大學(xué)生物理競(jìng)賽1(力學(xué))

物理競(jìng)賽輔導(dǎo)力學(xué)(Ⅰ)

參考資料教材大學(xué)物理學(xué)(5冊(cè))張三慧主編清華大學(xué)出版社3.歷年考題參賽組:非物理類A組補(bǔ)充知識(shí)質(zhì)心質(zhì)心(CenterofMass)對(duì)于N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，定義系統(tǒng)的質(zhì)量中心，其位矢一、質(zhì)心的位置xyzmiOC對(duì)連續(xù)分布的物體，質(zhì)心的位矢為xyzmiO二、質(zhì)心系質(zhì)心在其中靜止的平動(dòng)參照系。Cy'x'O'z'y'x'xyzmiCOO'z'質(zhì)心系可能不是慣性系，但質(zhì)心系特殊，動(dòng)量守恒定律適用，而且，總動(dòng)量為零。質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)mi

的速度:（零動(dòng)量參照系）質(zhì)心系中三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于它的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理補(bǔ)充知識(shí)角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律內(nèi)力矩合外力矩為零，質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量守恒?！ぁぁぁぁぁぁぁjo為零合外力矩零零z'y'x'xyzmiCOO'z'y'x'xyzmiCOO'質(zhì)心系中：y'x'xyzmiCOO'z'例：（18th,9分）均勻細(xì)桿AOB的A端、B端和中央位置O處各有1個(gè)光滑的小孔。先讓桿在光滑的水平大桌面上繞O孔以角速度w0

作順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖（圖平面為大桌面）。今將一光滑的細(xì)桿迅速插入A孔，棍在插入前后無任何水平方向的移動(dòng)，穩(wěn)定后，在迅速拔A棍的同時(shí)，將另一光滑細(xì)棍如前所述插入B孔，再次穩(wěn)定后，又在迅速拔出B棍的同時(shí)，將另一光滑細(xì)棍如前所述插入O孔。試求：最終穩(wěn)定后，細(xì)桿AOB繞O孔旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角速度的大小。

解：AOBm,l①插入A孔前后AOBm,l②插入B孔前后wB反向轉(zhuǎn)了③再次插入O孔前后AOBm,l逆時(shí)針轉(zhuǎn)最終穩(wěn)定后，細(xì)桿AOB繞O孔旋轉(zhuǎn)角速度的大小角速度的方向：垂直紙面向外。例（25屆17題，10分）半徑同為R，質(zhì)量分別為m1=m

和m2=3m/2的兩個(gè)勻質(zhì)圓盤，邊緣部分分別用長(zhǎng)為R和2R的輕桿固定地連接后，掛在高度差為R的兩塊天花板下，可以無摩擦地左右擺動(dòng)。開始時(shí)兩個(gè)擺靜止在圖示位置，質(zhì)量為m1的擺盤自由釋放后，將以角速度w0與質(zhì)量為m2

的靜止擺盤發(fā)生彈性碰撞。試求碰撞后瞬間，兩個(gè)擺盤的右向擺動(dòng)的角速度w1和w2（均帶正負(fù)號(hào)）。m2NNN1RRR2Rm1m2RO1O2

w0RRR2Rm1RO1O2

w1

w2利用角動(dòng)量方程，對(duì)于擺1相對(duì)于O1

點(diǎn)(以垂直屏幕向外為正)–NDt·2R=I1w1–I1w0NDt·3R=I2w2對(duì)于彈性碰撞有，①②NNN1RRR2Rm1RO1O2

w1

w2

w0擺2相對(duì)于O2

點(diǎn)(以垂直屏幕向外為正)③解1：–NDt=①②③整理方程組得到化簡(jiǎn)方程對(duì)于m1，利用動(dòng)量定理。以向右為正N1Dt–NDt=mw1·2R–mw0·2R=2mR(w1–w0)利用角動(dòng)量方程，對(duì)于O2

點(diǎn)(以垂直屏幕向外為正)擺1：N1Dt·R–NDt·3R=(IC1w1+3Rmw1·2R)–

(IC1w0+3Rmw0·2R)擺2：NDt·3R=I2w2對(duì)于彈性碰撞有，①②③④NNN1RRR2Rm1RO1O2

w1

w2

w0解2：N1Dt–NDt=2mR(w1–w0)N1Dt–3NDt=①②③④整理方程組得到化簡(jiǎn)方程例：（25th,13分）長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻軟繩靜止對(duì)稱地掛在光滑固定的細(xì)釘上，如圖1所示。后因擾動(dòng)，軟繩朝右側(cè)滑下，某時(shí)刻左側(cè)繩段長(zhǎng)度記為x，如圖2所示。（1）x(x<L/2)達(dá)何值時(shí)，細(xì)釘為軟繩提供的向上的支持力N恰好為零？（2）N恰好為零時(shí)，突然將細(xì)釘撤去，再經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間t，軟繩恰好處于伸直狀態(tài)？L/2L/2圖1解：根據(jù)機(jī)械能守恒定律初態(tài)質(zhì)心處為勢(shì)能零點(diǎn):末態(tài)質(zhì)心位置:圖2CxL–xL/4根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：－N＋mg=mac，質(zhì)心的動(dòng)量大小為由機(jī)械能守恒：N=0,ac=g=g

解得：xL–xNmgC

解得：(2)撤去釘子后，軟繩質(zhì)心的加速度為g,方向向下。撤去釘子后瞬間，左（右）側(cè)繩子的速率為撤去釘子后瞬間，繩子質(zhì)心的速率為此時(shí)，左側(cè)繩子下端A點(diǎn)與質(zhì)心C的距離為x0L–x0CAxcL/4繩子一旦伸直，A點(diǎn)與質(zhì)心C的距離為L(zhǎng)/2。選擇坐標(biāo)系S，它以g大小的加速度相對(duì)地面向下加速運(yùn)動(dòng)，且在撤去釘子后瞬間相對(duì)于地面速度大小為x0L–x0CASS系中，撤去釘子后，左側(cè)繩子的速率為方向向上。S系中，撤去釘子后，繩子質(zhì)心的速率為方向向上。S系中A點(diǎn)與質(zhì)心C的速率差為v左SvcS撤去釘子后瞬間，左側(cè)繩子下端A點(diǎn)與質(zhì)心C的距離為繩子一旦伸直，A點(diǎn)與質(zhì)心C的距離為L(zhǎng)/2。x0L–x0CASS系中A點(diǎn)與質(zhì)心C的速率差為繩子伸長(zhǎng)所用的時(shí)間為v左SvcS例（19th,4分）質(zhì)量分別為m1

和m2

的兩物塊與勁度系數(shù)為k

的輕彈簧構(gòu)成系統(tǒng)如圖，物塊與物體（平面）光滑接觸，右側(cè)水平外力使彈簧壓縮量為l

。物體靜止。將右側(cè)外力撤去，系統(tǒng)質(zhì)心C

可獲得的最大加速度為

，可獲得的最大速度值為

。

m1

m2

k解：F

m1NffF

m2①質(zhì)心的最大加速度撤去外力的瞬間，系統(tǒng)所受的合外力最大。②質(zhì)心的最大速度

m1

m2

kF

彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)m2的速度為：=0

加速度為零時(shí)，質(zhì)心的速度最大。此時(shí)彈簧恰為原長(zhǎng)。例:（16th，13分）長(zhǎng)為l

，質(zhì)量為m

的勻質(zhì)細(xì)桿，置于光滑水平面上，可繞過桿的中點(diǎn)O的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)桿靜止。有一質(zhì)量與光滑桿相同的小球沿與桿垂直的速度

v

飛來，與桿碰撞并粘在桿端點(diǎn)上，如圖。（1）定量分析系統(tǒng)碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（2）若去掉固定軸，桿中點(diǎn)不固定，再求系統(tǒng)碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

v

m

m

C解：（1）角動(dòng)量守恒

以3v

/2l

為角速度做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。O

v

m

C去掉固定軸，桿中點(diǎn)不固定質(zhì)心的平動(dòng)＋繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)桿＋小球系統(tǒng)，動(dòng)量守恒桿＋小球系統(tǒng)，外力矩為零，角動(dòng)量守恒，

C’新質(zhì)心C’位置對(duì)新質(zhì)心C’

O

v

m

C

C’對(duì)新質(zhì)心C’（平行軸定理）系統(tǒng)的質(zhì)心以v/2

速度平動(dòng)，系統(tǒng)繞過質(zhì)心的軸以w

＝6v

/5l

為角速度做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。例（19th,9）如圖所示。表面光滑的剛體無轉(zhuǎn)動(dòng)地豎直下落。圖中虛線對(duì)應(yīng)過剛體唯一地最低點(diǎn)部位P1

的水平切平面。圖中豎直虛線P1P2

對(duì)應(yīng)著過P1

點(diǎn)的鉛垂線，C為剛體的質(zhì)心。設(shè)C與鉛垂線P1P2確定的平面即為鉛垂面，將C到P1P2

的距離記為d

，剛體質(zhì)量為m

。剛體相對(duì)于過

C點(diǎn)且與圖平面垂直的水平轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC.設(shè)IC＞md2。已知?jiǎng)傮w與水平地面將發(fā)生的碰撞為彈性碰撞，且無水平摩擦力，試在剛體中找出這樣的點(diǎn)部位，它們?cè)趧傮w與地面碰撞前、后的兩個(gè)瞬間，速度方向相反，大小不變。CdP1P2v0解：CdP1P2yvc解：CdP1P2yP0例:(15th,11)兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A、B,用長(zhǎng)為2a

的無彈性且的不可伸長(zhǎng)的繩子聯(lián)結(jié)。開始時(shí)A、B位于同一豎直線上，B在A的下方，相距為a，如圖所示。今給A一水平初速度v0

，同時(shí)靜止釋放B，不計(jì)空氣阻力。且設(shè)繩子一旦伸直便不再回縮，問：經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，A、B恰好在同一水平線上？a

v0AB解：選擇質(zhì)心系，角動(dòng)量守恒CAB2a繩子拉緊前，A、B相對(duì)與質(zhì)心的速度大小為繩子拉緊后，A、B相對(duì)于質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，角速度設(shè)為w從釋放到繩子拉直所用時(shí)間30°CB

vt0解：對(duì)于質(zhì)心有Mc=030°例：某慣性系中有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B，質(zhì)量分別為m1、m2，它們之間只受萬有引力作用。開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)相距

l0，質(zhì)點(diǎn)A靜止，質(zhì)點(diǎn)B沿連線方向的初速度為v0

。為使質(zhì)點(diǎn)B維持速度v0不變，可對(duì)質(zhì)點(diǎn)B沿連線方向施一變力F，試求：（1）兩質(zhì)點(diǎn)的最大間距，及間距為最大時(shí)的F

。（2）從開始時(shí)刻到間距最大的過程中，變力F

作的功（相對(duì)慣性系）。（G為引力常數(shù)）l0

v0m1m2AB解：以m2

為S’系S’Sm1l0

v0m1m2ABS’S解：（1）以m2

為S系m1機(jī)械能守恒l0

v0m1m2ABS（2）S系中當(dāng)l=lmax時(shí)，m1的速度v=v0由動(dòng)能定理，對(duì)（m1+m2

）m1例：（11th,9）質(zhì)量為M的剛性均勻正方形框架，在某邊的中點(diǎn)開一個(gè)小缺口，缺口對(duì)質(zhì)量分布的影響可以忽略。將框架放在以紙平面為代表的光滑水平面后，令質(zhì)量為m的剛性小球在此水平面上從缺口處以速度v

進(jìn)入框內(nèi)，圖中v方向的角

=45，設(shè)小球與框架發(fā)生的碰撞均為無摩擦力的彈性碰撞，試證：（１）小球必將通過缺口離開框架。（２）框架每邊長(zhǎng)為a，則小球從進(jìn)入框架到離開框架，相對(duì)于水平面的位移為：解：（1）（2）小球在框架內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為T在T

時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)心的位移為例：（8th,12）小滑塊A位于光滑水平桌面上，小滑塊B處于位于桌面上的光滑小槽中，兩滑塊的質(zhì)量均是m，用長(zhǎng)為L(zhǎng)，不可伸長(zhǎng)、無彈性的輕繩連接。開始時(shí)A、B間的距離為L(zhǎng)/2,A、B間的連線與小槽垂直（如圖）。今給滑塊Ａ一沖擊，使之獲得平行于槽的速度v0，求滑塊B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。

y解：滑塊A和B組成的系統(tǒng)在y方向動(dòng)量守恒。①A、B組成的系統(tǒng)對(duì)原B所在處角動(dòng)量守恒，②

B

AqL

以B為參照系，A相對(duì)于B

的運(yùn)動(dòng)為以B中心的圓，A相對(duì)于B

的速度為③④①②

y

B

AqL12

A

BqL例:(16th,13)兩個(gè)上下水平放置的相同的均勻薄圓盤A、B，盤的半徑為R

，質(zhì)量為M，兩圓盤的中心都在同一豎直軸上,B盤與軸固定，A盤與軸不固定。先使A盤轉(zhuǎn)動(dòng)，B盤不動(dòng)，然后A盤下落到B盤，并與之粘在一起，共同轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)A盤將要落到B盤上時(shí)的角速度為w0,并假設(shè)空氣對(duì)盤表面任意點(diǎn)附近單位面積的摩擦力，正比于盤在該處的線速度,比例常數(shù)為K，軸與軸承間的摩擦忽略不計(jì)求，A、B粘在一起后能轉(zhuǎn)多少圈？解：A、B相互作用時(shí)間極短，忽略阻力矩，角動(dòng)量守恒w1df

rABMMRABMMR例：(23th13分)如圖所示，水平輕繩跨過固定在質(zhì)量為m1

的水平物塊的一個(gè)小圓柱棒后，斜向下聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m2的小物塊，設(shè)系統(tǒng)處處無摩擦，將系統(tǒng)從靜止?fàn)顟B(tài)自由釋放后，假設(shè)兩物塊的運(yùn)動(dòng)方向如圖所示，即繩與水平桌面的a夾角始終不變，試求a，a1和a2。aa1a2a1m1m2m2gTaaTTm1gNyx解：

T(1–cosa

)=m1a1對(duì)于m1，x軸方向有對(duì)于m2，x軸方向有

Tcosa

=m2(a1–a2cosa

)m2g–Tsina=

m2a2sinaa1=a2=ay軸方向有

T(1–cosa

)=m1a1

Tcosa

=m2(a1–a2cosa

)m2g–Tsina=

m2a2sinaa1=a2=acos2a–(k+2)cosa+1=0a1=a2=a=gcosa例：26屆（20分）靜止于慣性系S的飛船，主體（不包含燃料）質(zhì)量為M0，攜帶的燃料質(zhì)量為MR

，某時(shí)刻發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火使飛船開始沿直線方向朝前加速運(yùn)動(dòng)。已知單位時(shí)間燃燒的燃料質(zhì)量為m0，燃料全部生成物的噴射速度（生成物相對(duì)飛船朝后速度）為常量u，在一直到燃料燒盡的全過程中，試求：(1)飛船加速度的最小值amin和最大值amax;(2)飛船的末速度ve;(3)