自控原理課件全套謝韶莉機械工業(yè)出版社第章

機械工業(yè)出版社第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

2.1引言第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1

2.2系統(tǒng)微分方程的建立2

2.3線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3

2.4

控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖與信號流圖4

2.5閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)52

2.6

MATLAB中數(shù)學模型的表示62.1引言3建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是分析和設計控制系統(tǒng)的首要工作。靜態(tài)數(shù)學模型：在靜態(tài)條件下，描述變量之間關系的數(shù)學表達式稱為靜態(tài)數(shù)學模型，例如代數(shù)方程、靜態(tài)關系表等。動態(tài)數(shù)學模型：描述各變量動態(tài)關系的數(shù)學表達式稱為動態(tài)數(shù)學模型，例如微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性、狀態(tài)方程、動態(tài)結構圖等。建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法有機理分析建模法和實驗建模法兩種。

建立合理的數(shù)學模型對系統(tǒng)的分析研究至關重要，實際的控制系統(tǒng)，都具有不同程度的非線性、時變特性。

2.2系統(tǒng)微分方程的建立4一.線性系統(tǒng)的微分方程二.非線性微分方程的線性化

一.線性系統(tǒng)的微分方程

5應用機理分析建模法建立控制系統(tǒng)的微分方程模型的一般步驟如下:

1）分析系統(tǒng)的工作原理，將系統(tǒng)劃分成若干個環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和各環(huán)節(jié)輸入、輸出變量。2）從系統(tǒng)的輸入端入手，按照信號傳遞順序，根據(jù)各環(huán)節(jié)輸入、輸出變量間所遵循的物理定律，在不影響系統(tǒng)分析準確性的條件下適當簡化，依次列寫各環(huán)節(jié)的動態(tài)方程，一般是微分方程（組）。3）從以上各環(huán)節(jié)方程的聯(lián)立方程組中，消去中間變量。4）將輸出量及其各階導數(shù)寫在等式左端，輸入量及其各階導數(shù)寫在等式右端，按降階排列，并將各項系數(shù)化為具有一定物理意義的形式，成為標準化的系統(tǒng)微分方程。一.線性系統(tǒng)的微分方程

6【例2-1】RC無源網絡如圖2-1所示，其中R為電阻，C為電容，試建立以為輸入，為輸出的RC網絡微分方程。解設中間變量為回路電流，根據(jù)基爾霍夫定律可得如下方程組消去中間變量i(t)有：如果令RC＝T，則上式)又可表示為

一.線性系統(tǒng)的微分方程

7【例2-2】彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)如圖2-2所示，其中F(t)為外作用力，m為物體M的質量，k為彈簧的彈性系數(shù)，f是阻尼器的阻尼系數(shù)，y(t)為物體的位移，試建立以外作用力F(t)為輸入，物體M的位移y(t)為輸出的微分方程關系式。解

由系統(tǒng)結構及牛頓第二定律有消去中間變量有

如果令則可將微分方程式標準化為

一.線性系統(tǒng)的微分方程

9【例2-3】機械轉動系統(tǒng)如圖2-3所示，試求輸入轉矩Mf(t)和輸出轉角q(t)、輸入轉矩Mf(t)和輸出轉速w(t)的微分方程。解

牛頓第二定律有

其中是角加速度。一.線性系統(tǒng)的微分方程

10【例2-4】電樞控制它勵直流電動機如圖2-4所示，試求以電樞電壓為輸入，電動機轉速為輸出的微分方程關系式。解根據(jù)電動機的工作原理，由輸入端入手，可依次列寫微分方程組。

消去中間變量有由于工程實際應用中電動機的電樞電路電感La較小，通常可忽略不計，所以上式可降階簡化為一階微分方程令，，，則直流電動機的微分方程可以進一步簡化為二.非線性微分方程的線性化

12嚴格地說，幾乎所有的實際物理系統(tǒng)都是非線性的。描述非線性系統(tǒng)的非線性微分方程沒有一種完整、成熟、統(tǒng)一的解法，不能應用疊加原理。

對非線性進行處理最簡便的方法就是直接忽略。當物理元器件的非線性特性對系統(tǒng)影響很小，就可以忽略其非線性影響，將這些物理器件看成是線性元件。對非線性處理更好的方法是采用小偏差法（或者叫切線法）對其非線性數(shù)學模型進行線性化。這種方法適合于具有連續(xù)變化的非線性特性，在一個很小的范圍里，將非線性特性用一段直線線性特性來表示。

二.非線性微分方程的線性化

13對于如圖2-5所示的連續(xù)變化的非線性特性，設其非線性特性函數(shù)為y=f(x)，在其相應的工作點A(x0,y0)附近用泰勒級數(shù)展開，即將y=f(x)展開為在“小偏差”條件下，將泰勒級數(shù)展開式中的高次冪項略去，只保留一次冪項

即

記系數(shù)，即曲線在A點的斜率，則有

二.非線性微分方程的線性化

14具有連續(xù)變化特性、可以用“小偏差法”進行線性化的非線性特性稱為非本質非線性特性，例如圖2-5所示的特性。相反，如圖2-6所示的非線性特性或其組合則稱為本質非線性特性。對于一些非線性特性嚴重，具有本質非線性特性的物理元器件或系統(tǒng)，不能夠用小偏差法進行線性化處理，需要采用非線性系統(tǒng)的研究方法。

二.非線性微分方程的線性化

15【例2-5】圖2-7所示水箱，輸入量為流入量Q1(t)，輸出量為水箱水位h(t)，寫出水箱的動態(tài)方程式，其中水箱截面積為A。解

分析水箱工作狀態(tài)可知式中a為常數(shù)，取決于流出管路的阻力，將上兩式合并，有流出量Q1(t)是水位h(t)的非線性函數(shù)

(2-23)

(2-24)

(2-22)二.非線性微分方程的線性化

16式(2-23)的非線性關系可以采用小偏差法進行線性化。設水箱的穩(wěn)定工作點為A(Q20，h0)，根據(jù)小偏差法有即簡化并標準化得到將式(2-22)也改寫為增量形式，并將式(2-26)代入，消去中間變量，就得到

(2-26)其中，是水箱在工作點處水流管路的阻力系數(shù)，稱為液阻

2.3線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)17一.傳遞函數(shù)二.傳遞函數(shù)的性質三.傳遞函數(shù)的求法四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一.傳遞函數(shù)18設線性定常系統(tǒng)可由如下n階微分方程模型描述式所示對上式等號兩邊進行拉普拉斯變換，得到則線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為一.傳遞函數(shù)19

常用的控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表示形式主要有三種。

1.多項式表示形式2.零、極點表示形式

3.“時間常數(shù)”表示形式

二.傳遞函數(shù)的性質

20（1）傳遞函數(shù)概念只能應用于線性定常系統(tǒng)的分析和研究，系統(tǒng)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)微分方程是唯一對應的。（2）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式和大小無關，并且不反映系統(tǒng)的物理結構。（3）傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式，其分子的階次總是小于或等于分母的階次，即m≤n。（4）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可以求得系統(tǒng)的微分方程。如果給定了輸入和初始條件，可以求得系統(tǒng)的全響應。（5）傳遞函數(shù)與輸入量的形式、大小無關，但是與輸入量的作用點有關，應分別求取每個輸入量與系統(tǒng)輸出量的傳遞函數(shù)。若系統(tǒng)是多輸入、多輸出的，則需由傳遞函數(shù)矩陣描述。（6）傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換是系統(tǒng)單位脈沖響應函數(shù)。三.傳遞函數(shù)的求法

211）確定系統(tǒng)和各組成環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，根據(jù)遵循的工作原理，列寫各環(huán)節(jié)動態(tài)微分方程（組）。2）在零初始條件下對各微分方程進行拉普拉斯變換，得到環(huán)節(jié)在s域的拉普拉斯變換方程組。3）消去中間變量，得到關于系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關系的s域代數(shù)方程。4）根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，由輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換相比，就得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。如果已經建立了系統(tǒng)的微分方程，則可在零初始條件下對微分方程進行拉普拉斯變換，按定義得到其傳遞函數(shù)。1．傳遞函數(shù)的建立傳遞函數(shù)是通過拉普拉斯變換由微分方程模型得到的，建立傳遞函數(shù)的一般步驟為三.傳遞函數(shù)的求法

22【例2-6】試求例2-1中RC無源網絡的傳遞函數(shù)

Uy(s)/Ur(s)解由例2-1中可知RC無源網絡的微分方程為由傳遞函數(shù)的定義，就得到RC無源網絡的傳遞函數(shù)為在零初始條件下，對上述微分方程進行拉普拉斯變換，得到三.傳遞函數(shù)的求法

23【例2-7】試求例2-2中彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)F(s)/Y(s)解由例2-2中可知彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)的微分方程為由傳遞函數(shù)的定義，就得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為在零初始條件下，對上述微分方程進行拉普拉斯變換，得到三.傳遞函數(shù)的求法

24【例2-8】試求例2-4電樞控制它勵直流電動機的傳遞函數(shù)。解在例2-4中已求得電樞控制它勵直流電動機簡化后的微分方程式為令ML(s)=0，則電樞電壓和輸出轉速之間的傳遞函數(shù)為在零初始條件下，對上述微分方程進行拉普拉斯變換，得到三.傳遞函數(shù)的求法

25令Ua(s)=0，則負載干擾轉矩和輸出轉速之間的傳遞函數(shù)為因，則電樞電壓和輸出轉角之間、負載干擾轉矩和輸出轉角之間的傳遞函數(shù)為

三.傳遞函數(shù)的求法

262.由復阻抗求電路的傳遞函數(shù)

無源網絡和運算放大器常用作控制系統(tǒng)的校正裝置，可以利用電路復阻抗概念，方便地求得它們的傳遞函數(shù)?！纠?-9】求圖2-10所示RC無源網絡的傳遞函Uy(s)/Ur(s)。解由電路相關知識有由復阻抗分析法有三.傳遞函數(shù)的求法

27聯(lián)立上兩式有無源網絡的輸出電壓為

聯(lián)立上兩式，RC無源網絡的傳遞函數(shù)為三.傳遞函數(shù)的求法

28【例2-10】

求圖2-11和圖2-12所示運算放大器的傳遞函數(shù)。解根據(jù)電子技術知識，可知A點是虛地點，由此可得圖2-11所示電路的傳遞函數(shù)為圖2-11所示電路的傳遞函數(shù)為四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)291.比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)是控制系統(tǒng)中最基本、最常見的一類典型環(huán)節(jié)，其動態(tài)方程為代數(shù)方程K為常數(shù)，稱為放大系數(shù)或增益，則比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為從比例環(huán)節(jié)的數(shù)學模型可以看到，它的輸出是以K倍幅值對輸入信號進行無延遲、無失真的復現(xiàn)。如果輸入圖2-13a所示階躍信號，則比例環(huán)節(jié)的輸出如圖2-13b所示，可以看到，輸出信號和輸入信號的波形相同，且沒有延遲。四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)30【例2-11】試求圖2-14所示電位器的傳遞函數(shù)。解圖2-14所示電位器是一個將角位移或線位移轉換成電壓信號的裝置，在空載時，電位器的角位移與輸出電壓的關系為其中E是電源電壓，是電位器最大工作角度，則是電位器傳遞系數(shù)。對上式進行拉普拉斯變換，得到電位器的傳遞函數(shù)為四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)31【例2-12】

試求圖2-15所示誤差檢測器的傳遞函數(shù)。

解誤差檢測器的輸出電壓為其中K為電位器的傳遞系數(shù)，是兩個電位器電刷滑臂角位移之差，稱為誤差角，如果以誤差角為輸入信號，誤差檢測器的輸出電壓u(t)為輸出信號，則由上式可得誤差檢測器的傳遞函數(shù)為四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)32【例2-13】試求圖2-16所示直流測速發(fā)電機的傳遞函數(shù)。

解直流測速發(fā)電機常常用作控制系統(tǒng)的反饋部件，它是將角速度轉換為電壓信號的裝置，測速發(fā)電機的轉速越大，則輸出的電壓就越大，由圖2-16有則測速發(fā)電機的傳遞函數(shù)為

四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)332.積分環(huán)節(jié)

當輸出信號與輸入信號的積分成正比時，稱其為積分環(huán)節(jié)。設為輸入，為輸出，則積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為式中T稱為積分時間常數(shù)，K=1/T稱為積分速度或積分系數(shù)。則積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為如果輸入圖2-17a所示階躍信號，則積分環(huán)節(jié)的輸出如圖2-17b所示。積分特性可能存在于被控對象中，積分特性也常用作改善系統(tǒng)性能的輔助控制作用。應注意的是，積分環(huán)節(jié)具有飽和的特點，以上線性變化的階躍響應及其記憶特性都是飽和前的特性。四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)343.微分環(huán)節(jié)

理想微分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為其中Td是微分環(huán)節(jié)的微分時間常數(shù)，則理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為如果輸入圖2-18a所示階躍信號，則理想微分環(huán)節(jié)的輸出如圖2-18b所示，理想微分環(huán)節(jié)的階躍響應是一個面積為的脈沖信號

。理想微分環(huán)節(jié)動態(tài)特性在實際情況中是較難實現(xiàn)的，被控對象不可能具有微分特性，但常利用微分特性作為改善系統(tǒng)性能的又一輔助控制作用。

四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)35實際情況中多用具有近似微分特性的實際微分環(huán)節(jié)來代替理想微分環(huán)節(jié)，如圖2-19a所示RC無源網絡，其階躍響應曲線如圖2-19b所示，由實際微分環(huán)節(jié)的電路圖可得到其傳遞函數(shù)為

其中Td＝RC，當選較小的Td，即Td<<1時，G(s)≈Tds，所以可以用此電路作為理想微分環(huán)節(jié)來使用。四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)364.慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)又稱為非周期環(huán)節(jié)，其動態(tài)方程為其中T是慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，K是慣性環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為如果輸入圖2-20a所示階躍信號，則慣性環(huán)節(jié)的輸出如圖2-20b所示，慣性環(huán)節(jié)的階躍響應是一個非周期曲線，其輸出不能立即跟隨輸入量的變化，存在著慣性，且時間常數(shù)T越大，其慣性越大，隨著時間的增加，慣性環(huán)節(jié)的輸出最終趨于新的平衡。四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)375.一階微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為其中Td是一階微分環(huán)節(jié)的微分時間常數(shù)，則一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)386.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為其中K是振蕩環(huán)節(jié)的增益，T是振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，z稱為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比，則振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)397.延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為其中t是延遲環(huán)節(jié)的延遲時間，則延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為如果輸入圖2-25a所示階躍信號，則延遲環(huán)節(jié)的輸出如圖2-25b所示，可以看到，延遲環(huán)節(jié)的輸出具有和輸入一樣的波形，只是輸出比輸入有一個時間上的延遲，其延遲時間為t。四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)40【例2-14】試求圖2-26所示鋼板厚度檢測示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解由圖2-26有所以其傳遞函數(shù)為

四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)41如果將延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)進行泰勒級數(shù)的展開，有當延遲時間t很小的時候，可見此時延遲環(huán)節(jié)等效于一個慣性環(huán)節(jié)顯然，控制器本身是不允許存在延遲的，但測量過程、被控對象、傳熱、傳質的生產過程等，常常存在難以避免的延遲，其動態(tài)特性需要由延遲環(huán)節(jié)描述。延遲過大往往使控制系統(tǒng)性能全面惡化，甚至導致系統(tǒng)失去穩(wěn)定。2.4

控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖與信號流圖42一.動態(tài)結構圖的概念二.動態(tài)結構圖的繪制三.動態(tài)結構圖的等效變換四.信號流圖及梅遜增益公式

一.動態(tài)結構圖的概念

43控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖，也稱為系統(tǒng)方框圖，實際上是組成系統(tǒng)的每個環(huán)節(jié)的功能和信號傳遞、轉換的圖解表示，由信號線、方框（環(huán)節(jié)）、引出點、比較點四類基本單元組成。二.動態(tài)結構圖的繪制

441．根據(jù)機理分析法繪制控制系統(tǒng)動態(tài)結構圖的一般步驟1）根據(jù)控制系統(tǒng)的工作原理將系統(tǒng)劃分為若干組成環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)及各組成環(huán)節(jié)的輸入量、輸出量。2）根據(jù)系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)輸入、輸出之間所遵循的物理、電學、化學等定律建立微分方程（組）或s域變換方程（組），然后繪制各環(huán)節(jié)或方程組的方框圖。3）將系統(tǒng)的輸入量置于結構圖最左端，按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次從左至右，從輸入端到輸出端，將各方框圖連接起來，就得到系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。二.動態(tài)結構圖的繪制

45【例2-15】試建立圖2-28所示的速度控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖，其中系統(tǒng)的給定電壓為輸入量，輸出負載轉速為輸出量。二.動態(tài)結構圖的繪制

46解這個速度控制系統(tǒng)可以看作是由6個環(huán)節(jié)組成1）I級運算放大器2）II級運算放大器3）功率放大器4）直流電動機5）減速齒輪系6）直流測速發(fā)電機二.動態(tài)結構圖的繪制

47依照信號傳遞的順序依次作出以上環(huán)節(jié)的方框圖并連接，就可得到如圖2-29所示的速度控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。二.動態(tài)結構圖的繪制

48【例2-16】

試建立圖2-30所示的位置隨動系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。解系統(tǒng)由角度誤差檢測器、放大器、直流電動機和減速齒輪系4個裝置組成1）角度誤差檢測器

二.動態(tài)結構圖的繪制

492）放大器3）通過減速齒輪系帶載的直流電動機

電動機軸上的總轉動慣量和總粘性摩擦系數(shù)為

將上式帶入例2-4中電動機方程式中，有

將環(huán)節(jié)方框圖依照信號傳遞的順序依次連接，就可得到如圖2-32所示的位置隨動系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。4）減速齒輪系環(huán)節(jié)二.動態(tài)結構圖的繪制

512．由復阻抗概念建立無源網絡動態(tài)結構圖建立無源網絡動態(tài)結構圖時，可直接由復阻抗概念寫出電路的復數(shù)域代數(shù)方程，不需列寫電路微分方程，根據(jù)各復域代數(shù)方程作圖即可得到網絡動態(tài)結構圖。

【例2-17】繪制圖2-33所示RL無源網絡的結構圖。解根據(jù)復阻抗建立網絡復數(shù)域方程，為便于繪制方框圖，寫在方程左端是各圖的輸出量。從輸入端入手，依次從左至右，將各方框圖連接起來，就得到如圖2-35無源網絡的動態(tài)結構圖。依照上式傳遞函數(shù)方程組依次繪制方框圖，如圖2-34所示。三.動態(tài)結構圖的等效變換

531．環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接規(guī)律（1）串聯(lián)由圖2-41a可知消去中間變量X(s)有

三.動態(tài)結構圖的等效變換

54（2）并聯(lián)由圖2-42a可知消去中間變量X1(s)、X2(s)有

三.動態(tài)結構圖的等效變換

55（3）反饋由圖2-43a可知消去中間變量E(s)、B(s)有

三.動態(tài)結構圖的等效變換

562．系統(tǒng)動態(tài)結構圖的變換和簡化（1）引出點的等效移動

1）引出點的前移引出點前移的等效變換如圖2-45所示，在引出點移動的前后，要保持輸出的一致性，即在引出點移動前后都有三.動態(tài)結構圖的等效變換

57（1）引出點的等效移動2）引出點的后移引出點后移的等效變換如圖2-46所示，同樣在引出點移動的前后，要保持前后輸出的一致性。引出點移動前引出點移動后三.動態(tài)結構圖的等效變換

58（2）綜合點的等效移動1）綜合點的前移綜合點前移的等效變換如圖2-47所示，在綜合點移動的前后，要保持輸出的一致性。

綜合點移動前綜合點移動后三.動態(tài)結構圖的等效變換

59（2）綜合點的等效移動2）綜合點的后移綜合點后移的等效變換如圖2-48所示，同樣在綜合點移動的前后，要保持輸出的一致性。

綜合點移動前綜合點移動后三.動態(tài)結構圖的等效變換

60（3）相鄰引出點的移動和合并

相鄰的引出點之間可以任意的交換位置，并且可以依據(jù)實際情況進行合并。如圖2-49所示，這樣的變換并不影響信號的傳遞關系。三.動態(tài)結構圖的等效變換

61（4）相鄰綜合點的移動和合并相鄰的綜合點之間同樣可以任意的交換位置，并且可以依據(jù)實際情況進行合并，如圖2-50所示。要注意的是，只有相鄰的同類點可以進行任意的移動和合并，相異類點之間不能作任意的移動和合并。

三.動態(tài)結構圖的等效變換

62【例2-19】試簡化例2-18無源網絡在考慮負載情況下的動態(tài)結構圖圖2-39和圖2-40，并求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解

對于動態(tài)結構圖2-39有傳遞函數(shù)為三.動態(tài)結構圖的等效變換

63解

對于動態(tài)結構圖2-40有傳遞函數(shù)為三.動態(tài)結構圖的等效變換

64【例2-2-0】試簡化2-54所示結構圖，并求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解

對于動態(tài)結構圖2-39有三.動態(tài)結構圖的等效變換

65解

對于動態(tài)結構圖2-54有傳遞函數(shù)為四.信號流圖及梅遜增益公式

661．信號流圖的組成信號流圖中的節(jié)點主要有三種：（1）源節(jié)點：只有信號輸出支路，而沒有輸入支路的節(jié)點，稱為源節(jié)點或輸入節(jié)點，（如x1）。（2）阱節(jié)點：只有信號輸入支路，而沒有輸出支路的節(jié)點，稱為阱節(jié)點，（如x6）。（3）混合節(jié)點：既有信號輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點，稱為混合節(jié)點，（如x2、x3、x4、x5）。四.信號流圖及梅遜增益公式

671）通路：指從一個節(jié)點出發(fā)，沿著支路箭頭的方向經過多個節(jié)點的路徑。2）前向通路：信號從輸入節(jié)點向輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只經過一次的通路。3）回路：通路的起點和終點都是同一個節(jié)點，且通路中每個節(jié)點只經過一次。4）不接觸回路：回路與回路之間沒有公共節(jié)點，稱這些回路為不接觸回路。在信號流圖中，還會出現(xiàn)以下術語四.信號流圖及梅遜增益公式

682．信號流圖的繪制【例2-21】試由式(2-88)，繪制圖2-33所示RL無源網絡的信號流圖。解

由式（2-88）繪制的信號流圖如圖2-57所示四.信號流圖及梅遜增益公式

69【例2-22】已知圖2-36所示的RC無源網絡的動態(tài)結構圖如圖2-39所示，試繪制其信號流圖。解在動態(tài)結構圖中，只需要將變量變成節(jié)點，方框中的傳遞函數(shù)作為對應通路的支路增益就可得到RC無源網絡的信號流圖，如圖2-58所示。

四.信號流圖及梅遜增益公式

703．梅遜增益公式應用梅遜增益公式，可以直接求出任意源節(jié)點和阱節(jié)點之間的傳遞函數(shù)G(s)，梅遜公式為其中Δ為特征式，其計算公式為Pk為第k條前向通道總增益；Δk為第k條前向通路特征式的余子式，即把與該通路相接觸的回路增益置為零后，特征式Δ所余下的部分，也就是與第k條前向通路不相接觸的那一部分信號流圖的特征式；∑L1是所有單獨回路的增益之和，∑L2是所有兩個互不接觸回路的增益乘積之和，∑L3是所有三個互不接觸回路的增益乘積之和，∑Lm是所有m個互不接觸回路的增益乘積之和。四.信號流圖及梅遜增益公式

71【例2-23】試利用梅森增益公式求圖2-58所示信號流圖的傳遞函數(shù)。解1）圖2-58所示信號流圖只有一條前向通道，即四.信號流圖及梅遜增益公式

722）信號流圖中三個單獨回路四.信號流圖及梅遜增益公式

73信號流圖中沒有三個互不接觸的回路，所以所以

其中回路a和回路b是兩個互不接觸的回路，所以則

3）把以上要素代入梅遜增益公式，就可以得到傳遞函數(shù)四.信號流圖及梅遜增益公式

74【例2-24】設控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖2-59所示，試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解1）由圖2-59，可以得到該控制系統(tǒng)的信號流圖如圖2-60所示四.信號流圖及梅遜增益公式

752）系統(tǒng)有一條前向通道3）信號流圖有四個單獨回路系統(tǒng)四個回路都互相有接觸，且與唯一的前向通道都有接觸，所以4)由梅遜增益公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為四.信號流圖及梅遜增益公式

76【例2-25】

已知系統(tǒng)的信號流圖如圖2-61所示，求其傳遞函數(shù)x5/x1。解從圖2-61所示系統(tǒng)信號流圖可以看到有5個單獨回路四.信號流圖及梅遜增益公式

77其中回路d和回路c、e是兩兩不接觸回路，所以有則特征式為四.信號流圖及梅遜增益公式

782）圖2-61所示系統(tǒng)信號流圖有2條前向通道

3）由梅遜公式就可以得傳遞函數(shù)

，

2.5閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

79一.閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)二.給定輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)三.干擾信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)四.閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)五.多輸入–多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

一.閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

80反饋信號與偏差信號之比，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

一.閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

81閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有以下三種不同表達形式（1）多項式比形式（2）零極點形式（3）時間常數(shù)形式二.給定輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

82當系統(tǒng)只有給定輸入R(s)作用，而干擾作用N(s)=0時，圖2-62變換為圖2-63所示的方框圖，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式（2-117）稱為在給定輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，此時系統(tǒng)的輸出為三.干擾信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

83當系統(tǒng)只有干擾信號N(s)作用，而給定輸入作用R(s)=

0時，圖2-62變換為圖2-64所示的方框圖，則系統(tǒng)在N(s)單獨作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為N(s)單獨作用下系統(tǒng)的輸出為三.干擾信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

84當給定輸入R(s)和干擾輸入N(s)同時作用時，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)的輸出為四.閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

85由疊加原理求得系統(tǒng)的在給定輸入r(t)與干擾輸入n(t)同時作用下系統(tǒng)總的誤差的拉普拉斯變換式為

四.閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

86

1.R(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)令N(s)=0，以E(s)為輸出量，則圖2-62可變?yōu)閳D2-65，此時系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為四.閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

87

2.N(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)令R(s)=0，以N(s)為輸入量，E(s)為輸出量，則圖2-62可變?yōu)閳D2-66，此時系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為四.閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

88閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差e(t)，定義為給定輸入信號r(t)與反饋信號b(t)之差，即五.多輸入–多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

89多輸入–多輸出系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關系可以用傳遞函數(shù)矩陣描述。圖2-67所示系統(tǒng)有兩個輸入量和兩個輸出量。用疊加定理可以分別求出每一個輸入量單獨作用時，各輸出量與各輸入量之間的傳遞函數(shù)。五.多輸入–多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

90當R1(s)單獨作用時，為了求出其與Y1(s)、Y2(s)之間的傳遞函數(shù)，可將圖2-67改畫為圖2-68。由圖2-68可得五.多輸入–多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

91同理，可得當R1(s)單獨作用時，其與Y1(s)、Y2(s)之間的傳遞函數(shù)綜上，各輸入量與輸出量之間的關系式為寫成矩陣表示形式為2.6

MATLAB中數(shù)學模型的表示

92一.數(shù)學模型的MATLAB表示及其轉換二.應用MATLAB指令簡化動態(tài)結構圖一.數(shù)學模型的MATLAB表示及其轉換

93在Matlab中可以用conv()函數(shù)、tf()函數(shù)和zpk()函數(shù)實現(xiàn)傳遞函數(shù)有理分式形式和零極點形式的表示?！纠?-26】試給出以下傳遞函數(shù)在Matlab中的表示方法。一.數(shù)學模型的MATLAB表示及其轉換

94解1）在Matlab命令窗口（CommandWindow）輸入以下命令num=[213]den=[12431]G1=tf(num,den)或者只用一個命令G1=tf([213],[12431])則可得到如下運行結果num=213den=12431Transferfunction:2s^2+s+3-----------------------------s^4+2s^3+4s^2+3s+1一.數(shù)學模型的MATLAB表示及其轉換

952）在Matlab命令窗口（CommandWindow）輸入以下命令z=[-1]p=[-2-3]k=6G2=zpk(z,p,k)則可得到如下運行結果z=-1p=-2-3k=6Zero/pole/gain:6(s+1)--------------(s+2)(s+3)一.數(shù)學模型的MATLAB表示及其轉換

963）在Matlab命令窗口（CommandWindow）輸入以下命令num=[125]den=conv([11],conv([12],[13]))G3=tf(num,den)則可得到如下運行結果num=125den=16116Transferfunction:s^2+2s+5----------------------s^3+6s^2+11s+6一.數(shù)學模型的MATLAB表示及其轉換

97在Matlab中除了可以表示不同形式的傳遞函數(shù)，還可以應用tf2zp()函數(shù)和zp2tf()函數(shù)實現(xiàn)兩種傳遞函數(shù)表示形式間的互化?！纠?-27】試將以下傳遞函數(shù)轉換為零、極點表示形式解在Matlab命令窗口（CommandWindow）輸入以下命令num=[612610]den=[12311][zpk]=tf2zp(num,den)一.數(shù)學模型的MATLAB表示及其轉換

98可得到如下運行結果num=612610den=12311z=-1.9294-0.0353+0.9287i-0.0353-0.9287ip=-0.9567+1.2272i-0.9567-1.2272i-0.0433+0.6412i-0.0433-0.6412ik=6則傳遞函數(shù)的零、極點形式為一.數(shù)學模型的MATLAB表示及其轉換

99【例2-28】試將以下傳遞函數(shù)轉換為有理多項式表示形式。解在Matlab命令窗口（CommandWindo