，cos∠CAD=ADAC=∴8AC=35，∴AC=∴FC=403-6=【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【分析】（1）連接OF，根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFC+∠OFA=90°，從而得出∠OFE=90°，即可證出EF是⊙O的切線；

（2）連接MF，根據(jù)圓周角定理得出∠AFM=90°，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出AC的長，利用FC=AC-AF，即可求出FC的長.9．【答案】（1）證明：連接OD．∵EF切⊙O于點D，∴OD⊥EF．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠OCD，∴∠ABC=∠ODC，∴AB∥OD，∴DE⊥AB；（2）解：連接AD．∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BDE=90°，∠B+∠1=90°，∴∠BDE=∠1，∵AB=AC，∴∠1=∠2，又∵∠BDE=∠3，∴∠2=∠3，∴△FCD∽△FDA，∴FCFD=∵tan∠BDE=12，∴tan∠2=12∴CDDA=12，∵CF=3，∴FD=6．【知識點】余角、補角及其性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OD⊥EF，再根據(jù)已知證明AB∥OD，就可證得DE⊥AB。

（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ADB=90°，再根據(jù)同角的余角相等得出∠BDE=∠1=∠2，再根據(jù)相似三角形的判定證明△FCD∽△FDA，得出兩三角形對應(yīng)邊成比例，再根據(jù)tan∠BDE=tan∠2=12，代入計算即可得出DF10．【答案】（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵點C在圓O上，OC為圓O的半徑，∴CD是圓O的切線（2）解：在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8∴CD=DO2-OC2∴S△OCD=OC?OC2=43∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=8π∵S陰影=S△COD﹣S扇形OBC∴S陰影=83﹣8π3∴陰影部分的面積為83﹣8π3【知識點】切線的判定；扇形面積的計算【解析】【分析】（1）連接OC，先證明∠OAC=∠OCA，進而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，進而證明DE是⊙O的切線；（2）分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．11．【答案】（1）證明：如圖，連接OC.∵AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°.∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切線（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD=OC2∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2【知識點】勾股定理；圓周角定理；切線的判定【解析】【分析】（1）連接OC，利用直徑所對的圓周角是直角得∠ACB=90°，可推出∠ACO+∠OCB=90°；再利用等腰三角形的性質(zhì)及已知得∠ACO=∠A=∠BCD，由此可推出∠OCD=90°；然后利用切線的判定定理，可證得結(jié)論；（2）利用勾股定理求出OD的長，然后根據(jù)BD=OD-OB，可求出BD的長.12．【答案】（1）證明：如圖，連接OC，則OC=OA.∴∠DCB=∠A=∠ACO，∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，∴∠DCB+∠OCB=90°，∴∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切線；（2）解：∵∠A+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，∴∠BCE=∠A，∴tan∠BCE＝tan∠A＝BCAC＝1∵∠DCB=∠A，∠D=∠D，∴△DBC∽△DCA，∴DBDC=DCDA＝BCAC∵AD=10，解得：DB＝52答：BD的長為52【知識點】圓周角定理；切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【分析】（1）連接OC，利用等邊對等角可證得∠DCB=∠A=∠ACO，利用直徑所對的圓周角是直角，可證得∠ACB=90°，由此可推出∠OCD=90°，然后利用切線的判定定理可證得結(jié)論；

（2）利用余角的性質(zhì)可證得∠BCE=∠A，利用銳角三角函數(shù)的定義可得到BC與AC的比值；再利用有兩組對應(yīng)角分別相等的兩三角形相似，可證得△DBC∽△DCA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出BD的長.13．【答案】（1）證明：連接AE，如圖所示：∵AB是⊙O∴∠AEB=90°∴∠BAE+∠∵點E為弧BF的中點，∴EF=EB∴∠BAE=∠又∵∠CBD=∴∠BAE=∠∴∠CBD+∠∴AB⊥CB∴BC是⊙O（2）解：∵∠BAE=∠DAE，∠∴∠ADE=∠∴AD=AB∵cos∠BAC∴在Rt△ABC中，AB即4AC=25，得∴CD=AC【知識點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；切線的判定；解直角三角形的應(yīng)用【解析】【分析】（1）連接AE，根據(jù)圓周角定理和余角的性質(zhì)可證AB⊥CB，即BC是⊙O的切線；

（2）根據(jù)∠BAE=∠DAE，∠AED=∠AEB=90°，∠ADE=∠ABE，AD=AB=2×2=4。由cos∠BAC=2514．【答案】（1）解：不同類型的正確結(jié)論有：①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③CD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA?PB（2）解：連接OC∵PC、PD分別切⊙O于點C、D∴PC=PD，∠CPO=∠DPA∴CD⊥AB∵CD=12∴DE=CE=12CD=6∵tan∠CPO=12∴在Rt△EPC中，PE=12∴由勾股定理得CP=65∵PC切⊙O于點C∴∠OCP=90°在Rt△OPC中，∵tan∠CPO=12∴OC∴OC=35，∴OP=OC【知識點】等腰三角形的